引言:从旋转说起
前四章建立了向量空间、线性映射、对偶空间与多项式的理论。从本章开始,我们把注意力集中在单个算子上:设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\)(即 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\))上的向量空间,研究 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 的内部结构。研究算子的基本策略是"化整为零":寻找 \(V\) 的子空间 \(U\),使得 \(T\) 的作用保持 \(U\) 不变,从而可以把 \(T\) 限制在更小的空间 \(U\) 上来研究。这样的子空间称为不变子空间 (invariant subspace)。
最简单的非零不变子空间是一维子空间。一个耐人寻味的开篇例子表明,这样的子空间未必存在。定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) 为
\[ T(x,y)=(-y,x), \]即把平面上每个向量逆时针旋转 \(90^{\circ}\)。任取非零向量 \(v\),其张成的一维子空间 \(\operatorname{span}(v)\) 就是过原点且含 \(v\) 的直线。由于 \(Tv\) 与 \(v\) 垂直(内积 \((x,y)\cdot(-y,x)=0\)),向量 \(Tv\) 不再落在这条直线上,于是 \(\operatorname{span}(v)\) 不是 \(T\) 的不变子空间(见图 1 左图)。换言之:这个算子在 \(\mathbb{R}^2\) 中没有任何一维不变子空间。如果换成复数域 \(\mathbb{C}\),情况将完全不同——\(T\) 在 \(\mathbb{C}^2\) 中恰有两条一维不变直线(见图 1 右图与例 5.6)。这一对比正是本章反复出现的主题:算子的结构强烈依赖于基础域是 \(\mathbb{R}\) 还是 \(\mathbb{C}\)。
编号说明:本节条目编号大体沿用原书第四版 5.A(其中"复特征值存在性"对应原书定理 5.16);为便于网页阅读,个别例题做了合并与扩充,少数编号与原书略有出入,请以主题为准。
不变子空间
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(U\) 是 \(V\) 的子空间。若对每个 \(u\in U\) 都有 \(Tu\in U\),则称 \(U\) 在 \(T\) 作用下不变,或称 \(U\) 是 \(T\) 的不变子空间 (invariant subspace),记作 \(U\) 在 \(T\) 下不变。
设 \(U\) 在 \(T\) 下不变,则把 \(T\) 的定义域限制到 \(U\) 上,得到映射 \(T|_U\colon U\to U\),定义为 \(T|_U(u)=Tu\)。由于 \(U\) 不变,这确实是 \(U\) 到 \(U\) 自身的映射;线性性显然,故
\[ T|_U\in\mathcal{L}(U), \]称为 \(T\) 在 \(U\) 上的限制算子 (restriction operator)。这样,研究 \(T\) 在不变子空间 \(U\) 上的行为,就归结为研究一个更低维空间上的算子 \(T|_U\)——这正是"化整为零"策略的正式表述。
对任意 \(T\in\mathcal{L}(V)\):
- 子空间 \(\{0\}\) 与 \(V\) 总在 \(T\) 下不变,称为平凡不变子空间。于是每个算子至少有两个不变子空间;本节的核心问题是:是否存在非平凡的不变子空间?
