- 写出 Γ 函数(Gamma function)的定义，熟练运用递推公式 \(\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)\) 计算 \(\Gamma(n)\) 与半整数点的值；
- 写出 Gamma 分布的密度函数，证明并运用 \(E[X]=\alpha/\lambda\)、\(\mathrm{Var}(X)=\alpha/\lambda^2\)，并陈述“\(r\) 个独立 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 之和服从 \(\mathrm{Gamma}(r,\lambda)\)”；
- 用 Beta 分布对区间 \((0,1)\) 上的比例量建模，写出其密度并计算期望；
- 解释 Weibull 分布两参数的含义（尺度与老化速度），推导中位数 \(\nu(\ln 2)^{1/\beta}\)；
- 说明柯西分布“密度对称却不存在期望”的原因，并能严格论证 \(E|X|=\infty\)。
均匀、正态与指数三种分布（5.3、5.4、5.5 节）已经覆盖了大量常见模型，但连续现象远不止于此：等待“第 \(r\) 个事件”到来的总时间、一台设备处于忙状态的时间比例、会随年龄老化的器件寿命，以及“极端值出现得异常频繁”的重尾数据，都需要新的分布来刻画。本节依次介绍 Γ 函数与 Gamma 分布(gamma distribution)、Beta 分布(beta distribution)、Weibull 分布(Weibull distribution)与柯西分布(Cauchy distribution)——前三个是可靠性建模与统计推断的常用工具，最后一个则是“期望可以不存在”的著名反例。
1. Γ 函数：从阶乘出发
后面几个分布的密度函数中都含有一类形状高度一致的广义积分 \(\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx\)。把它单独命名并研究其性质，会使所有公式变得简洁。
\[ \Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx,\qquad \alpha \gt 0, \]
被积函数在 \(x\to\infty\) 时被指数因子压制、在 \(x\to 0^+\) 时由幂因子 \(x^{\alpha-1}\) 控制，故对一切 \(\alpha \gt 0\) 积分收敛；当 \(\alpha\le 0\) 时积分发散，因此只对正参数定义。\(\Gamma\) 是希腊大写字母“伽马”，该记号由勒让德(Legendre)引入。
\[ \Gamma(1)=1;\qquad \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\,\Gamma(\alpha-1)\ (\alpha \gt 1);\qquad \Gamma(n)=(n-1)!\ (n\in\mathbb{N});\qquad \Gamma(\tfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}. \]
递推公式把任意 \(\Gamma(\alpha)\) 逐步化归到 \(\alpha\in(0,1]\) 的一段区间。例如 \(\Gamma(6)=5!=120\)，而 \(\Gamma(5/2)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\Gamma(1/2)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\approx 1.329\)。注意 \(\Gamma(n)=(n-1)!\) 中“错一位”是欧拉(Euler)插值阶乘时留下的历史约定：\(\Gamma\) 把仅对整数有定义的阶乘延拓到了整个正半轴。
2. Gamma 分布：指数分布的推广
5.5 节的指数分布刻画“直到第一个事件发生”的等待时间。若关心直到第 \(r\) 个事件发生的总等待时间，密度中会自然多出一个幂因子 \(x^{\alpha-1}\)，而归一化常数正是 \(\Gamma(\alpha)\)。
\[ f(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)},\qquad x\ge 0 \] （\(x \lt 0\) 时 \(f(x)=0\)），其中 \(\alpha \gt 0\) 为形状参数(shape parameter)，\(\lambda \gt 0\) 为速率参数(rate parameter)。记作 \(X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)\)。
作代换 \(t=\lambda x\) 立得规范性成立。当 \(\alpha=1\) 时密度化为 \(\lambda e^{-\lambda x}\)，即指数分布；当 \(\alpha=r\) 为正整数时又称 埃尔朗分布(Erlang distribution)。密度在 \(\alpha\ge 1\) 时单峰，众数位于 \(x=(\alpha-1)/\lambda\)；\(\alpha \lt 1\) 时密度在原点附近无界但仍可积，且单调下降。
若 \(X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)\)，则 \[ E[X]=\frac{\alpha}{\lambda},\qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2}. \]
设 \(X\sim\mathrm{Gamma}(\alpha=2,\lambda=1)\)。写出 \(X\) 的密度函数，并证明对任意 \(x \gt 0\)，\[ F(x)=P(X \lt x)=1-e^{-x}(1+x), \] 再计算 \(P(X \gt 1)\)。
