8.A 广义特征向量与幂零算子

证明 设 \(k\) 为非负整数且 \(v\in\operatorname{null}T^k\)。则 \(T^{k+1}v=T\bigl(T^kv\bigr)=T(0)=0\),故 \(v\in\operatorname{null}T^{k+1}\)。证毕。\(\blacksquare\)

证明 设 \(k\) 为正整数,只需证 \(\operatorname{null}T^{m+k}=\operatorname{null}T^{m+k+1}\)。由 8.1 已有"\(\subseteq\)"。反之设 \(v\in\operatorname{null}T^{m+k+1}\)。则 \[ T^{m+1}\bigl(T^kv\bigr)=T^{m+k+1}v=0, \] 即 \(T^kv\in\operatorname{null}T^{m+1}=\operatorname{null}T^m\)。于是 \[ T^{m+k}v=T^m\bigl(T^kv\bigr)=0, \] 故 \(v\in\operatorname{null}T^{m+k}\),得"\(\supseteq\)"。证毕。\(\blacksquare\)

证明 记 \(n=\dim V\)。由 8.2,只需证 \(\operatorname{null}T^{n}=\operatorname{null}T^{n+1}\)。反设不真,则由 8.1 与 8.2,链中每一项到下一项都是真包含(记号 \(\subsetneq\) 表示"真包含"): \[ \{0\}=\operatorname{null}T^0\subsetneq\operatorname{null}T^1\subsetneq\cdots\subsetneq\operatorname{null}T^{n}\subsetneq\operatorname{null}T^{n+1}. \] 链中每次真包含都使维数至少增加 \(1\),而这条链从 \(\{0\}\)(维数 \(0\))出发经过 \(n+1\) 次真包含,故 \[ \dim\operatorname{null}T^{n+1}\ge n+1=\dim V+1, \] 与子空间维数不能超过全空间矛盾。证毕。\(\blacksquare\)

证明 记 \(n=\dim V\)。先证 \[ 8.5\qquad \bigl(\operatorname{null}T^n\bigr)\cap\bigl(\operatorname{range}T^n\bigr)=\{0\}. \] 设 \(v\) 属于左边的交。则 \(T^nv=0\),且存在 \(u\in V\) 使 \(v=T^nu\)。对后一式两边再作用 \(T^n\),得 \[ T^{2n}u=T^nv=0, \] 即 \(u\in\operatorname{null}T^{2n}=\operatorname{null}T^n\)(由 8.3)。于是 \(v=T^nu=0\),证得 8.5。

由 8.5 与"交为零等价于和为直和"(1.46),\(\operatorname{null}T^n+\operatorname{range}T^n\) 是直和。再用直和的维数公式与线性映射基本定理(\(\dim\operatorname{null}S+\dim\operatorname{range}S=\dim V\)): \[ \dim\bigl(\operatorname{null}T^n\oplus\operatorname{range}T^n\bigr)=\dim\operatorname{null}T^n+\dim\operatorname{range}T^n=\dim V. \] 该直和是 \(V\) 的 \(\dim V\) 维子空间,故恰为 \(V\)(维数相同且包含于 \(V\) 的子空间必等于全空间,见 2.39)。证毕。\(\blacksquare\)

