零空间与核
3.A 节把全体线性映射 \(\mathcal{L}(V,W)\) 组织成一个向量空间;本节转而剖析单个映射 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 的内部结构。第一个自然的问题是:定义域 \(V\) 中,哪些向量被 \(T\) 送到了零向量?这些向量构成的集合并不是一堆散乱的点,而是一个代数结构良好的对象——\(V\) 的子空间。本节的一切讨论都从它出发。
定义 3.11(零空间). 设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。\(\boldsymbol{T}\) 的零空间 (null space) 是被 \(T\) 映为零向量的全体向量之集:
\[ \operatorname{null} T \;=\; \{\, v\in V : Tv=0 \,\}. \]零空间也称为核 (kernel),常记作 \(\ker T\)。注意:\(\operatorname{null}T\) 是定义域 \(V\) 的子集,而非目标空间 \(W\) 的子集。
例 3.12(零空间的五个例子).
(a) 零映射。零映射 \(0\in\mathcal{L}(V,W)\) 把每个向量都送到 \(0\),故 \(\operatorname{null}\,0=V\):零空间可以大到吞没整个定义域。
(b) 一个线性泛函。线性泛函 (linear functional) \(\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^3,\mathbb{F})\) 由 \(\varphi(z_1,z_2,z_3)=z_1+2z_2+3z_3\) 给出,则
\[ \operatorname{null}\varphi=\{\, (z_1,z_2,z_3)\in\mathbb{F}^3 : z_1+2z_2+3z_3=0 \,\}, \]即 \(\mathbb{F}^3\) 中一张过原点的平面,维数为 \(2\)。
(c) 微分算子。3.A 节出现过的微分算子 (differentiation operator) \(D\in\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathcal{P}(\mathbb{R}))\),\(Dp=p'\)。导数恒为零的多项式恰为常值多项式,故
\[ \operatorname{null}D=\operatorname{span}(1)=\{\text{常值多项式}\}, \]维数为 \(1\)。
(d) 乘 \(x^2\) 映射。设 \(T\in\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathcal{P}(\mathbb{R}))\) 由 \(Tp=x^2p\) 定义。若 \(x^2p\) 是零多项式,则 \(p\) 的每个系数都必须为零,故 \(\operatorname{null}T=\{0\}\)。这也说明:即便在无穷维空间上,零空间也可能小到只剩原点。
(e) 后向移位。后向移位 (backward shift) \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{\infty},\mathbb{F}^{\infty})\) 由 \(T(z_1,z_2,z_3,\dots)=(z_2,z_3,\dots)\) 定义。\(Tz=0\) 当且仅当 \(z_2=z_3=\dots=0\),故
\[ \operatorname{null}T=\{\, (a,0,0,\dots) : a\in\mathbb{F} \,\}=\operatorname{span}\big((1,0,0,\dots)\big). \]定理 3.13(零空间是子空间). 设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\),则 \(\operatorname{null}T\) 是 \(V\) 的子空间。
证明.按第 1 章的子空间判别法分三步验证。
含零向量。由线性性,\(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\),两边加上 \(-T(0)\) 便得 \(T(0)=0\)。故 \(0\in\operatorname{null}T\)。
对加法封闭。设 \(u,v\in\operatorname{null}T\)。则 \(T(u+v)=Tu+Tv=0+0=0\),故 \(u+v\in\operatorname{null}T\)。
对数乘封闭。设 \(u\in\operatorname{null}T\),\(\lambda\in\mathbb{F}\)。则 \(T(\lambda u)=\lambda\,Tu=\lambda\cdot 0=0\),故 \(\lambda u\in\operatorname{null}T\)。
三条要求全部满足,故 \(\operatorname{null}T\) 是 \(V\) 的子空间。∎