设 \(X_1,\dots,X_r\) 相互独立且都服从 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，则 \[ S_r=X_1+\cdots+X_r\ \sim\ \mathrm{Gamma}(r,\lambda), \] 且此时分布函数有初等表达式 \[ F(x)=P(S_r\le x)=1-e^{-\lambda x}\sum_{k=0}^{r-1}\frac{(\lambda x)^k}{k!},\qquad x\ge 0. \]
气象记录表明，某地区年降雨总量 \(X\)（单位：米）近似服从 \(\mathrm{Gamma}(\alpha=3,\lambda=2)\) 分布。（a）求一年降雨量不超过 1 米的概率；（b）求一年降雨量至少 2 米的概率。
其一，\(\mathrm{Gamma}(r,\lambda)\) 是泊松过程中“第 \(r\) 个事件的等待时间”的分布，与 5.5 节的指数间隔一脉相承；其二，\(\mathrm{Gamma}(n/2,\,1/2)\) 正是 \(n\) 个自由度的卡方分布(chi-square distribution)，它将在 7.7 节作为正态样本平方和的分布登场。可见 Gamma 分布是贯穿概率与统计的一条枢纽。
3. Beta 分布：区间 (0,1) 上的比例
许多天然取值于 \((0,1)\) 的量——一台服务器一天中处于忙状态的时间比例、随机抽检批次中的合格率、混合物中某成分的占比——适合用一个双参数分布来建模，其归一化常数由 Beta 函数(beta function)给出。
\[ B(a,b)=\int_0^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx=\frac{\Gamma(a)\,\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)},\qquad a,b \gt 0 \] （第二个等式的证明需二重积分技巧，此处引用）。若随机变量 \(X\) 具有密度 \[ f(x)=\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)},\qquad 0 \lt x \lt 1 \] （其余处为 0），则称 \(X\) 服从参数为 \((a,b)\) 的 Beta 分布，记作 \(X\sim\mathrm{Beta}(a,b)\)。
两个参数像“正、反两方向的伪计数”：\(a=b\) 时密度关于 \(1/2\) 对称；\(a \gt b\) 时质量偏向 1 一侧；\((a,b)=(1,1)\) 时 \(B(1,1)=1\)，密度恒为 1，退化为均匀分布 \(U(0,1)\)。
若 \(X\sim\mathrm{Beta}(a,b)\)，则 \[ E[X]=\frac{a}{a+b}. \]
设一台服务器一天中处于忙状态的时间比例 \(X\sim\mathrm{Beta}(2,2)\)。写出 \(X\) 的密度函数，求 \(E[X]\) 与 \(\mathrm{Var}(X)\)。
Beta 分布是“比例”的天然模型：设备利用率、命中率、转化率等取值于 \((0,1)\) 的量都可直接用它拟合。它还是贝叶斯统计中最常用的先验分布——\(\mathrm{Beta}(a,b)\) 恰似“事先见过 \(a\) 次成功、\(b\) 次失败”的经验浓缩，与 3.3 节的贝叶斯观点一脉相承，读者在后续统计课程中会反复遇到。
4. Weibull 分布：会“老化”的寿命模型
指数分布的失效率是常数，意味着器件“永不老化”（5.5 节的无记忆性）。真实器件往往不然：机械件越用越容易坏（老化），电子新品反而常在磨合期故障率最高、随后下降。把指数随机量做一次幂变换 \(X=\nu Y^{1/\beta}\)（\(Y\sim\mathrm{Exp}(1)\)），便得到能同时容纳这三种情形的 Weibull 分布，它在可靠性工程中几乎无处不在。
若随机变量 \(X\) 的分布函数为 \[ F(x)=1-\exp\Bigl\{-\bigl(x/\nu\bigr)^{\beta}\Bigr\},\qquad x\ge 0 \] （\(x \lt 0\) 时 \(F(x)=0\)），其中 \(\nu \gt 0\) 为尺度参数(scale parameter)、\(\beta \gt 0\) 为形状参数(shape parameter)，则称 \(X\) 服从参数为 \((\nu,\beta)\) 的 Weibull 分布。
\(\nu\) 具有“特征寿命”的含义：\(P(X \gt \nu)=e^{-1}\approx 0.368\)，与 \(\nu\) 大小无关；\(\beta\) 则完全决定失效率随时间的变化方向（见定理 5）。
设 \(X\sim\mathrm{Weibull}(\nu,\beta)\)，则 \[ f(x)=\frac{\beta}{\nu}\Bigl(\frac{x}{\nu}\Bigr)^{\beta-1}e^{-(x/\nu)^{\beta}}\ (x\ge 0);\qquad E[X]=\nu\,\Gamma\Bigl(1+\frac{1}{\beta}\Bigr);\qquad \text{中位数 } m=\nu(\ln 2)^{1/\beta}; \] 且失效率 \(h(x)=\frac{\beta}{\nu}\bigl(x/\nu\bigr)^{\beta-1}\) 满足：\(\beta=1\) 时为常数（指数情形），\(\beta \gt 1\) 时递增（老化），\(\beta \lt 1\) 时递减（磨合）。
某型号轴承的寿命 \(T\)（小时）服从 Weibull 分布，\(\nu=1000\)，\(\beta=2\)。请解读两个参数的含义，求中位数与期望，并计算 \(P(T \gt 500)\)。
5. 柯西分布：对称却无期望