证明 记 \(n=\dim V\),对 \(n\) 作归纳。\(n=1\) 时 \(V\) 中每个非零向量都是特征向量,结论成立。

设 \(n>1\) 且结论对维数更小的空间成立。取 \(T\) 的一个特征值 \(\lambda\)(这一步用到 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\):复空间上的算子必有特征值;\(\mathbf{F}=\mathbf{R}\) 时算子可能没有特征值)。对算子 \(T-\lambda I\) 应用 8.4: \[ V=\operatorname{null}(T-\lambda I)^n\oplus\operatorname{range}(T-\lambda I)^n. \] 若 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)^n=V\),则 \(V\) 中每个非零向量都是相应于 \(\lambda\) 的广义特征向量,任取 \(V\) 的基即得结论。故可设 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)^n\ne V\),从而 \(\operatorname{range}(T-\lambda I)^n\ne\{0\}\);又 \(\lambda\) 是特征值使 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)^n\ne\{0\}\),于是 \[ 0<\dim\operatorname{range}(T-\lambda I)^n<n. \] 子空间 \(\operatorname{range}(T-\lambda I)^n\) 在 \(T\) 下不变:因为 \(T\) 与 \((T-\lambda I)^n\) 交换,对 \(u\in V\) 有 \(T\bigl((T-\lambda I)^nu\bigr)=(T-\lambda I)^n(Tu)\) 仍在该值域中(即 5.18 取 \(p(z)=(z-\lambda)^n\) 的情形)。令 \(S\in\mathcal{L}\bigl(\operatorname{range}(T-\lambda I)^n\bigr)\) 为 \(T\) 在此子空间上的限制。由归纳假设,\(\operatorname{range}(T-\lambda I)^n\) 有由 \(S\) 的广义特征向量构成的基;这些向量满足 \((S-\lambda'I)^k=0\) 形式的方程,而 \(S\) 的作用就是 \(T\) 的作用,故它们也是 \(T\) 的广义特征向量。把这个基与 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)^n\) 的任意基(其非零向量都是相应于 \(\lambda\) 的广义特征向量)拼起来,便得到 \(V\) 的由 \(T\) 的广义特征向量构成的基。证毕。\(\blacksquare\)

证明 设 \(v\) 同时是相应于特征值 \(\alpha\) 与 \(\lambda\) 的广义特征向量。取最小的正整数 \(m\) 使 \((T-\alpha I)^mv=0\),记 \(n=\dim V\)。把 \(T-\lambda I\) 写成 \((T-\alpha I)+(\alpha-\lambda)I\) 并用二项式定理(两个被加项交换,故展开合法): \[ 0=(T-\lambda I)^nv=\Bigl((T-\alpha I)+(\alpha-\lambda)I\Bigr)^{n}v=\sum_{k=0}^{n}b_k(\alpha-\lambda)^{\,n-k}(T-\alpha I)^kv, \] 其中 \(b_0=1\),其余二项式系数 \(b_k\) 的数值无关紧要。对上式两边作用 \((T-\alpha I)^{m-1}\):凡 \(k\ge 1\) 的项都含因子 \((T-\alpha I)^{m-1+k}v=(T-\alpha I)^{k-1}\bigl((T-\alpha I)^{m}v\bigr)=0\),只剩 \[ 0=(\alpha-\lambda)^n(T-\alpha I)^{m-1}v. \] 由 \(m\) 的最小性,\((T-\alpha I)^{m-1}v\ne 0\),故 \((\alpha-\lambda)^n=0\),即 \(\alpha=\lambda\)。证毕。\(\blacksquare\)

证明 反设结论不真。取最小的正整数 \(m\),使存在相应于互异特征值 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) 的线性相关的广义特征向量组 \(v_1,\dots,v_m\)。由定义每个广义特征向量非零,故 \(m\ge 2\);由 \(m\) 的最小性,线性关系 \[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0 \] 中所有系数 \(a_1,\dots,a_m\) 都非零。记 \(n=\dim V\),对上式两边作用 \((T-\lambda_mI)^n\):末项为零,得 \[ 8.13\qquad a_1(T-\lambda_mI)^nv_1+\cdots+a_{m-1}(T-\lambda_mI)^nv_{m-1}=0. \] 设 \(k\in\{1,\dots,m-1\}\)。则 \((T-\lambda_mI)^nv_k\ne 0\):否则 \(v_k\) 同时相应于互异特征值 \(\lambda_k\) 与 \(\lambda_m\),与 8.11 矛盾。另一方面, \[ (T-\lambda_kI)^n\bigl((T-\lambda_mI)^nv_k\bigr)=(T-\lambda_mI)^n\bigl((T-\lambda_kI)^nv_k\bigr)=0, \] 故 \((T-\lambda_mI)^nv_k\) 是相应于特征值 \(\lambda_k\) 的广义特征向量。于是 8.13 给出 \(m-1\) 个相应于互异特征值 \(\lambda_1,\dots,\lambda_{m-1}\) 的线性相关广义特征向量组,与 \(m\) 的最小性矛盾。证毕。\(\blacksquare\)