- \(\operatorname{null}T\) 在 \(T\) 下不变:若 \(u\in\operatorname{null}T\),则 \(Tu=0\in\operatorname{null}T\)。
- \(\operatorname{range}T\) 在 \(T\) 下不变:若 \(u\in\operatorname{range}T\),则 \(u=Tw\)(某 \(w\in V\)),于是 \(Tu=T(Tw)\in\operatorname{range}T\)。
上述观察可以推广:对任意正整数 \(m\),\(\operatorname{null}T^m\) 与 \(\operatorname{range}T^m\) 都在 \(T\) 下不变。事实上,若 \(T^m u=0\),则 \(T^m(Tu)=T(T^m u)=T0=0\),故 \(Tu\in\operatorname{null}T^m\);若 \(u=T^m w\),则 \(Tu=T^{m+1}w=T^m(Tw)\in\operatorname{range}T^m\)。此外易见 \(\operatorname{null}T^m\subseteq\operatorname{null}T^{m+1}\)、\(\operatorname{range}T^{m+1}\subseteq\operatorname{range}T^m\)。这一族嵌套的不变子空间将在第 8 章(广义特征向量与复算子理论)中扮演中心角色,此处先埋下伏笔。
特征值与特征向量
一维不变子空间是最容易寻找的非平凡不变子空间,它对应着本节最重要的概念。
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。若存在 \(v\in V\),\(v\neq 0\),及 \(\lambda\in\mathbb{F}\),使得
\[ Tv=\lambda v, \]则称 \(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值 (eigenvalue),称 \(v\) 是 \(T\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量 (eigenvector)。注意特征向量必须非零,而特征值 \(\lambda\) 允许为 \(0\)。
为行文方便,本站把 \(T\) 的全体特征值组成的集合记作 \(\operatorname{ev}(T)\subseteq\mathbb{F}\)(原书未引入专门记号)。
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(\lambda\in\mathbb{F}\),则下列条件等价:
- (a) \(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值;
- (b) 方程 \(Tv=\lambda v\) 有非零解 \(v\);
- (c) \(T-\lambda I\) 不是单射;
- (d) \(\operatorname{null}(T-\lambda I)\neq\{0\}\)。
若 \(V\) 有限维,上述条件还等价于:\(T-\lambda I\) 不是满射,从而不可逆(由第 3 章,有限维时单射当且仅当满射)。
证明. (a) 与 (b) 只是定义 5.4 的复述。方程 \(Tv=\lambda v\) 即 \((T-\lambda I)v=0\),它有非零解当且仅当 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)\neq\{0\}\),即 \(T-\lambda I\) 不单射。这就给出 (b)、(c)、(d) 的等价性。
子空间 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)\) 称为 \(T\) 的属于 \(\lambda\) 的特征子空间 (eigenspace),它是全体属于 \(\lambda\) 的特征向量添上零向量后所成的子空间,并且必在 \(T\) 下不变(它是例 5.3 中 \(\operatorname{null}p(T)\) 的特例,取 \(p(z)=z-\lambda\) 即得,见定理 5.14)。
一维不变子空间与特征向量是同一事物的两种说法:设 \(v\neq 0\),则 \(\operatorname{span}(v)\) 在 \(T\) 下不变当且仅当 \(Tv\in\operatorname{span}(v)\),即存在 \(\lambda\in\mathbb{F}\) 使 \(Tv=\lambda v\),亦即 \(v\) 是 \(T\) 的特征向量。因此,
\[ \text{找 } T \text{ 的一维不变子空间} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{找 } T \text{ 的特征向量}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{求 } T \text{ 的特征值}. \]于是引言中的旋转算子没有一维不变子空间,当且仅当它(在 \(\mathbb{R}\) 上)没有特征值。下面一节系统考察各类例子。
