图卷积网络深读：从谱滤波到 Kipf & Welling 的 GCN

1　它解决了什么问题

引文网络是本文的主要应用场景：每个节点代表一篇论文，边表示引用关系，任务是预测论文类别。训练标签只覆盖少量节点，例如七个类别各 20 篇，其余节点仍具有特征和连接信息。这属于图上的半监督学习。原论文采用 transductive（直推式）设定：测试节点在训练阶段已经位于图中，模型使用它们的特征和连接，但不使用测试标签。与之相对，inductive（归纳式）评估要求模型处理训练时未见的节点或图。

只根据节点自身的词袋向量训练分类器，会忽略引用关系中可能有用的信息。已有方法通过标签传播、图正则化或图嵌入利用这些关系，其中 Planetoid 也联合考虑特征、结构和标签。GCN 的设计特点是让神经网络的每一层沿图的边聚合特征，在同一个前向模型中学习节点表示，再用带标签节点的分类损失训练共享参数。

五节点链可以说明邻域信息的作用。令节点特征为 \(x=(3,2,1,2,5)\)，节点 2 和节点 4 的自身特征同为 2。按第 2 节的权重聚合一次后，两者分别输出约 2.23 和 3.04；在本例中，差异来自邻居特征。GCN 因而能够区分某些自身特征相同、邻域不同的节点。接下来需要说明聚合权重的定义，以及它对传播量级的影响。

2　五节点图上的一层计算

以下先约定图、特征和传播矩阵的记号。

取五节点链 \(1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!5\)，令 \(x=(3,2,1,2,5)\)。此处暂不考虑权重矩阵 \(W\) 和激活函数 \(\sigma\)，只计算邻域聚合。加自环后，节点度数由 \((1,2,2,2,1)\) 变为 \(\tilde{d}=(2,3,3,3,2)\)，边 \((i,j)\) 上的聚合系数为

自环权重在端点为 \(1/\sqrt{2\cdot2}=1/2\)，在中间节点为 \(1/\sqrt{3\cdot3}=1/3\)。连接端点的边权重为 \(1/\sqrt{2\cdot3}=1/\sqrt6\approx0.408\)，中间两条边的权重为 \(1/3\)。将这些权重用于各节点，得到下表；计算使用精确权重，表中小数为舍入值。

以上完成了 GCN 一层中的聚合步骤，完整层还包括特征变换和非线性。这个例子说明三个性质。

邻域信息会改变节点表示。节点 2 与节点 4 的自身特征同为 2，聚合结果却分别为 2.225 和 3.041。节点 4 邻接特征为 5 的节点 5，因此收到更大的加权贡献。两者在一次度归一化的邻域聚合后得到不同表示。

对称归一化通常不构成严格平均。本例中 \(\hat{A}\) 的行和为 \(0.908,\ 1.075,\ 1.000,\ 1.075,\ 0.908\)，并非都等于 1。端点的邻居度数更大，因此行和小于 1；次端点包含一个度数更小的邻居，行和大于 1；中心点及其邻居度数相同，行和恰为 1。一般图的行和也不保证接近 1。若使用 \(\tilde{D}^{-1}\tilde{A}\)，每行之和严格为 1，可以解释为加权平均，但矩阵通常不对称。两者通过相似变换关联，具有相同特征值；GCN 采用的对称形式便于在欧氏内积下进行谱分析。

自环与归一化分别影响信息来源和传播量级。直接求和 \(\tilde{A}x\) 得到 \((5,6,5,8,7)\)，其中节点 4 的输出为 8，对称归一化后约为 3.04。求和会随邻居数量和特征大小增加，因而更容易受度数差异影响。若去掉自环再对称归一化，端点 1 的输出为 \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\times 2=1.414\)，自身特征 3 在这一层的直接贡献为零。这说明原 GCN 为何同时采用两项设计；其他架构也可以通过单独的自身变换或残差连接保留节点信息。

式 (1) 给出了聚合的计算方法。下面三节转向它的谱方法依据：先定义图上的频率和卷积，再说明多项式近似、一阶化简与重归一化分别保留和改变了什么。

3　谱方法基础：图上的频率与卷积

3.1 图频率与拉普拉斯二次型

图像卷积依赖规则网格上的平移结构。一般图没有统一的平移操作，而且节点重新编号不应改变模型表达的图结构。谱方法通过图拉普拉斯建立频域表示。先考虑非归一化拉普拉斯 \(L=D-A\)，其二次型为：