证明 因 \(T\) 幂零,存在正整数 \(k\) 使 \(T^k=0\),即 \(\operatorname{null}T^k=V\)。由 8.1 链递增、由 8.3 链在 \(\dim V\) 步凝固,得 \(\operatorname{null}T^{\dim V}=V\),即 \(T^{\dim V}=0\)。证毕。\(\blacksquare\)

证明 (a) 设 \(T\) 幂零,取正整数 \(m\) 使 \(T^m=0\)。若 \(T\) 单射,则 \(T^m\) 单射,与 \(T^m=0\)(把整个 \(V\) 映到 \(0\))矛盾,故 \(T\) 不单射,即 \(0\) 是特征值。再设 \(\lambda\) 是 \(T\) 的任意特征值,取非零向量 \(v\) 使 \(\lambda v=Tv\)。对两边反复作用 \(T\),得 \[ \lambda^mv=T^mv=0. \] 由 \(v\ne 0\) 得 \(\lambda^m=0\),即 \(\lambda=0\)。

(b) 设 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\) 且 \(0\) 是 \(T\) 的唯一特征值。由 5.27(特征值恰为极小多项式 (minimal polynomial) 的零点;复空间上极小多项式是全部互异特征值对应的一次因式之积),\(T\) 的极小多项式必为 \(z^m\) 的形式(\(m\) 为某正整数)。于是 \(T^m=0\),\(T\) 幂零。证毕。\(\blacksquare\)

证明 (a)\(\Rightarrow\)(b):设 \(T^n=0\)。由 5.29(\(q(T)=0\) 当且仅当 \(q\) 是极小多项式的多项式倍),\(z^n\) 是极小多项式的倍式;一个整除 \(z^n\) 的极小多项式只能形如 \(z^m\)。

(b)\(\Rightarrow\)(c):设极小多项式为 \(z^m\),其零点只有 \(0\),故由 5.27(a),\(T\) 的特征值只有 \(0\)。又 \(z^m\) 已是一次因式之积,由 5.44,\(V\) 有基使 \(T\) 的矩阵上三角;再由 5.41(上三角矩阵的特征值恰为对角元),该矩阵的对角元全是 \(0\)。

(c)\(\Rightarrow\)(a):设 \(V\) 有基使 \(\mathcal{M}(T)\) 是对角线全零的上三角矩阵。直观上,\(n\times n\) 严格上三角矩阵每自乘一次,非零元素整体上移一条对角带,至多 \(n\) 次后必全为零(这就是 5.40 在对角元全为零时的特例)。故 \(T^{\dim V}=0\),\(T\) 幂零。证毕。\(\blacksquare\)

证明 若 \(v\in\operatorname{null}(T-\lambda I)^{\dim V}\),则取 \(k=\dim V\) 即知 \(v\in G(\lambda,T)\),故"\(\supseteq\)"成立。反之设 \(v\in G(\lambda,T)\),即存在正整数 \(k\) 使 \(v\in\operatorname{null}(T-\lambda I)^k\)。对算子 \(T-\lambda I\) 用 8.1 与 8.3,得 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)^k\subseteq\operatorname{null}(T-\lambda I)^{\dim V}\),故 \(v\) 属于右边,"\(\subseteq\)"亦成立。证毕。\(\blacksquare\)

证明 设 \(v\in G(\lambda,T)\)。由 8.20,\((T-\lambda I)^{\dim V}v=0\)。于是 \[ N^{\dim V}v=(T-\lambda I)^{\dim V}v=0\qquad\text{对一切 }v\in G(\lambda,T), \] 即 \(N^{\dim V}=0\)(作为 \(G(\lambda,T)\) 上的算子),\(N\) 幂零。而 \(T\) 在 \(G(\lambda,T)\) 上的作用显然满足 \(T|_{G(\lambda,T)}=\lambda I+N\)。证毕。\(\blacksquare\)