基的长度是唯一的:定理 2.34
在第 2.B 节中,我们已经证明:每个有限维向量空间 (finite-dimensional vector space) 都有基,而且任何线性无关列表都可以扩充成基。一个自然的问题随即出现:同一个空间的两组基,长度一定相同吗?如果答案是否定的,"基的长度"就不是一个良定义的量,一切以"数一数基里有多少个向量"为出发点的讨论都会崩塌。下面的定理给出了肯定的回答。Axler 本人在回顾《Linear Algebra Done Right》时,将这一结果列为全书最重大的定理之一:它表面上只谈论基的长短,实际上是"维数"概念的合法性来源。
先把证明要依赖的工具摆上台面。定理 2.22(长度比较引理,见 2.B 节). 设 \(v_1,\dots,v_m\) 是 \(V\) 中的线性无关列表,\(w_1,\dots,w_n\) 是 \(V\) 中的张成列表,则必有 \(m\le n\)。也就是说,在同一个空间里,"线性无关"永远比"张成"更"昂贵":无关列表不可能比张成列表更长。
有限维向量空间 \(V\) 的任意两个基有相同的长度。
证明. 设 \(u_1,\dots,u_m\) 与 \(w_1,\dots,w_n\) 都是 \(V\) 的基。前者线性无关,后者张成 \(V\),由定理 2.22 得 \(m\le n\)。反过来,后者线性无关,前者张成 \(V\),再次由定理 2.22 得 \(n\le m\)。两个不等式联立,得 \(m=n\),即任意两个基等长。
证明只有寥寥数行,但它的全部重量都压在 2.22 的替换论证上。结论一旦成立,有限维空间中一切基便共享同一个长度,我们终于可以名正言顺地把它定义为空间的"尺寸"了。另需说明:定理 2.34 只处理有限维情形;在无限维空间中,"基"涉及无穷集合论,超出本书的讨论范围。
维数的定义与基本例子
有限维向量空间 \(V\) 的维数定义为 \(V\) 的任意一个基的长度,记作 \(\dim V\)。由定理 2.34,该数值不依赖于基的选取,因而定义是良定义的。
一个极端情形值得单独记录:零空间 \(\{0\}\) 由空列表张成,而空列表自动线性无关,故空列表是 \(\{0\}\) 的基,从而 \(\dim\{0\}=0\)。
(a) 标准基 \(e_1,\dots,e_n\) 的长度为 \(n\),故 \(\dim\mathbb{F}^n=n\)。(b) \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 有基 \(1,x,x^2,\dots,x^m\),故 \(\dim\mathcal{P}_m(\mathbb{F})=m+1\)。这里需要说明该列表线性无关:若 \(a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m=0\)(零多项式,即对每个 \(x\) 的取值都是 \(0\)),而 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\) 是无限域,一个次数不超过 \(m\) 的非零多项式至多有 \(m\) 个根,不可能处处为零,故所有系数 \(a_i\) 均为 \(0\)。(c) 如上所述,\(\dim\{0\}=0\)。
在由 \(\mathbb{R}\) 上全体函数构成的向量空间 \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) 中,取 \(U=\operatorname{span}(\mathrm{e}^{x},\mathrm{e}^{2x})\)。断言:\(\dim U=2\)。该列表显然张成 \(U\),故只需证明它线性无关。设对所有实数 \(x\) 有 \(a\,\mathrm{e}^{x}+b\,\mathrm{e}^{2x}=0\)。取 \(x=0\) 得 \(a+b=0\);取 \(x=1\) 得 \(a+b\,\mathrm{e}=0\)。两式相减得 \(b(\mathrm{e}-1)=0\),而 \(\mathrm{e}\ne 1\),故 \(b=0\),进而 \(a=0\)。于是 \(\mathrm{e}^{x},\mathrm{e}^{2x}\) 线性无关,构成 \(U\) 的基,\(\dim U=2\)。完全同样的赋值手法可以证明 \(\operatorname{span}(1,\mathrm{e}^{2x})\) 与 \(\operatorname{span}(1,x,\mathrm{e}^{2x})\) 的维数分别是 \(2\) 与 \(3\)。这个例子还说明了一个重要现象:整个空间 \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) 是无限维的,但其中由有限多个向量张成的子空间永远是有限维的——"有限维"是子空间的属性,而非全空间的属性。