展开即可验证：\(x^\top Dx=\sum_u d_u x_u^2\)，\(x^\top Ax=\sum_{(u,v)\in E}2x_ux_v\)，相减后每条无向边恰好贡献一个差的平方。这个量称为 Dirichlet 能量，度量信号沿边的变化。若 \(Lu_i=\lambda_i u_i\)，则 \(\lambda_i=u_i^\top Lu_i/\|u_i\|^2\)，因此特征值衡量单位范数特征向量的变化能量。零特征值对应各连通分量上的常信号，其重数等于连通分量数；特征值越大，对应模式沿边的变化越剧烈。这是将特征值解释为图频率的依据。路径内部节点满足 \((Lx)_t=2x_t-x_{t-1}-x_{t+1}\)，即通常二阶差分的相反数；例如 \(x_t=t^2\) 时该值为 \(-2\)。

GCN 的谱推导采用归一化拉普拉斯 \(L_{\text{sym}}=I-D^{-1/2}AD^{-1/2}\)。在度数为正时，它的能量为 \(x^\top L_{\text{sym}}x=\sum_{(u,v)\in E}(x_u/\sqrt{d_u}-x_v/\sqrt{d_v})^2\)，因此平滑性针对的是按度数缩放后的信号。零特征方向相应变为 \(D^{1/2}\mathbf{1}\)。涉及未加自环的逆度矩阵时，以下推导先假定节点度数为正；第 6 节再说明孤立节点的处理。

3.2 拉普拉斯特征向量与傅里叶基

经典傅里叶基 \(e^{i\omega t}\) 是平移算子的特征函数，平移只改变其相位。图上可将邻接算子视为一种沿边传播的操作。记 \(S=D^{-1/2}AD^{-1/2}\)，则 \(L_{\text{sym}}=I-S\)，所以两者共享特征向量，对应特征值满足 \(\lambda_L=1-\lambda_S\)。谱分解 \(L=U\Lambda U^\top\) 由此提供一组按图频率组织的正交基。环图 \(C_N\) 给出了与经典情形的直接联系：其拉普拉斯是循环矩阵，可由离散傅里叶变换（DFT）基对角化。选择这组特征基时，环图上的图傅里叶变换就是 DFT；重特征值空间内也可以选择其他正交基。本文的谱公式采用实正交基，故写作转置 \(U^\top\)；使用复数 DFT 基时应改为共轭转置。

3.3 从频域乘法定义谱图卷积

经典卷积在频域中对应逐点乘法。谱图卷积沿用这一思路：先计算图傅里叶系数 \(U^\top x\)，逐分量乘以滤波器响应，再变换回节点域。从本节起，\(L\) 表示归一化拉普拉斯。若为每个特征方向设置一个可学习增益，取 \(g_\theta(\Lambda)=\operatorname{diag}(\theta)\)、\(\theta\in\mathbb{R}^N\)，则

式 (3) 是在选定特征基下定义的谱滤波器；Shuman 等（2013）的综述系统讨论了这一框架。将它直接作为可学习层，有以下限制。

计算依赖稠密特征基。乘一次 \(U\) 通常需要 \(O(N^2)\) 运算，预先求出特征分解也可能成为大图上的主要开销。

参数与特征方向绑定。\(\theta_i\) 控制第 \(i\) 个特征方向的增益。换图或改变边后，特征基也会改变，原参数缺少直接对应到新图的规则；图规模不同时，参数维数还可能不同。

参数量随节点数增长。Cora 有 2 708 个节点，式 (3) 的单个标量滤波器就有 2 708 个自由参数。在每类仅有 20 个训练标签的条件下，需要限制模型容量，以降低过拟合风险。

一种解决方法是将响应限制为 \(\Lambda\) 的低阶多项式。它用少量共享系数描述频率响应，并可改写为 \(L\) 的多项式，从而避免显式计算 \(U\)。

4　从多项式谱滤波到一阶模型

4.1 K 阶多项式与局部计算

ChebNet（Defferrard 等 2016）把 \(g_\theta(\Lambda)\) 限制为拉普拉斯的 \(K\) 阶多项式，用切比雪夫多项式 \(T_k\) 展开：