典型例子
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2)\) 由 \(T(w,z)=(-z,w)\) 给出(把向量逆时针旋转 \(90^{\circ}\))。
(a) 若 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\),则 \(T\) 没有特征值,从而没有一维不变子空间。用反证法:设 \(\lambda\in\mathbb{R}\) 与非零向量 \((w,z)\) 满足 \((-z,w)=\lambda(w,z)\),即 \(z=-\lambda w\) 且 \(w=\lambda z\)。联立得 \(w=\lambda(-\lambda w)=-\lambda^{2}w\),即 \((1+\lambda^{2})w=0\)。由 \(\lambda\in\mathbb{R}\) 知 \(1+\lambda^{2}\gt 0\),故 \(w=0\),进而 \(z=-\lambda w=0\),与 \((w,z)\neq(0,0)\) 矛盾。
(b) 若 \(\mathbb{F}=\mathbb{C}\),则 \(T\) 恰有两个特征值 \(i\) 与 \(-i\)。直接验证:
\[ T(i,1)=(-1,i)=i\,(i,1),\qquad T(-i,1)=(-1,-i)=(-i)\,(-i,1), \]故 \(i\) 与 \(-i\) 都是特征值,相应的特征向量 \((i,1)\)、\((-i,1)\) 生成两条一维不变直线。又 \(\dim\mathbb{C}^{2}=2\),由推论 5.12(下文),\(T\) 至多有两个不同特征值,故 \(\operatorname{ev}(T)=\{i,-i\}\)。这个例子说明:特征值不仅取决于算子,还取决于基础域;同一个"旋转",在 \(\mathbb{R}\) 上无特征值,在 \(\mathbb{C}\) 上却有完备的一维不变直线。
设 \(V\) 是任意向量空间。若 \(T=0\) 是零算子,则对任意 \(v\neq 0\) 有 \(Tv=0=0\cdot v\),故每个非零向量都是特征向量,且 \(\operatorname{ev}(T)=\{0\}\):由 \(0=Tv=\lambda v\) 与 \(v\neq 0\) 得 \(\lambda=0\)。若 \(T=I\) 是恒等算子,则对任意 \(v\neq 0\) 有 \(Iv=v=1\cdot v\),故 \(\operatorname{ev}(I)=\{1\}\),每个非零向量都是属于 \(1\) 的特征向量。两个例子共同表明:特征值未必"稀少",但特征值的个数在有限维空间受到严格控制(见推论 5.12)。
考虑求导运算 \(D\)。
(a) 把 \(D\) 看作多项式空间 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上的算子。若 \(Dq=\lambda q\) 且 \(q\neq 0\):当 \(\lambda\neq 0\) 时,比较次数得 \(\deg(Dq)=\deg q-1\lt\deg q=\deg(\lambda q)\),矛盾;故只能 \(\lambda=0\),此时 \(Dq=0\) 迫使 \(q\) 为非零常值多项式。因此 \(D\) 在 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上有唯一特征值 \(0\),特征向量恰为非零常多项式。
(b) 把 \(D\) 看作无穷次可微函数空间 \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) 上的算子。对每个 \(\lambda\in\mathbb{R}\),函数 \(e^{\lambda x}\) 非零且满足
\[ D\big(e^{\lambda x}\big)=\lambda e^{\lambda x}, \]故 \(\mathbb{R}\) 中每个数都是 \(D\) 的特征值。同一个求导运算,换一个定义域空间,谱面貌完全不同——这说明特征值的概念本质上依赖于所作用的向量空间;同时也预告了无穷维空间上特征值可以有无穷多个,有限维的"个数不超过维数"的约束不再适用。
设 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 表示 \(\mathbb{F}\) 中元素的无穷序列 \((x_1,x_2,x_3,\dots)\) 全体所成的向量空间,定义后向移位 (backward shift) \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{\infty})\):
\[ T(x_1,x_2,x_3,\dots)=(x_2,x_3,x_4,\dots). \]对任意 \(\lambda\in\mathbb{F}\),向量 \((1,\lambda,\lambda^{2},\dots)\neq 0\),且