子空间的维数
直观上,"部分不超过整体"在向量空间中应当体现为"子空间的维数不超过全空间的维数"。这一直觉的代数依托是 2.B 节的基扩充定理 (theorem on extending bases):定理 2.32 断言,有限维空间中任何线性无关列表都可以扩充成一个基。
设 \(V\) 是有限维向量空间,\(U\) 是 \(V\) 的子空间 (subspace),则 \(U\) 也是有限维的,且 \(\dim U\le\dim V\)。
证明. 由 2.B 节已证的结论,有限维向量空间的每个子空间都是有限维的,故 \(U\) 有基,设为 \(u_1,\dots,u_m\)。把它视为 \(V\) 中的线性无关列表,由定理 2.32,可将其扩充为 \(V\) 的基 \(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n\)。由定义 2.35,\(\dim V=m+n\),而 \(\dim U=m\),于是 \(\dim U=m\le m+n=\dim V\)。
下面的两个推论把维数变成了高效的"免检工具":在长度恰到好处时,许多验证可以整段跳过。
设 \(V\) 是有限维向量空间,则 \(V\) 中长度为 \(\dim V\) 的每个线性无关列表都是 \(V\) 的基。
证明. 设该列表为 \(v_1,\dots,v_{\dim V}\)。由定理 2.32,它可以扩充为 \(V\) 的一个基;但由定理 2.34,\(V\) 的每个基长度都恰为 \(\dim V\),与该列表长度相同,故扩充过程没有添加任何向量,原列表本身就是 \(V\) 的基。
设 \(V\) 有限维,\(U\) 是 \(V\) 的子空间且 \(\dim U=\dim V\),则 \(U=V\)。
证明. 取 \(U\) 的基 \(u_1,\dots,u_m\),其中 \(m=\dim U=\dim V\)。把它看作 \(V\) 中的线性无关列表,其长度恰为 \(\dim V\),由推论 2.38 它是 \(V\) 的基,于是 \(V=\operatorname{span}(u_1,\dots,u_m)=U\)。
推论 2.39 的逆否命题同样常用:若 \(U\) 是 \(V\) 的真子空间 (proper subspace),则 \(\dim U<\dim V\)——"小一点就是严格小"。同时要注意,这一判据本质地依赖有限维性:在无限维空间中,例如 \(\operatorname{span}(x,x^2,x^3,\dots)\) 是 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 的真子空间,却与全空间同样"无限大",维数比较在此失效。
维数计算的例子
设 \(U=\{(x,y,2x+3y):x,y\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{R}^3\),求 \(\dim U\)。
解. \(U\) 中每个向量都满足 \((x,y,2x+3y)=x(1,0,2)+y(0,1,3)\),故 \(U=\operatorname{span}\big((1,0,2),(0,1,3)\big)\)。又若 \(x(1,0,2)+y(0,1,3)=(0,0,0)\),比较前两个坐标立得 \(x=y=0\),故该列表线性无关,从而是 \(U\) 的基。于是 \(\dim U=2\)。由于 \(2<3=\dim\mathbb{R}^3\),由定理 2.37(或推论 2.39 的逆否命题)可知 \(U\) 是真子空间:它正是过原点、方程为 \(z=2x+3y\) 的平面。几何直觉(平面比空间"薄一层")与代数计算完全吻合。
证明 \((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\) 是 \(\mathbb{F}^3\) 的基(其中 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\))。
解. 若按定义直接验证张成,需要解一个线性方程组;但借助推论 2.38 可以省去这一半工作:该列表长度为 \(3=\dim\mathbb{F}^3\),故只需验证线性无关。设 \(a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(0,0,0)\),按分量写出得 \(a+c=0\)、\(a+b=0\)、\(b+c=0\)。由前两式得 \(c=-a\)、\(b=-a\),代入第三式得 \(-2a=0\);在 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\) 中 \(2\ne 0\),故 \(a=0\),进而 \(b=c=0\)。列表线性无关,由推论 2.38 它就是基。(顺带一提:若把域换成特征为 \(2\) 的域,这三个向量便线性相关;本书自始至终只讨论 \(\mathbb{R}\) 与 \(\mathbb{C}\),正是为了避开这类陷阱。)