评注.这个结论并非装饰:它保证了 \(\dim\operatorname{null}T\) 有意义,也预告了齐次线性方程组的解集必然具有线性结构(见本节末尾的应用)。直观地讲,\(\operatorname{null}T\) 越大,被 \(T\) "压扁为零" 的向量越多,\(T\) 丢失的信息也越多。
单射
零空间提供了判断一个映射是否"不丢失信息"的钥匙。先回忆集合论中的相应概念。
定义 3.14(单射).映射 \(T\colon V\to W\) 称为单射 (injective / one-to-one),如果
\[ Tu=Tv \implies u=v \quad (u,v\in V); \]等价地,\(u\neq v\implies Tu\neq Tv\)。几何直观:单射 = 不同输入得到不同输出,每个像点都能唯一地反推其原像。
定理 3.15(单射判别法).设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\),则
\[ T\ \text{单射} \iff \operatorname{null}T=\{0\}. \]证明。"\(\implies\)" 设 \(T\) 单射且 \(v\in\operatorname{null}T\)。则 \(Tv=0=T0\);由单射性立得 \(v=0\)。又 \(0\) 恒属于零空间,故 \(\operatorname{null}T=\{0\}\)。
"\(\impliedby\)" 设 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),并设 \(u,v\in V\) 满足 \(Tu=Tv\)。由线性性,\(T(u-v)=Tu-Tv=0\),即 \(u-v\in\operatorname{null}T=\{0\}\),故 \(u=v\)。这正说明 \(T\) 单射。∎
评注.这个判别法的威力在于化简:检验单射性,本来需要对所有向量对 \((u,v)\) 核对"同输出必同输入";现在只需回答一个问题——谁的像是零?据此可立即重读例 3.12:(d) 中乘 \(x^2\) 的映射因 \(\operatorname{null}T=\{0\}\) 而单射;(b)(c)(e) 中的 \(\varphi\)、\(D\) 与后向移位因零空间非零而都不单射。几何上看,若某个 \(v\neq 0\) 落入零空间,则 \(0\) 与 \(v\) 这两个不同输入共享输出 \(0\),单射性随即破产;反之,若只有原点被送到原点,那么任意两个同输出的输入之差必落在零空间中,从而只能相等。另一个方向的推广——单射的线性映射保持向量组的线性无关性——留作练习 6。
值域
零空间刻画 "\(T\) 把什么压成零";与之对偶,\(\boldsymbol{T}\) 真正"到达"了 \(W\) 的哪些地方?这便是值域。
定义 3.16(值域).设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。\(\boldsymbol{T}\) 的值域 (range) 是全体像所成之集:
\[ \operatorname{range} T \;=\; \{\, Tv : v\in V \,\} \;=\; \{\, w\in W : \text{存在 } v\in V \text{ 使 } Tv=w \,\}. \]值域也常称为 \(T\) 的像 (image)。注意:\(\operatorname{range}T\) 是目标空间 \(W\) 的子集。
例 3.17(值域的三个例子).
(a) 零映射的值域最小:\(\operatorname{range}\,0=\{0\}\)。
(b) 设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2,\mathbb{F}^3)\) 由 \(T(x,y)=(2x,\,5y,\,x+y)\) 定义。按坐标拆开,
\[ T(x,y)=x\,(2,0,1)+y\,(0,5,1), \qquad \operatorname{range}T=\operatorname{span}\big((2,0,1),\,(0,5,1)\big), \]而 \((2,0,1)\) 与 \((0,5,1)\) 显然不成比例,故值域是 \(\mathbb{F}^3\) 中一张二维的过原点平面。顺带一提,本题中 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),与维数关系 \(2=0+2\) 相合(其一般形式即定理 3.21)。
(c) 微分算子 \(D\in\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathcal{P}(\mathbb{R}))\) 的值域是整个 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\):任取多项式 \(q(x)=a_0+a_1x+\dots+a_mx^m\),令 \(p(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\dots+\frac{a_m}{m+1}x^{m+1}\),则 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 且 \(Dp=q\)。例如 \(x^2\) 是 \(x^3/3\) 的导数。