\[ T(1,\lambda,\lambda^{2},\dots)=(\lambda,\lambda^{2},\dots)=\lambda\,(1,\lambda,\lambda^{2},\dots), \]故 \(\operatorname{ev}(T)=\mathbb{F}\):基础域中的每个数都是特征值。这不与推论 5.12 冲突,因为 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 是无穷维空间。
定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)\):
\[ T(x,y,z,w)=(2x+y,\;2y,\;3z+w,\;3w). \]求 \(T\) 的特征值,即求使 \((T-\lambda I)(x,y,z,w)=0\) 有非零解的 \(\lambda\),也就是解
\[ (2-\lambda)x+y=0,\qquad (2-\lambda)y=0,\qquad (3-\lambda)z+w=0,\qquad (3-\lambda)w=0. \]若 \(\lambda\neq 2\),由第二方程得 \(y=0\);若 \(\lambda\neq 3\),由第四方程得 \(w=0\)。分情况讨论:
- \(\lambda=2\):第四方程给出 \(w=0\),第三方程给出 \(z+w=0\) 即 \(z=0\),第一方程给出 \(y=0\)。非零解为 \((x,0,0,0)\),\(x\neq 0\)。
- \(\lambda=3\):第二方程给出 \(y=0\),第一方程给出 \(-x+y=0\) 即 \(x=0\),第三方程给出 \(w=0\)。非零解为 \((0,0,z,0)\),\(z\neq 0\)。
- \(\lambda\neq 2\) 且 \(\lambda\neq 3\):上述各式迫使 \(x=y=z=w=0\),无非零解。
故 \(T\) 恰有两个特征值 \(2\) 与 \(3\),特征子空间分别为 \(\operatorname{span}\big((1,0,0,0)\big)\) 与 \(\operatorname{span}\big((0,0,1,0)\big)\)。值得注意的是,\(T\) 是四维空间上的算子,却只有两条一维不变直线;例如 \((1,0,1,0)\) 是两个特征向量之和,但 \(T(1,0,1,0)=(2,0,3,0)\),不是 \((1,0,1,0)\) 的倍数,故不同特征值的特征向量之和不再是特征向量。当特征向量"不够用"时如何补足,正是 5.B(极小多项式)与第 8 章(广义特征向量)要解决的问题。
特征向量的线性无关性
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(\lambda_1,\dots,\lambda_m\in\mathbb{F}\) 是 \(T\) 的互不相同的特征值,\(v_1,\dots,v_m\) 是相应的特征向量(\(Tv_j=\lambda_j v_j\),\(v_j\neq 0\))。则 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关。
证明. 对 \(m\) 用归纳法。\(m=1\) 时单个非零向量 \(v_1\) 线性无关,结论成立。设 \(m\gt 1\) 且结论对 \(m-1\) 个互异特征值成立。设有标量 \(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\) 使
\[ a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \]对两边施加算子 \(T-\lambda_m I\)。对每个 \(j\),\((T-\lambda_mI)v_j=(\lambda_j-\lambda_m)v_j\),而最后一项 \((\lambda_m-\lambda_m)v_m=0\) 消失,故得
\[ a_1(\lambda_1-\lambda_m)v_1+\cdots+a_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)v_{m-1}=0. \]由归纳假设,\(v_1,\dots,v_{m-1}\) 线性无关,于是各系数为零:\(a_j(\lambda_j-\lambda_m)=0\)(\(j=1,\dots,m-1\))。又诸特征值互异,\(\lambda_j-\lambda_m\neq 0\),故 \(a_1=\cdots=a_{m-1}=0\)。代回原式得 \(a_mv_m=0\),再由 \(v_m\neq 0\) 得 \(a_m=0\)。于是全部系数为零,即 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关。
设 \(V\) 是 \(n\) 维向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\),则 \(T\) 至多有 \(n\) 个互不相同的特征值。