张成列表何时是基:定理 2.42
推论 2.38 说:长度恰为 \(\dim V\) 时,线性无关即可免检"张成"。对称的另一半结论同样成立。
设 \(V\) 是有限维向量空间,则 \(V\) 中长度为 \(\dim V\) 的每个张成列表都是 \(V\) 的基。
证明. 设 \(v_1,\dots,v_{\dim V}\) 张成 \(V\)。由 2.B 节的结论,张成列表总可以删减出一个仍张成 \(V\) 的线性无关子列表,即它包含一个构成基的子列表,设为 \(w_1,\dots,w_m\)。由定理 2.34,\(m=\dim V\)。而任何子列表的长度都不超过原列表的长度,原列表长度也是 \(\dim V\),于是这个子列表必须用尽原列表的全部向量,即它就是原列表本身。故原列表既张成 \(V\) 又线性无关,是 \(V\) 的基。
推论 2.38 与定理 2.42 合在一起给出一个实用口诀:长度恰好等于 \(\dim V\) 时,"线性无关"与"张成"二者知一即可。验证基的工作由此减半,例 2.41 与后面的练习都会反复用到这一点。
和的维数公式:定理 2.43
回顾第 1 章:子空间之和定义为 \(U_1+U_2=\{u+w:u\in U_1,\ w\in U_2\}\),它是同时包含 \(U_1\) 与 \(U_2\) 的最小子空间;当分解式唯一(等价地,\(U_1\cap U_2=\{0\}\))时称为直和。下面的公式是本节的压轴结果,它与计数中的容斥原理形式完全一致。
设 \(V\) 是有限维向量空间,\(U_1,U_2\) 是 \(V\) 的子空间,则 \[\dim(U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1\cap U_2).\]
证明. 先取 \(U_1\cap U_2\) 的基 \(u_1,\dots,u_m\)(若 \(U_1\cap U_2=\{0\}\),则取空列表,\(m=0\),以下论证照常进行)。由定理 2.32,把它分别扩充为 \(U_1\) 的基与 \(U_2\) 的基: \[u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_j \quad\text{是 } U_1 \text{ 的基},\qquad u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_k \quad\text{是 } U_2 \text{ 的基}.\] 断言:合并列表 \[u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_j,w_1,\dots,w_k\] 是 \(U_1+U_2\) 的基。
先证张成。任取 \(x\in U_1+U_2\),写 \(x=u+w\),其中 \(u\in U_1\)、\(w\in U_2\)。由于 \(u\) 由前段基(即 \(u\)'s 与 \(v\)'s)线性表出,\(w\) 由 \(u\)'s 与 \(w\)'s 线性表出,相加即知 \(x\) 由合并列表线性表出。
再证线性无关。设 \[\sum_{i=1}^{m}a_i u_i+\sum_{t=1}^{j}b_t v_t+\sum_{r=1}^{k}c_r w_r=0.\] 移项得 \(\sum_i a_i u_i+\sum_t b_t v_t=-\sum_r c_r w_r\)。左端属于 \(U_1\),右端属于 \(U_2\),故这个公共向量属于 \(U_1\cap U_2\),可写为 \(\sum_i d_i u_i\)。于是 \(\sum_i d_i u_i+\sum_r c_r w_r=0\)。由 \(u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_k\) 是 \(U_2\) 的基(故线性无关),得所有 \(d_i=0\)、\(c_r=0\)。代回原式,只剩 \(\sum_i a_i u_i+\sum_t b_t v_t=0\);由 \(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_j\) 是 \(U_1\) 的基,得所有 \(a_i=0\)、\(b_t=0\)。合并列表线性无关,断言得证。
最后清点长度: \[\dim(U_1+U_2)=m+j+k=(m+j)+(m+k)-m=\dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1\cap U_2). \quad\blacksquare\]