定理 3.18(值域是子空间). 设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\),则 \(\operatorname{range}T\) 是 \(W\) 的子空间。
证明。首先,由 \(T0=0\) 知 \(0\in\operatorname{range}T\)。其次设 \(w_1,w_2\in\operatorname{range}T\),则存在 \(v_1,v_2\in V\) 使 \(Tv_i=w_i\)(\(i=1,2\))。由线性性,
\[ w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2)\in\operatorname{range}T. \]最后,对任意 \(\lambda\in\mathbb{F}\),有 \(\lambda w_1=\lambda\,Tv_1=T(\lambda v_1)\in\operatorname{range}T\)。故 \(\operatorname{range}T\) 含零向量且对加法与数乘封闭,是 \(W\) 的子空间。∎
评注.值域作为子空间,其维数度量 \(T\) "实际占用" 了目标空间多少个自由度。于是 \(\dim\operatorname{range}T\) 有个专门的名字——它就是日后矩阵理论中的秩 (rank);在 3.C 节引入矩阵后,本节的抽象维数将与逐列计算的秩严丝合缝地对上。
满射
定义 3.19(满射).映射 \(T\colon V\to W\) 称为满射 (surjective / onto),如果 \(\operatorname{range}T=W\),即 \(W\) 中每个向量都是 \(V\) 中某个向量的像。几何直观:值域盖满整个目标空间。
例 3.20(满射性依赖于目标空间).把微分算子限制在有限维多项式空间 \(\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\) 上考察。若把 \(D\) 视为 \(D\colon\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\),则它不是满射:对任意 \(p\in\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\) 有 \(\deg p\le 5\),从而 \(\deg Dp\le 4\),故 \(x^5\notin\operatorname{range}D\)。然而,若把同一求导规则视为映射 \(D\colon\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\),则它是满射:\(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\) 中每个多项式逐项积分后便得到 \(\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\) 中的原函数。教训:谈论满射之前必须先明确目标空间——映射规则未变,换一个"靶子",满性即可翻转。相比之下,例 3.17(b) 的映射 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2,\mathbb{F}^3)\) 的值域只是 \(\mathbb{F}^3\) 中一张平面,无论怎样理解都不满。
线性映射基本定理
到目前为止,\(\operatorname{null}T\subseteq V\) 与 \(\operatorname{range}T\subseteq W\) 分居两个空间,似乎只是各管一段。有限维世界里,它们的维数却被一条精确的"守恒律"拴在一起。这条定理是全节的枢纽。
定理 3.21(线性映射基本定理).设 \(V\) 有限维,\(T\in\mathcal{L}(V,W)\),则 \(\operatorname{range}T\) 有限维,且
\[ \dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T. \]证明。设 \(u_1,\dots,u_m\) 是 \(\operatorname{null}T\) 的一组基(若 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),则取 \(m=0\),即空组)。由第 2 章的基扩充定理(原书 2.32),可以添入向量 \(v_1,\dots,v_n\in V\),使得
\[ u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n \]构成 \(V\) 的一组基。下面断言:\(Tv_1,\dots,Tv_n\) 恰是 \(\operatorname{range}T\) 的一组基。
张成。任取 \(w\in\operatorname{range}T\),存在 \(v\in V\) 使 \(Tv=w\)。用上述基展开 \(v\):
\[ v=\underbrace{\textstyle\sum_{j=1}^{m}a_ju_j}_{\in\operatorname{null}T\ \text{的部分}}+\textstyle\sum_{k=1}^{n}b_kv_k . \]由线性性并注意 \(Tu_j=0\),得