证明. 若 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) 是 \(T\) 的互异特征值,各取一个对应的特征向量 \(v_1,\dots,v_m\),由定理 5.11 它们线性无关。由第 2 章,线性无关组的长度不超过空间的维数,故 \(m\le n\)。
例如,\(\mathbb{R}^2\) 上的任何算子至多有两个不同特征值;例 5.10 中 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)\) 恰有两个特征值,未达上界;例 5.9 与例 5.8(b) 则表明,这一上界本质上是有限维现象。
多项式作用于算子
第 4 章的多项式理论将在本章发挥关键作用,载体是"把多项式作用到算子上"这一构造。
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(m\) 为正整数,定义 \(T^m=T\circ T\circ\cdots\circ T\)(\(m\) 个 \(T\) 的复合),并约定 \(T^0=I\)。对多项式 \(p=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),定义
\[ p(T)=a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m\in\mathcal{L}(V). \]当 \(p(T)\) 作用于向量 \(v\) 时,常把 \(p(T)(v)\) 简写作 \(p(T)v\)。由于 \(T^jT^k=T^{j+k}=T^kT^j\) 且标量乘法可交换,对任意 \(p,q\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 有
\[ p(T)q(T)=(pq)(T)=q(T)p(T), \]即以 \(T\) 为"变量"的多项式彼此可交换;特别地,\(p(T)\) 总与 \(T\) 本身可交换。这一看似平凡的性质是下面两条结果的支柱。
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),则 \(\operatorname{null}p(T)\) 在 \(T\) 下不变。
证明. 设 \(v\in\operatorname{null}p(T)\),即 \(p(T)v=0\)。利用 \(T\) 与 \(p(T)\) 的可交换性:
\[ p(T)(Tv)=\big(p(T)T\big)(v)=\big(T\,p(T)\big)(v)=T\big(p(T)v\big)=T0=0, \]故 \(Tv\in\operatorname{null}p(T)\),即 \(\operatorname{null}p(T)\) 在 \(T\) 下不变。
取 \(p(z)=z-\lambda\),便得到属于 \(\lambda\) 的特征子空间 \(\operatorname{null}(T-\lambda I)\) 的不变性;取 \(p(z)=z^m\),便重新得到例 5.3 中 \(\operatorname{null}T^m\) 的不变性。定理 5.14 把这些散落的例子统一在一个框架之下。
设 \(V\) 是 \(n\) 维向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\),\(v\in V\)。若向量组 \(v,Tv,\dots,T^{\,n-1}v\) 线性相关,则存在次数不超过 \(n-1\) 的非零多项式 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),使得
\[ p(T)v=0. \]证明. 由线性相关,存在不全为零的标量 \(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}\) 使
\[ a_0v+a_1Tv+\cdots+a_{n-1}T^{\,n-1}v=0. \]令 \(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}\),则 \(p\neq 0\)、\(\deg p\le n-1\),且上式恰为 \(p(T)v=0\)。
命题 5.15 是下一存在性定理证明的雏形:在 \(n\) 维空间中,向量组 \(v,Tv,\dots,T^{\,n}v\) 有 \(n+1\) 个向量,必然线性相关;把它写成多项式的语言,再利用复多项式的因式分解,就能"逼出"特征值。"用多项式控制算子"的思想在 5.B(极小多项式)中将成为主角。
复向量空间上特征值的存在性
现在给出本节的高潮定理,它是复算子理论(第 8 章)与复化方法(第 9 章)的起点。
设 \(V\) 是非零的有限维复向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\),则 \(T\) 有特征值。
证明. 记 \(n=\dim V\ge 1\),任取非零向量 \(v\in V\)。向量组
\[ v,\;Tv,\;T^{2}v,\;\dots,\;T^{n}v \]含有 \(n+1\) 个向量,而 \(V\) 是 \(n\) 维的,由第 2 章知该组线性相关。于是存在不全为零的 \(a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}\) 使