多项式滤波具有K 跳局部性：\((L^k)_{uv}\neq0\) 要求 \(u\) 到 \(v\) 存在不超过 \(k\) 步的路径。证明可用归纳法：\(k=0\) 对应单位阵；在 \(L^k=L\cdot L^{k-1}\) 中，非零项要求先停留在原节点或沿边走一步，再到达一个至多 \(k-1\) 步可达的节点。因此，\(K\) 阶滤波器的输出只依赖 \(K\) 跳邻域。计算采用稀疏矩阵—向量乘，代价为 \(O(K(|E|+N))\)；固定 \(K\) 且无孤立节点时，可简写为 \(O(|E|)\)。此外，\(K+1\) 个多项式系数不再绑定特定特征向量，可以在采用同一算子定义的图上使用，但迁移后的预测效果仍需检验。

切比雪夫基兼顾区间逼近与递推计算。它满足 \(T_k(\cos\phi)=\cos(k\phi)\)。令 \(t=\cos\phi\)，则 \(|d\phi|=|dt|/\sqrt{1-t^2}\)，余弦函数的正交性由此对应于权函数 \(1/\sqrt{1-t^2}\) 下的多项式正交性。将谱区间 \([0,\lambda_{\max}]\) 映射到 \([-1,1]\)，便得到 \(\tilde{L}=2L/\lambda_{\max}-I\)。相较于高阶单项式基，这种表示具有有用的数值性质，也是 Hammond 等图小波框架采用的近似方法。实际计算令 \(q_0=x\)、\(q_1=\tilde{L}x\)，按 \(q_{k+1}=2\tilde{L}q_k-q_{k-1}\) 递推即可，无需形成矩阵幂。

谱缩放通常使用最大特征值的估计，或使用归一化拉普拉斯的上界 2。它影响基函数的数值范围和系数表示。若各阶系数均可自由学习，改变正的缩放常数并不改变固定阶数的多项式空间；第 4.2 节先说明一阶情形，练习 4 再推广这一结论。

4.2 化简到一阶：四步代数，每步标明性质

GCN 先令 \(K=1\)，再约束系数。以下将推导分为四步，以区分模型选择、谱尺度近似和恒等变形。

此时，滤波器从逐频率独立增益变为受单个参数控制的直线响应。三种参数化方式的差别如下。

式 (5) 的响应幅值为 \(|\theta|(2-\lambda)\)，在 \([0,2]\) 上单调不增，并在 \(\lambda=2\) 处为零，因此具有低通特征。这个结论对应重归一化前的 \(I+S\)。第 5 节改变传播矩阵后，一般图的新算子未必与原拉普拉斯共享特征向量，不能直接沿用这条频率响应曲线。第 8.1 节将分别讨论纯传播的极限和正则图的精确表达式。

5　谱半径的修正：重归一化

5.1 式 (5) 连续传播的放大效应

式 (5) 的传播矩阵 \(I+D^{-1/2}AD^{-1/2}\) 在连续作用时可能放大信号。记 \(S=D^{-1/2}AD^{-1/2}\)，可分三步分析。

第一步：\(S\) 的谱位于 \([-1,1]\)。对任意向量 \(z\)，将不等式 \(2|ab|\le a^2+b^2\) 用于 \(a=z_u/\sqrt{d_u}\)、\(b=z_v/\sqrt{d_v}\)。在 \(z^\top Sz=\sum_{(u,v)\in E}2z_uz_v/\sqrt{d_ud_v}\) 中，每条边贡献的绝对值不超过 \(z_u^2/d_u+z_v^2/d_v\)。每个节点出现在 \(d_u\) 条边中，求和后得到 \(|z^\top Sz|\le\|z\|^2\)。对称矩阵的 Rayleigh 商极值分别等于最小、最大特征值，因此 \(|\lambda(S)|\le1\)。练习 2 给出含自环时的完整证明。

第二步：1 是 \(S\) 的特征值。直接计算 \(S D^{1/2}\mathbf{1}=D^{-1/2}A\mathbf{1}=D^{-1/2}d=D^{1/2}\mathbf{1}\)，可知 \(D^{1/2}\mathbf{1}\) 是不动方向。因此 \(I+S\) 的最大特征值为 2。