\[ w=Tv=\textstyle\sum_{j=1}^{m}a_jTu_j+\textstyle\sum_{k=1}^{n}b_kTv_k=\textstyle\sum_{k=1}^{n}b_kTv_k, \]故 \(w\in\operatorname{span}(Tv_1,\dots,Tv_n)\)。
线性无关。设 \(b_1,\dots,b_n\in\mathbb{F}\) 满足 \(\sum_{k=1}^{n}b_kTv_k=0\)。由线性性,
\[ T\Big(\textstyle\sum_{k=1}^{n}b_kv_k\Big)=\textstyle\sum_{k=1}^{n}b_kTv_k=0, \]故 \(\sum_{k=1}^{n}b_kv_k\in\operatorname{null}T=\operatorname{span}(u_1,\dots,u_m)\),于是存在 \(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\) 使 \(\sum_{k=1}^{n}b_kv_k=\sum_{j=1}^{m}a_ju_j\),移项得
\[ \textstyle\sum_{j=1}^{m}a_ju_j-\sum_{k=1}^{n}b_kv_k=0 . \]但 \(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n\) 合起来是 \(V\) 的基,线性无关,故上式所有系数全为零;特别地 \(b_1=\dots=b_n=0\)。所以 \(Tv_1,\dots,Tv_n\) 线性无关。
综合两段,\(Tv_1,\dots,Tv_n\) 是 \(\operatorname{range}T\) 的基,故 \(\dim\operatorname{range}T=n\);而 \(\dim V=m+n\),于是
\[ \dim V=m+n=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T. \qquad \blacksquare \]定理 3.21 断言了两件事。其一,\(\operatorname{range}T\) 必为有限维——哪怕目标空间 \(W\) 本身是无穷维的;其二,定义域的维数恰按"零空间 + 值域"的方式一分为二。直观地说:\(V\) 中沿零空间方向的 \(m\) 个自由度全部被 \(T\) 抹去,而其余 \(n\) 个方向的信息被完整地搬运进 \(W\),没有进一步折损——证明中 "\(Tv_1,\dots,Tv_n\) 线性无关" 一段,正是"零空间之外不再有损失"的代数表述。用它回看例 3.20:\(\dim\mathcal{P}_5(\mathbb{R})=6\),\(\dim\operatorname{null}D=1\)(常值多项式),\(\dim\operatorname{range}D=5\),恰有 \(6=1+5\)。
维数对单射与满射的制约
把定理 3.21 与判别法 3.15 结合,立刻得到关于线性映射"能做什么、不能做什么"的刚性限制。先给出一幅全局图像:定理 3.21 的证明实际上把 \(V\) 分成了"零空间方向"与"其余方向"两部分;换个等价的说法,\(V\) 被零空间的各种平移——陪集 (coset) \(v+\operatorname{null}T\)——分层铺满,每层在 \(T\) 下塌缩为值域中的一个点,不同层对应不同点。
定理 3.22(到更低维空间无单射).设 \(V\) 与 \(W\) 均有限维且 \(\dim V>\dim W\),则不存在单射的线性映射 \(V\to W\)。
证明。反设存在单射的 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。由定理 3.15,\(\operatorname{null}T=\{0\}\),即 \(\dim\operatorname{null}T=0\)。应用定理 3.21,
\[ \dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=\dim\operatorname{range}T\le\dim W, \]最后一步用了"子空间维数不超过全空间维数"(第 2 章定理 2.39)。这与 \(\dim V>\dim W\) 矛盾。故这样的单射不存在。∎
例 3.23.任何线性映射 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^4,\mathbb{F}^3)\) 都不是单射。注意我们完全不需要知道 \(T\) 的具体公式,更不需要解任何方程组——仅凭 \(4>3\) 与定理 3.22,结论便已锁定。若采用初等方法,则须对一般系数构造两个不同向量使之同像,繁琐程度不可同日而语。
定理 3.24(到更高维空间无满射).设 \(V\) 与 \(W\) 均有限维且 \(\dim V<\dim W\),则不存在满射的线性映射 \(V\to W\)。
证明。反设存在满射的 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\),则 \(\operatorname{range}T=W\),故 \(\dim\operatorname{range}T=\dim W\)。应用定理 3.21,