\[ a_0v+a_1Tv+\cdots+a_nT^{n}v=0. \]取 \(m\) 为使 \(a_m\neq 0\) 的最大下标。注意 \(m\ge 1\):若 \(m=0\),则关系式退化为 \(a_0v=0\),由 \(a_0\neq 0\) 得 \(v=0\),与 \(v\neq 0\) 矛盾。于是多项式
\[ p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^{m}\in\mathcal{P}(\mathbb{C}) \]非零、次数 \(m\) 介于 \(1\) 与 \(n\) 之间,且满足 \(p(T)v=0\)。由代数基本定理(第 4 章),\(p\) 在 \(\mathbb{C}\) 上完全分解为一次因式之积:
\[ p(z)=c\,(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\cdots(z-\lambda_m), \]其中 \(c=a_m\neq 0\),诸 \(\lambda_j\in\mathbb{C}\)(允许重复)。相应地,
\[ p(T)=c\,(T-\lambda_1I)(T-\lambda_2I)\cdots(T-\lambda_mI), \]从而 \(0=p(T)v=c\,(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)v\)。由 \(c\neq 0\) 得
\[ (T-\lambda_1I)(T-\lambda_2I)\cdots(T-\lambda_mI)\,v=0. \]若每个 \(T-\lambda_jI\) 都是单射,则它们的复合仍是单射(单射的复合为单射),把非零向量 \(v\) 映为非零向量,与上式矛盾。故存在某个 \(j\) 使 \(T-\lambda_jI\) 不单射;由命题 5.5,\(\lambda_j\) 是 \(T\) 的特征值。
定理 5.16 的证明在两处用到 \(\mathbb{C}\):一是把线性相关性翻译成多项式后可以取到一次因式分解——这正是代数基本定理的威力,而 \(\mathbb{R}\) 上的多项式(如 \(z^2+1\))可能没有实根;二是分解出的根 \(\lambda_j\) 自动落在基域中。在实向量空间上,结论确实可能失效:例 5.6(a) 的旋转算子给出 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) 没有任何特征值,也没有任何一维不变子空间。后续章节的应对策略是:(i) 第 8 章在复向量空间上彻底研究算子结构(借助广义特征向量);(ii) 第 9 章把实算子"复化" (complexification),在更大的复空间中使用定理 5.16,再回到实空间提取信息。而连接算子与多项式的桥梁——极小多项式——正是下一节 5.B 的主题。
练习
练习 5.A-1
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(v\in V\),\(v\neq 0\)。证明:\(\operatorname{span}(v)\) 在 \(T\) 下不变,当且仅当 \(v\) 是 \(T\) 的特征向量。
解答/提示若 \(\operatorname{span}(v)\) 不变,则 \(Tv\in\operatorname{span}(v)\),即存在 \(\lambda\in\mathbb{F}\) 使 \(Tv=\lambda v\),由 \(v\neq 0\) 知 \(v\) 是属于 \(\lambda\) 的特征向量。反之,若 \(Tv=\lambda v\),则对任意 \(av\in\operatorname{span}(v)\),有 \(T(av)=aTv=a\lambda v\in\operatorname{span}(v)\),故 \(\operatorname{span}(v)\) 不变。证毕。
练习 5.A-2
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(U_1,U_2\) 是 \(T\) 的不变子空间。证明:\(U_1\cap U_2\) 与 \(U_1+U_2\) 也都是 \(T\) 的不变子空间。
解答/提示若 \(v\in U_1\cap U_2\),则 \(v\in U_1\) 且 \(v\in U_2\),由不变性 \(Tv\in U_1\) 且 \(Tv\in U_2\),故 \(Tv\in U_1\cap U_2\)。若 \(v\in U_1+U_2\),写 \(v=u_1+u_2\)(\(u_j\in U_j\)),则 \(Tv=Tu_1+Tu_2\in U_1+U_2\)。两式均说明不变性成立。证毕。
练习 5.A-3
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) 由 \(T(x,y)=(x+3y,\,3x+y)\) 定义。求 \(T\) 的全部特征值及相应的特征向量。