第三步：对应分量随连乘指数增长。在纯传播 \((I+S)^\ell x\) 中，\(D^{1/2}\mathbf{1}\) 方向的分量被乘以 \(2^\ell\)：10 次约放大 \(10^3\) 倍，20 次约放大 \(10^6\) 倍。只要初始信号在该方向有非零投影，这一增长就会出现。原论文据此指出深层模型可能发生数值不稳定及梯度爆炸或消失。实际网络还包含权重矩阵与激活函数，因此这个论证说明传播算子本身的风险，并不意味着每个训练过程都会发生爆炸。

5.2 加自环后重新归一化

Kipf & Welling 将原传播矩阵替换为 \(I_N+D^{-1/2}AD^{-1/2}\ \longrightarrow\ \tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}\)，其中 \(\tilde{A}=A+I_N\)，\(\tilde{D}\) 是 \(\tilde{A}\) 的度矩阵。这个替换是一项模型设计，并非恒等变形。它有两项可直接证明的谱性质。

谱半径降为 1。前述放缩也适用于非负对称矩阵 \(\tilde{A}\)，因此 \(\hat{A}=\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}\) 满足 \(|\lambda|\le1\)。同时，\(\tilde{D}^{1/2}\mathbf{1}\) 是特征值 1 的方向。相较于 \(I+S\)，谱半径从 2 降至 1；又因 \(\hat{A}\) 对称，其连乘不会增大向量的欧氏范数。这排除了纯传播自身的指数放大，但不保证含任意权重矩阵的整个网络稳定。

自环排除特征值 \(-1\)。无自环时，含边的二部连通分量可使归一化邻接矩阵具有特征值 \(-1\)。给每个节点加上正权自环后，各连通分量的随机游走均非周期，\(-1\) 不再出现。因此 \(\hat{A}\) 的谱位于 \((-1,1]\)。

以下是本文构造的三个小图的谱计算结果，小数近似值保留至小数点后三位。

三个图的谱半径均从 2 降为 1，但各特征值并非等比例缩放。例如星形图中，三个特征值 1 变为 0.5，特征值 0 则变为 \(-0.3\)。重归一化改变了整个谱分布。图 5 用同一个单位范数初始向量 \(x_0\)，比较两种传播矩阵连续作用 10 次的结果。

5.3 GCN 的逐层传播规则

将重归一化后的矩阵用于神经网络，每层执行特征变换、邻域聚合和非线性激活：

6　两层网络、训练与实现细节

论文主要实验采用两层 GCN，记输入 \(H^{(0)}=X\)，其前向模型为：

训练交叉熵仅覆盖带标签节点：\(\mathcal{L}=-\sum_{v\in\mathcal{Y}_L}\sum_cY_{vc}\ln Z_{vc}\)。Cora 的训练标签约占节点总数的 \(5\%\)，但 \(W^{(0)},W^{(1)}\) 在全图共享，未标注节点的特征也用于前向计算。对两层网络，某个带标签节点的损失直接依赖其至多两跳邻域中的输入特征；并非每个未标注节点都必然影响训练损失。在原论文的直推式协议下，使用测试节点的特征与边是任务设定的一部分，测试标签则不参与训练。

令 \(C\) 为输入维数、\(H\) 为隐层宽度、\(F\) 为类别数。论文 §3.2 将两层前向的复杂度写为 \(O(|\mathcal{E}|CHF)\)，强调固定特征维数时对边数的线性依赖。若每层先做特征变换，再用稀疏邻接矩阵聚合，更细的计数为 \(O(NCH+NHF+(|E|+N)(H+F))\)。稀疏邻接本身占用 \(O(|E|+N)\) 空间；训练还需要保存特征、隐层激活和参数，不能将邻接存储量当作全部内存开销。

下表列出三个引文网络共用的训练配置。实验中的层数选择应结合模型容量、正则化、验证策略与数据划分理解。

7　实验与消融：比较传播模型

下表列出原论文最终版 v4 的分类准确率和达到收敛的训练耗时。GCN 准确率为 100 次随机权重初始化的平均值；耗时来自论文的硬件与实现环境。Pubmed 的主结果为 79.0%；79.2% 出现在后面的 Cora 单参数变体消融中。

这些结果需要结合划分和基线阅读。Citeseer 上最佳基线为 ICA 的 69.1%，GCN 高出 1.2 个百分点。改用 10 个同规模随机划分后，Cora、Citeseer、Pubmed 的结果分别为 80.1±0.5、67.9±0.5、78.9±0.7，论文中的“±”表示标准误，说明成绩会受划分影响。NELL 经预处理得到二部图，共有 210 个类别，每类仅使用 1 个训练标签；在固定划分上，GCN 比 Planetoid 高 4.1 个百分点，耗时为 48 秒，对方为 185 秒。