本节前三个分布的矩都由 \(\Gamma\) 函数妥帖地给出。作为收尾，我们介绍一个“病态”而极富教益的分布。设随机角 \(\Theta\sim U(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)（例如在数轴原点处随机取一个方向），令 \(X=\tan\Theta\)。用分布函数法（这正是 5.7 节的主题）： \[ F(x)=P(\tan\Theta\le x)=P\Bigl(\Theta\le \arctan x\Bigr)=\frac{\arctan x+\pi/2}{\pi}=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan x, \] 求导即得密度。可以证明，两个独立标准正态变量之商也服从同一分布（第 6 章将见到比值分布的算法）。
\[ f(x)=\frac{1}{\pi\bigl(1+x^2\bigr)},\qquad -\infty \lt x \lt \infty, \] 称为（标准）柯西分布，其分布函数为 \(F(x)=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan x\)。
规范性验证：\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\pi(1+x^2)}=\frac{1}{\pi}\bigl[\arctan x\bigr]_{-\infty}^{\infty}=1\)。密度关于原点对称、峰高 \(1/\pi\approx 0.318\)、中位数为 0，乍看与正态分布颇为相似。
若 \(X\) 服从柯西分布，则 \[ E\bigl[X^{+}\bigr]=E\bigl[X^{-}\bigr]=+\infty, \] 其中 \(X^{+}=\max(X,0)\)、\(X^{-}=\max(-X,0)\)，故 \(E[X]\) 不存在。
这个反例值得讲透，因为它纠正两个常见误解。
误解一：“密度对称，期望必为对称中心。”正确的命题是：对称分布若期望存在，则期望等于对称中心。柯西分布恰恰卡在前半句的前提上。若坚持做对称截断，会得到 \[ \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}x\,\frac{dx}{\pi(1+x^2)}=0, \] 这个值称为柯西主值(principal value)，但它依赖“左右对称地丢弃尾部”的人为选择（不对称截断会得到任意值），因此不能充当期望。
误解二：“尾巴厚一点只是量的问题。”事实上柯西密度当 \(|x|\to\infty\) 时以 \(\frac{1}{\pi x^2}\) 的速度衰减，被积量 \(x f(x)\sim\frac{1}{\pi x}\) 是调和型发散；等价地，尾概率 \(P(|X| \gt t)\approx \frac{2}{\pi t}\) 只与 \(1/t\) 同阶，而正态尾部是指数级衰减（图 3）。更深刻的是：独立柯西变量的算术平均 \(\bar{X}_n\) 不论样本量多大都服从同一个柯西分布——平均消不掉极端值，大数定律（8.2 节）在此失效。这说明“\(E|X| \lt \infty\)”并非可有可无的技术条件，而是极限定理的实质前提；当期望不存在时，位置只能改用中位数（此处为 0）这类稳健统计量来刻画。
设 \(X\) 服从标准柯西分布。求其分位数函数 \(F^{-1}(p)\)、中位数与上、下四分位数，并计算 \(P(|X|\le 1)\)。
6. 本节小结
- \(\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx\)；递推 \(\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)\)，\(\Gamma(1)=1\)，\(\Gamma(n)=(n-1)!\)，\(\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\)（引用）。它是本节三大分布共同的“常数机器”。
- \(\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)\)：密度 \(\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\)；\(E=\alpha/\lambda\)，\(\mathrm{Var}=\alpha/\lambda^2\)；\(r\) 个独立 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 之和 \(\sim\mathrm{Gamma}(r,\lambda)\)（一般证明见 7.6 节），此时 \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\sum_{k=0}^{r-1}(\lambda x)^k/k!\)。
- \(\mathrm{Beta}(a,b)\) 取值于 \((0,1)\)：密度 \(\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\)，\(B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)；\(E=\frac{a}{a+b}\)；适合给比例建模。
- \(\mathrm{Weibull}(\nu,\beta)\)：\(F(x)=1-e^{-(x/\nu)^{\beta}}\)；\(\beta=1\) 退化为指数，\(\beta \gt 1\) 老化、\(\beta \lt 1\) 磨合；中位数 \(\nu(\ln 2)^{1/\beta}\)，期望 \(\nu\Gamma(1+1/\beta)\)。
- 柯西：\(f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}\) 对称、中位数 0，但 \(E[X^+]=E[X^-]=\infty\)，期望不存在——“对称却无期望”提醒我们矩的存在性必须逐一检验。