\[ \dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T\ge\dim\operatorname{range}T=\dim W, \]这与 \(\dim V<\dim W\) 矛盾。故这样的满射不存在。∎
评注.定理 3.22 与 3.24 互为对偶:一个用"零空间必须为零"卡住单射,一个用"值域必须占满"卡住满射。二者共同传达的哲学是:线性映射无法凭空创造维数,只能保持或压缩它。它们的逆否命题同样常用:存在单射 \(V\to W\) 蕴含 \(\dim V\le\dim W\),存在满射 \(V\to W\) 蕴含 \(\dim V\ge\dim W\)。当 \(\dim V=\dim W\) 时,"单"与"满"竟然等价(练习 3),而这正是 3.D 节可逆性理论的种子。必须警惕:上述等价性是有限维的专利——在无穷维空间上,微分算子 \(D\colon\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 满而不单(例 3.17(c)、3.12(c)),乘 \(x^2\) 的映射单而不满(例 3.12(d)),二者恰好各占"半个可逆"。
应用:线性方程组
本节的抽象定理最漂亮的应用,是回答关于线性方程组的两个经典问题。考虑含 \(m\) 个方程、\(n\) 个未知数 \(x_1,\dots,x_n\) 的线性方程组
\[ \sum_{k=1}^{n}A_{j,k}\,x_k=c_j, \qquad j=1,\dots,m, \]其中 \(A_{j,k},c_j\in\mathbb{F}\)。把它"翻译"成线性映射的语言:定义 \(T\colon\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m\) 为
\[ T(x_1,\dots,x_n)=\Big(\textstyle\sum_{k=1}^{n}A_{1,k}x_k,\;\dots,\;\sum_{k=1}^{n}A_{m,k}x_k\Big). \]每个分量都是 \(x_1,\dots,x_n\) 的线性组合,逐分量验证加法与齐次性即知 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)。于是翻译词典只有两行:
- 方程组有解 \(\iff\) \((c_1,\dots,c_m)\in\operatorname{range}T\);求解 = 判断一个点是否落在子空间 \(\operatorname{range}T\) 中;
- 齐次情形(\(c_1=\dots=c_m=0\))的解集恰为 \(\operatorname{null}T\),由定理 3.13 它是 \(\mathbb{F}^n\) 的子空间。
定义 3.25(齐次线性方程组).若线性方程组中所有常数项均为零(\(c_1=\dots=c_m=0\)),则称之为齐次线性方程组 (homogeneous system of linear equations)。齐次方程组恒有零解 \(x_1=\dots=x_n=0\)。
定理 3.26.未知数个数多于方程个数的齐次线性方程组必有非零解。
证明。设未知数个数为 \(n\),方程个数为 \(m\),且 \(n>m\)。如上定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\),则 \(\dim\mathbb{F}^n>\dim\mathbb{F}^m\),由定理 3.22,\(T\) 不是单射;再由定理 3.15,\(\operatorname{null}T\neq\{0\}\)。任取非零的 \(x=(x_1,\dots,x_n)\in\operatorname{null}T\),即 \(Tx=0\),便得到方程组的一个非零解。∎
顺带由定理 3.21 可得定量版本:该解集(子空间)的维数满足 \(\dim\operatorname{null}T=n-\dim\operatorname{range}T\ge n-m\)——未知数每多出方程一个,解空间至少多出一维。
定义 3.27(非齐次线性方程组).若线性方程组中至少有一个常数项非零,则称之为非齐次线性方程组 (nonhomogeneous system of linear equations)。其解集(若非空)不再是子空间,而是零空间的一个平移——正如图 2 中的陪集。
定理 3.28.方程个数多于未知数个数的线性方程组,必存在某组常数项 \(c_1,\dots,c_m\),使得方程组无解。
证明。设未知数个数为 \(n\),方程个数为 \(m\),且 \(m>n\)。如上定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\),则 \(\dim\mathbb{F}^n<\dim\mathbb{F}^m\),由定理 3.24,\(T\) 不是满射,故 \(\operatorname{range}T\subsetneq\mathbb{F}^m\)。取
\[ (c_1,\dots,c_m)\in\mathbb{F}^m\setminus\operatorname{range}T, \]则不存在 \(x\in\mathbb{F}^n\) 使 \(Tx=(c_1,\dots,c_m)\),即该组常数项对应的方程组无解。∎