论文还比较了不同传播模型。以下结果均为 100 次随机权重初始化的平均分类准确率，单位为百分比。

在这些实验设置下，可以得到以下三项观察。

图传播带来明显改善。MLP 与重归一化 GCN 的差距为 7.6–26.4 个百分点，其中 Pubmed 为 71.4→79.0，Cora 为 55.1→81.5。这支持利用图结构的价值，但差距依赖当前数据、划分和训练配置，不能解释为图结构在任意任务上的固定收益。

较高多项式阶数没有在此带来更好结果。Cora 上，Chebyshev \(K=2\) 为 81.2%，单参数一阶为 79.2%，重归一化后为 81.5%；Pubmed 上，两参数一阶为 77.5%，高于 \(K=3\) 的 74.4%。这说明较简单的传播模型在这些配置下具有竞争力，不能据此断言更大感受野普遍有害，或一阶模型是所有可能设计中的最优解。

重归一化变体在三列中均取得最高平均准确率。Cora 上，无自环、单参数未重归一化、重归一化三者分别为 80.5%、79.2%、81.5%；Citeseer 上前两者则为 68.7% 和 69.3%，排序不同。因此不能把自环、归一化的收益简单相加，也不能仅凭准确率将改善全部归因于数值稳定性。

论文附录 B 比较了最多 10 层的模型，采用 5 折交叉验证并包含残差变体；实验中 2–3 层表现较好，超过 7 层时无残差模型训练更困难，逐层结果见附录曲线。附录 A 还展示了空手道俱乐部网络上的三层随机权重 GCN：输入 \(X=I\)，输出直接取二维，不经训练即可反映部分社区结构，作者将其与 DeepWalk 嵌入作了定性比较。这是 34 节点图上的可视化观察，不能据此推断随机权重模型在引文分类任务上接近有监督基线。

8　深层的代价与模型的边界

8.1 纯传播的过度平滑极限

重归一化控制了纯传播的范数，但反复聚合也会削弱部分节点差异。设 \(u_i\) 为 \(\hat{A}\) 的正交归一特征向量，将连续传播展开为：

若图连通，加入正权自环后，\(\hat{A}\) 是不可约且非周期的非负矩阵。由 Perron–Frobenius 理论，除简单特征值 \(\lambda_1=1\) 外，其余特征值均满足 \(|\lambda_i|<1\)。因此 \(k\to\infty\) 时，\(\hat{A}^{\,k}x\to c\,\tilde{D}^{1/2}\mathbf{1}\)。极限仍可因节点度数不同而取不同值，但初始信号在其他特征方向上的信息已经消失。若图不连通，这一结论分别作用于各连通分量；将多个分子图组成块对角矩阵时，也应按分量分析。

收敛速度由非主特征值的最大绝对值 \(\rho=\max_{i\ge2}|\lambda_i|\) 控制。路径 \(P_5\) 上 \(\rho=0.833\)，因此相对于极限的误差范数在 10 次传播后至多约为初值的 \(0.833^{10}\approx0.16\)；各特征分量按各自的 \(\lambda_i^{10}\) 衰减，并非都恰好缩小到这一比例。图 5 中趋于稳定的范数与这种收敛相容，但仅观察范数不足以证明表示已平滑。增加层数会扩大感受野，也会增加传播次数，实际效果需要结合信号和任务评估。

上述极限严格适用于纯传播 \(\hat{A}^{\,k}\)。Li 等（2018）从拉普拉斯平滑解释 GCN；Oono & Suzuki（2020）则在权重矩阵奇异值满足与图谱有关的条件下，证明若干 GNN 的输出趋近于由连通分量和度数决定的子空间。这些结论带有明确的模型与权重条件，不能推广为任意深层 GNN 都必然失去表达力。

在度数为 \(d>0\) 的正则图上，可写出精确响应：\(\hat{A}=I-\tfrac{d}{d+1}L_{\text{sym}}\)，频率 \(\mu\) 处的 \(k\) 次传播增益为 \(\bigl(1-\tfrac{d}{d+1}\mu\bigr)^k\)。对每个非零频率，其绝对值随传播次数趋于零。不过，这个绝对值未必随 \(\mu\) 单调下降，因为一次传播的响应可能在高频处为负。应区分随深度衰减与随频率单调低通这两个命题。