在 \(\mathbb{R}^3\) 中取 \(U_1=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}\) 与 \(U_2=\{(x,0,z):x,z\in\mathbb{R}\}\),这是两张交于 \(x\) 轴的过原点平面:\(\dim U_1=\dim U_2=2\),\(U_1\cap U_2=\{(x,0,0)\}\) 的维数为 \(1\)。由定理 2.43,\(\dim(U_1+U_2)=2+2-1=3=\dim\mathbb{R}^3\),再由推论 2.39 得 \(U_1+U_2=\mathbb{R}^3\):两张不重合的过原点平面恰好"撑满"整个空间。两个极端情形也值得一并记住:若两平面重合,则交的维数为 \(2\),和的维数为 \(2+2-2=2\);若把平面换成两条不重合的过原点直线,则交为 \(\{0\}\),和是平面,\(1+1-0=2\),此时和恰为直和,维数直接相加。一般地,由定理 2.43 立得:\(U_1+U_2\) 是直和当且仅当 \(\dim(U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2\)(有限维情形)。
一个有用的类比:向量空间与集合
原书在本节页边给出了一张精巧的类比表:把有限维向量空间的理论与朴素的集合计数并排对照,许多结论立刻获得直觉。其基本对应是把"张成"看成"并"——列表 \(v_1,\dots,v_m\) 的张成,好比集合 \(A_1,\dots,A_m\) 的并;而"线性无关"好比这些集合"两两不重叠",保证并集的计数不发生重复。
| 向量空间中的概念 | 集合论中的类比 |
|---|---|
| 向量空间 \(V\) | 集合 \(S\) |
| 张成 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\) | 并 \(A_1\cup\cdots\cup A_m\) |
| 线性无关列表 | 两两互斥 (mutually disjoint) 的集合族 |
| 基 (basis) | 恰当覆盖 (exact cover) 且互斥的族 |
| 维数 \(\dim V\) | 基数 (cardinality) \(|S|\) |
| 直和 \(U_1\oplus U_2\) | 不交并 \(A_1\sqcup A_2\) |
这张表的"高光时刻"正是定理 2.43:它和容斥原理 \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) 形式完全相同——"和的维数"扮演"并的基数",而直和恰好对应不交并,此时交为零空间,公式退化为维数直接相加。再看推论 2.39:"同维子空间必相等"对应着"有限集的子集若与全集基数相同,就必然是全集"。当然,类比只是直觉的脚手架,不能替代证明:两个不同的基可以含有公共向量(基并不真的"互斥"),无限维空间中"同维必相等"也会失效。真正可靠的,始终是定理本身。
本节小结
维数是有限维向量空间的"身份证号码":它把"这个空间有多大"压缩成一个自然数。本节的逻辑链条环环相扣:
- 定理 2.34 保证基的长度不随基的选取而变,从而使定义 2.35 合法;
- 定理 2.37 与推论 2.39 给出子空间维数的上界,以及"维数追平即相等"的判据;
- 推论 2.38 与定理 2.42 把"验证基"的工作减半:长度恰为 \(\dim V\) 时,线性无关与张成二者知一即可;
- 定理 2.43 给出子和空间的容斥公式,是处理子空间之间关系的基本计算工具。
在下一章中,线性映射 \(T\colon V\to W\) 将成为主角,而维数正是刻画它的钥匙:像空间 \(\operatorname{range}T\) 的维数(秩)与零空间 \(\operatorname{null}T\) 的维数(零化度)将满足著名的秩–零化度定理 \(\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T\)。它是本节维数加法公式的自然延续,也是整个线性映射理论的算术骨架。
练习
练习 2.C-1
设 \(U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+2y-3z=0\}\)。求 \(\dim U\),给出一组基,并判断 \(U\) 是否为 \(\mathbb{R}^3\) 的真子空间。
解答条件即 \(x=-2y+3z\),故 \((x,y,z)=y(-2,1,0)+z(3,0,1)\),于是 \(U=\operatorname{span}\big((-2,1,0),(3,0,1)\big)\)。若 \(y(-2,1,0)+z(3,0,1)=(0,0,0)\),观察第 \(2\)、\(3\) 个坐标立得 \(y=z=0\),故该列表线性无关,是 \(U\) 的基,从而 \(\dim U=2\)。由 \(2<3=\dim\mathbb{R}^3\) 及推论 2.39 的逆否命题,\(U\) 是真子空间——它是 \(\mathbb{R}^3\) 中一张过原点的平面。