评注(抽象方法与高斯消元的对比).注意定理 3.28 说的是"对某些常数项无解",而非"对一切常数项无解"——例如把所有常数项取为零便恒有零解。事实上,"坏常数项"的集合是 \(\mathbb{F}^m\setminus\operatorname{range}T\),即全空间挖去一个维数至多 \(n\) 的真子空间;当 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 时,真子空间在勒贝格测度意义下"薄得没有厚度",因此随机选取常数项时几乎必然无解。方法论上,传统的高斯消元法 (Gaussian elimination) 通过逐行变换求出具体解,是重要的算法工具;但对定理 3.26 与 3.28 这类定性结论,维数论证一步到位:不依赖系数的具体数值、对任意域 \(\mathbb{F}\) 一律成立,而且揭示了现象背后的原因——维数障碍。以抽象对付一般,以算法对付具体,这正是本书方法论的一个缩影。
小结
- 两个子空间:\(\operatorname{null}T\subseteq V\) 与 \(\operatorname{range}T\subseteq W\) 都是子空间(定理 3.13、3.18)。
- 内部判别:\(T\) 单射 \(\iff\operatorname{null}T=\{0\}\)(定理 3.15);\(T\) 满射 \(\iff\operatorname{range}T=W\)(定义 3.19)。满射性依赖于目标空间的选取(例 3.20)。
- 基本定理:\(V\) 有限维时 \(\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T\)(定理 3.21)——维数像守恒量一样被一分为二。
- 维数障碍:\(\dim V>\dim W\) 时无单射(定理 3.22);\(\dim V<\dim W\) 时无满射(定理 3.24)。
- 应用:未知数多于方程的齐次方程组必有非零解(定理 3.26);方程多于未知数的方程组对某些常数项无解(定理 3.28)。
下一节 3.C 将引入矩阵,为这些抽象对象提供坐标化、可计算的实现;单射性与满射性何时同时出现(即可逆性)是 3.D 的主题;把图 2 的陪集思想严格化,则得到 3.E 的商空间 \(V/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T\)。
练习
建议先独立完成,再展开核对解答。
练习 3.B-1
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2)\) 由 \(T(x,y,z)=(x+y,\;y+z)\) 给出。求 \(\operatorname{null}T\) 与 \(\operatorname{range}T\) 的一组基,并验证定理 3.21 的维数等式。
解答\(T(x,y,z)=0\) 等价于 \(x+y=0\) 且 \(y+z=0\),即 \(y=-x\)、\(z=x\),亦即 \((x,y,z)=t\,(1,-1,1)\)。故 \(\operatorname{null}T=\operatorname{span}\big((1,-1,1)\big)\),维数为 \(1\)。值域方面:\(T e_1=(1,0)\),\(Te_2=(1,1)\),\(Te_3=(0,1)\);因 \((1,0)\) 与 \((0,1)=(1,1)-(1,0)\) 都落在值域中,故 \(\operatorname{range}T=\mathbb{R}^2\),维数为 \(2\)。验证:\(\dim\mathbb{R}^3=3=1+2\)。∎
练习 3.B-2
判断下列线性映射是否存在;存在时给出例子,不存在时指出所依据的定理。(a) 单射 \(\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3\);(b) 满射 \(\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3\);(c) 单射 \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^5\);(d) 满射 \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^5\)。
解答(a) 不存在:因 \(5>3\),由定理 3.22。(b) 存在:取 \(T(x_1,\dots,x_5)=(x_1,x_2,x_3)\),线性且盖满 \(\mathbb{R}^3\)。(c) 存在:取 \(T(x,y,z)=(x,y,z,0,0)\),其零空间为 \(\{0\}\),由定理 3.15 单射。(d) 不存在:因 \(3<5\),由定理 3.24。注意 (a)(d) 的"不存在"与 (b)(c) 的"存在"合起来说明:定理 3.22、3.24 给出的是必要条件的缺失,而在维数允许的方向上,相应的映射确实可以构造出来。
练习 3.B-3