8.2 模型边界与后续方法

直推式实验与归纳能力应分开讨论。原论文在固定图上训练和评估，但式 (6) 的共享权重不依赖节点编号。因此在特征定义一致时，传播规则可以应用于未见节点或新图，其泛化能力仍需独立评估。GraphSAGE（Hamilton 等 2017）进一步结合邻域采样与聚合函数，系统研究了归纳式学习，也比较了基于 GCN 的聚合变体。新节点加入后需要更新相关邻域和归一化系数，并不在数学上强制重算整张图的所有表示。

原始聚合权重不随特征自适应。在本文的二值邻接设定下，\(\hat{A}_{vu}\) 由连接关系和度数决定。GAT（Veličković 等 2018）通过注意力依据节点特征学习邻居权重。若要将边特征直接用于消息，例如分子图中的键型，可采用 MPNN（Gilmer 等 2017）的形式 \(m_{vu}=M(h_v,h_u,e_{vu})\)。原 GCN 可以接受标量加权邻接，但这不同于使用一般的向量边特征。原论文也说明，可将某些边关系转为附加节点，NELL 即采用了这种预处理。

全批训练受内存限制。每次训练需要保存图结构、节点特征和中间激活，内存随节点数、边数及特征维数增长。论文 §7.2 将小批训练列为后续方向，并指出精确计算需要考虑多层感受野。GraphSAINT、Cluster-GCN 等后续方法通过采样或划分子图降低训练开销。

部分任务可以进一步简化模型。SGC（Wu 等 2019）去掉层间非线性，并将逐层权重合并为一个矩阵，得到 \(K\) 次 \(\hat{A}\) 预传播后接逻辑回归。作者将其分析为固定图滤波与线性分类器的组合；在 Cora 的谱分析中，加自环后的 \(\tilde{L}_{\text{sym}}=I-\hat{A}\) 最大特征值从 2 降至约 1.5，这一数值依赖具体图。SGC 在 Cora、Citeseer、Pubmed 上的准确率分别为 81.0±0.0、71.9±0.1、78.9±0.0。其补充材料报告相应训练耗时为 0.13、0.14、0.29 秒，对应 GCN 为 0.49、0.59、8.31 秒；这些数据来自该文的同一基准环境，SGC 耗时包含预传播。它们支持在这些任务上采用较简单的模型，但不能证明非线性或可学习传播在其他任务中没有价值。

扩大传播范围时可以保留初始预测。APPNP（Gasteiger 等 2019）将预测与传播分开：神经网络先计算节点分类得分，再以带回传概率 \(\alpha\) 的个性化 PageRank 近似进行传播。每次迭代重新引入初始预测，使结果不只由纯传播的平稳方向决定。残差连接、DropEdge 等也从不同角度改善深层传播，适用效果仍取决于模型和数据。

实现式 (6) 时，还应区分框架的默认行为。PyTorch Geometric 的 GCNConv默认在归一化时加入自环；DGL 的 GraphConv(norm="both")提供对称归一化，但通常需要先给输入图添加自环。偏置与激活函数也应按所要复现的模型显式设置，不能仅凭层的名称认定实现完全相同。

9　与本站的衔接

本站《分子机器学习导论》第 3 章将 GCN 作为消息传递框架的一个实例：邻居特征经 \(W\) 变换后，按度归一化权重求和，再由 ReLU 更新节点表示。引文网络与分子图可以使用相同的传播形式，但边的含义、特征类型和预测目标不同。阅读该章时，可结合本文检查三点：第一，图级任务需要读出（readout），即将原子表示通过求和、平均池化等方式形成分子表示；第二，分子图的度分布与键特征需要按具体表示分析，归一化的实际收益不能直接照搬引文网络；第三，所需层数应根据任务相关结构的范围和实验结果选择，本文的两层配置不构成分子任务的通用结论。

延伸阅读可按问题选择：Defferrard 等 2016（ChebNet）讨论局部谱滤波，Wu 等 2019（SGC）检验进一步线性化的效果，Veličković 等 2018（GAT）引入注意力权重，Gilmer 等 2017（MPNN）给出包含边特征的消息传递框架。GCN 与 Weisfeiler–Lehman 测试的关系在原论文附录中也有讨论；严格的表达力比较还需要区分具体聚合函数及其假设。

练习