练习 2.C-2
利用推论 2.38 证明:\((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\) 是 \(\mathbb{F}^3\) 的基(其中 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\))。
解答该列表长度为 \(3=\dim\mathbb{F}^3\),故由推论 2.38 只需验证线性无关。设 \(a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(0,0,0)\),按分量比较得 \(a+c=0\)、\(a+b=0\)、\(b+c=0\)。由前两式得 \(c=-a\)、\(b=-a\),代入第三式得 \(-2a=0\);在 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\) 中 \(2\ne 0\),故 \(a=0\),进而 \(b=c=0\)。于是列表线性无关,由推论 2.38 它是 \(\mathbb{F}^3\) 的基。若把域换成特征为 \(2\) 的域,这三个向量线性相关,结论不再成立。
练习 2.C-3
在 \(\mathbb{F}^4\) 中设 \(U_1=\operatorname{span}(e_1,e_2)\),\(U_2=\operatorname{span}(e_2,e_3)\)。求 \(\dim(U_1\cap U_2)\) 与 \(\dim(U_1+U_2)\),并验证定理 2.43 的公式。
解答若 \(v\in U_1\cap U_2\),则 \(v=ae_1+be_2=ce_2+de_3\);由 \(e_1,e_2,e_3,e_4\) 线性无关,比较系数得 \(a=d=0\),故 \(v\in\operatorname{span}(e_2)\)。反之 \(\operatorname{span}(e_2)\) 显然包含于交集,故 \(U_1\cap U_2=\operatorname{span}(e_2)\),维数为 \(1\)。又 \(U_1+U_2=\operatorname{span}(e_1,e_2,e_3)\),且此列表线性无关,故 \(\dim(U_1+U_2)=3\)。验证:\(\dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1\cap U_2)=2+2-1=3\),与直接计算一致。
练习 2.C-4
设 \(V\) 是 \(n\) 维向量空间。证明:\(V\) 中任何长度大于 \(n\) 的列表都线性相关;并由此证明多项式空间 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 是无限维的。
解答反证:若 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关且 \(m>n\),则由定理 2.32,它可扩充为 \(V\) 的基,于是 \(V\) 有一个长度至少为 \(m>n\) 的基,与定理 2.34("每个基的长度都是 \(\dim V=n\)")矛盾。对 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\):对每个 \(m\),列表 \(1,x,\dots,x^m\) 都线性无关(在无限域上,非零多项式不可能处处取零),其长度 \(m+1\) 可以任意大,故不存在统一的长度上界 \(n\),从而 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 不是有限维的。
练习 2.C-5
设 \(V\) 有限维,\(U_1,U_2\) 是其子空间。证明:\(U_1+U_2\) 是直和当且仅当 \(\dim(U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2\)。
解答由定理 2.43,\(\dim(U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1\cap U_2)\),故题中等式成立当且仅当 \(\dim(U_1\cap U_2)=0\),即 \(U_1\cap U_2\) 的基是空列表,亦即 \(U_1\cap U_2=\{0\}\)。而第 1 章已证:和 \(U_1+U_2\) 是直和当且仅当 \(U_1\cap U_2=\{0\}\)。两条判据串起来即得结论。证毕。