设 \(V\) 有限维,\(T\in\mathcal{L}(V)\)(即 \(T\colon V\to V\))。证明:\(T\) 单射 \(\iff\) \(T\) 满射。并各举一个无穷维空间上的反例,说明有限维假设不可去掉。
解答由定理 3.21,\(\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=\dim V\)。若 \(T\) 单射,则由定理 3.15 有 \(\dim\operatorname{null}T=0\),故 \(\dim\operatorname{range}T=\dim V\);由于 \(\operatorname{range}T\) 是 \(V\) 的子空间且两者维数相等,\(\operatorname{range}T\) 的基已是 \(V\) 中长为 \(\dim V\) 的线性无关组,从而是 \(V\) 的基,于是 \(\operatorname{range}T=V\),\(T\) 满射。反之,若 \(T\) 满射,则 \(\dim\operatorname{range}T=\dim V\),于是 \(\dim\operatorname{null}T=0\),即 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),由定理 3.15 知 \(T\) 单射。∎ 反例:微分算子 \(D\colon\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 满而不单(例 3.17(c) 与 3.12(c));乘 \(x^2\) 的映射 \(p\mapsto x^2p\) 单而不满(例 3.12(d),其值域由常数项与一次项均为零的多项式组成)。
练习 3.B-4
不用高斯消元法,说明齐次线性方程组
\[ x_1+x_2+x_3+x_4=0,\qquad x_1-x_2+x_3-x_4=0 \]必有非零解;并求出一个非零解,再指出解集作为子空间的维数至少是多少。
解答未知数个数 \(4\) 多于方程个数 \(2\),由定理 3.26 必有非零解。具体验证 \(x=(1,0,-1,0)\):两个方程左端分别为 \(1+0-1+0=0\) 与 \(1-0-1-0=0\),确为解。维数估计:设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^4,\mathbb{F}^2)\) 为该方程组对应的映射,则 \(\dim\operatorname{range}T\le 2\),由定理 3.21 得 \(\dim\operatorname{null}T=4-\dim\operatorname{range}T\ge 4-2=2\)。(事实上此处 \(\dim\operatorname{null}T\) 恰为 \(2\)。)
练习 3.B-5
后向移位 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{\infty},\mathbb{F}^{\infty})\) 由 \(T(z_1,z_2,z_3,\dots)=(z_2,z_3,\dots)\) 定义。求 \(\operatorname{null}T\),证明 \(T\) 是满射,并判断 \(T\) 是否单射。这与练习 3 的结论矛盾吗?
解答由例 3.12(e),\(\operatorname{null}T=\operatorname{span}\big((1,0,0,\dots)\big)\neq\{0\}\),故由定理 3.15,\(T\) 不单射。满射:任给 \(w=(w_1,w_2,w_3,\dots)\in\mathbb{F}^{\infty}\),取 \(v=(0,w_1,w_2,\dots)\),则 \(Tv=w\),故 \(\operatorname{range}T=\mathbb{F}^{\infty}\)。不矛盾:\(\mathbb{F}^{\infty}\) 是无穷维空间,练习 3 中"单 \(\iff\) 满"仅在有限维成立;本例与微分算子一样,展示了无穷维空间中"满而不单"的典型形态。
练习 3.B-6
设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 单射,\(v_1,\dots,v_m\in V\)。证明:\(v_1,\dots,v_m\) 线性无关 \(\iff\) \(Tv_1,\dots,Tv_m\) 线性无关;并指出"⟸"方向并不需要单射假设。
解答"⟸":设 \(Tv_1,\dots,Tv_m\) 线性无关,且 \(\sum_{j=1}^{m}a_jv_j=0\)。两边施加 \(T\),得 \(0=T(0)=T\big(\sum_j a_jv_j\big)=\sum_j a_jTv_j\),由线性无关得诸 \(a_j=0\)。此论证只用到 \(T\) 的线性性,不需要单射。"⟹":设 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关,且 \(\sum_{j=1}^{m}a_jTv_j=0\),即 \(T\big(\sum_j a_jv_j\big)=0\),故 \(\sum_j a_jv_j\in\operatorname{null}T=\{0\}\)(定理 3.15);再用 \(v_1,\dots,v_m\) 的线性无关即得诸 \(a_j=0\)。∎