| 分布 | 支撑 | 密度 / 分布函数 | 均值 | 方差 | 记忆要点 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{Gamma}(\alpha,\lambda)\) | \(x\ge 0\) | \(\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}\) | \(\alpha/\lambda\) | \(\alpha/\lambda^2\) | \(r\) 个独立 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 之和 |
| \(\mathrm{Beta}(a,b)\) | \(0 \lt x \lt 1\) | \(\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\) | \(\frac{a}{a+b}\) | \(\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\) | 比例建模；(1,1) 即均匀 |
| \(\mathrm{Weibull}(\nu,\beta)\) | \(x\ge 0\) | \(F=1-e^{-(x/\nu)^{\beta}}\) | \(\nu\Gamma(1+\frac{1}{\beta})\) | \(\nu^2\bigl[\Gamma(1{+}\frac{2}{\beta})-\Gamma^2(1{+}\frac{1}{\beta})\bigr]\) | \(\beta=1\) 指数；中位数 \(\nu(\ln 2)^{1/\beta}\) |
| 柯西 | \(\mathbb{R}\) | \(\frac{1}{\pi(1+x^2)}\) | 不存在 | 不存在 | 对称却无期望；主值为 0 |
练习
练习 5-6-1
利用递推公式计算 \(\Gamma(5)\) 与 \(\Gamma(7/2)\)。
答案与提示\(\Gamma(5)=4\cdot\Gamma(4)=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot\Gamma(1)=4!=24\)。\(\Gamma(7/2)=\frac{5}{2}\Gamma(5/2)=\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\Gamma(1/2)=\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\approx 3.323\)。要点：整数化归到 \(\Gamma(1)=1\)，半奇数化归到 \(\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}\)。
练习 5-6-2
设 \(X\sim\mathrm{Gamma}(2,1)\)（密度 \(f(x)=xe^{-x}\)）。请用直接积分验证定理 2 给出的 \(E[X]=2\)、\(\mathrm{Var}(X)=2\)。
答案与提示\(E[X]=\int_0^{\infty}x^2e^{-x}\,dx=\Gamma(3)=2!=2\)；\(E[X^2]=\int_0^{\infty}x^3e^{-x}\,dx=\Gamma(4)=3!=6\)；于是 \(\mathrm{Var}(X)=6-2^2=2=\alpha/\lambda^2\)，与定理 2 一致。体会：整参数 Gamma 分布的一切原点矩都归于阶乘。
练习 5-6-3
证明：若 \(X\) 服从标准柯西分布，则 \(E|X|=\infty\)（积分发散），并说明它与定理 6 的关系。
答案与提示由对称性 \[ E|X|=2\int_0^{\infty}x\cdot\frac{dx}{\pi(1+x^2)}=\frac{1}{\pi}\lim_{A\to\infty}\Bigl[\ln\bigl(1+x^2\bigr)\Bigr]_0^{A}=\frac{1}{\pi}\lim_{A\to\infty}\ln\bigl(1+A^2\bigr)=\infty, \] 即 \(\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x)\,dx\) 发散。关系：\(E|X|=E[X^+]+E[X^-]\)，\(E|X|\) 发散表明正、负部至少其一发散；结合对称性可知两者同时发散，这正是定理 6“期望不存在”的完整含义。一般地，\(E|X| \lt \infty\) 是 \(E[X]\) 存在的充分条件（第 7 章将用到这一判据）。
练习 5-6-4
推导 Weibull 分布的中位数公式，并计算 \(\nu=2000\) 小时、\(\beta=2.5\) 时的中位数。
答案与提示令 \(F(m)=1-e^{-(m/\nu)^{\beta}}=\frac12\)，得 \((m/\nu)^{\beta}=\ln 2\)，故 \(m=\nu(\ln 2)^{1/\beta}\)。代入数值：\(m=2000\times 0.6931^{0.4}\approx 2000\times 0.8636\approx 1727\) 小时。注意 \(\beta\) 越大，\(m\) 越接近特征寿命 \(\nu\)。
练习 5-6-5
设 \(X\sim\mathrm{Beta}(3,2)\)。写出其密度函数，求 \(E[X]\)，并用直接积分验证。
答案与提示\(B(3,2)=\frac{\Gamma(3)\Gamma(2)}{\Gamma(5)}=\frac{2!\cdot 1!}{4!}=\frac{1}{12}\)，故 \(f(x)=12x^2(1-x)\)（\(0 \lt x \lt 1\)）。由定理 4，\(E[X]=\frac{3}{3+2}=\frac35\)；直接积分：\(\int_0^{1}12x^3(1-x)\,dx=12\bigl(\frac14-\frac15\bigr)=12\cdot\frac{1}{20}=\frac35\)。该密度与图 2 中 \((5,2)\) 的曲线同向偏右，峰在 \(x=2/3\)。