解答/提示解方程组 \((1-\lambda)x+3y=0\)、\(3x+(1-\lambda)y=0\)。第一式乘以 \(1-\lambda\)、第二式乘以 \(3\) 后相减,消去 \(y\) 得 \(\big((1-\lambda)^2-9\big)x=0\)。若 \(x=0\),则由第一式 \(y=0\),不产生特征向量,故必有 \((1-\lambda)^2=9\),即 \(\lambda=1\pm 3\),得 \(\lambda_1=4\)、\(\lambda_2=-2\)。代入 \(\lambda_1=4\):\(-3x+3y=0\),特征向量为 \((1,1)\) 的非零倍;代入 \(\lambda_2=-2\):\(3x+3y=0\),特征向量为 \((1,-1)\) 的非零倍。验证:\(T(1,1)=(4,4)=4(1,1)\),\(T(1,-1)=(-2,2)=-2(1,-1)\)。由推论 5.12,这两个就是全部特征值。
练习 5.A-4
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(v\) 是 \(T\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的特征向量,\(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\)。证明:\(v\) 是 \(p(T)\) 的特征向量,且相应的特征值为 \(p(\lambda)\)。
解答/提示先对 \(k\) 归纳证明 \(T^kv=\lambda^{k}v\)(\(k=0\) 时 \(Iv=v=\lambda^0v\);若 \(T^kv=\lambda^kv\),则 \(T^{k+1}v=T(\lambda^kv)=\lambda^kTv=\lambda^{k+1}v\))。设 \(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m\),则
\[ p(T)v=\sum_{k=0}^{m}a_kT^kv=\sum_{k=0}^{m}a_k\lambda^{k}v=p(\lambda)\,v, \]且 \(v\neq 0\),故 \(v\) 是 \(p(T)\) 的属于特征值 \(p(\lambda)\) 的特征向量。证毕。
练习 5.A-5
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{\infty})\) 是例 5.9 中的后向移位。证明:\(T\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的全部特征向量恰为 \((1,\lambda,\lambda^{2},\dots)\) 的非零标量倍,并由此说明 \(\operatorname{ev}(T)=\mathbb{F}\)。
解答/提示设 \(T(x_1,x_2,\dots)=\lambda(x_1,x_2,\dots)\),比较各分量得 \(x_{k+1}=\lambda x_k\) 对一切 \(k\ge 1\) 成立,从而由归纳法 \(x_k=\lambda^{k-1}x_1\),即 \((x_1,x_2,\dots)=x_1(1,\lambda,\lambda^{2},\dots)\);特征向量非零即 \(x_1\neq 0\),故为 \((1,\lambda,\lambda^{2},\dots)\) 的非零倍。反之,例 5.9 已验证每个这样的向量确为特征向量。由于对每个 \(\lambda\in\mathbb{F}\) 都有特征向量,故 \(\operatorname{ev}(T)=\mathbb{F}\)。证毕。
练习 5.A-6
设 \(V\) 是维数至少为 \(1\) 的向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\)。假设 \(V\) 中每个非零向量都是 \(T\) 的特征向量(如零算子与恒等算子)。证明:存在 \(\lambda\in\mathbb{F}\) 使 \(T=\lambda I\)。
解答/提示若 \(\dim V=1\),取非零 \(v\),则 \(Tv=\lambda v\) 对某 \(\lambda\) 成立,而对任意 \(w=av\) 有 \(Tw=aTv=\lambda w\),故 \(T=\lambda I\)。若 \(\dim V\ge 2\),取线性无关的 \(u,w\in V\)(若所有向量两两线性相关,则 \(\dim V=1\))。设 \(Tu=\alpha u\)、\(Tw=\beta w\)。由假设 \(u+w\neq 0\) 也是特征向量,设 \(T(u+w)=\mu(u+w)\);另一方面 \(T(u+w)=Tu+Tw=\alpha u+\beta w\)。两式相减得 \((\alpha-\mu)u+(\beta-\mu)w=0\),由线性无关性 \(\alpha=\mu=\beta\),记其为 \(\lambda\)。于是任意两个无关向量对应同一特征值;对任意 \(v\in V\),取与 \(v\) 无关的向量(维数至少为 2 时可行;与所有向量相关的情形即一维)即可得 \(Tv=\lambda v\),故 \(T=\lambda I\)。证毕。