3.E 积空间与商空间

证明. 逐条验证向量空间的公理,每一条都逐分量归结为相应 \(V_i\) 中的公理。以其中几条为例,其余完全类似。

加法交换律: \[ (v_1,\dots,v_m)+(w_1,\dots,w_m)=(v_1+w_1,\dots,v_m+w_m)=(w_1+v_1,\dots,w_m+v_m)=(w_1,\dots,w_m)+(v_1,\dots,v_m), \] 其中第二个等号对每个分量使用 \(V_i\) 的交换律。加法结合律同理。

加法单位元是 \((0,\dots,0)\)(第 \(i\) 个分量是 \(V_i\) 的零元),因为 \[ (v_1,\dots,v_m)+(0,\dots,0)=(v_1+0,\dots,v_m+0)=(v_1,\dots,v_m). \] 加法逆元为 \[ -(v_1,\dots,v_m)=(-v_1,\dots,-v_m), \] 因为两者相加得 \((v_1-v_1,\dots,v_m-v_m)=(0,\dots,0)\)。

数乘的四条公理同样逐分量验证,例如 \(1(v_1,\dots,v_m)=(1v_1,\dots,1v_m)=(v_1,\dots,v_m)\),又如 \[ (a+b)(v_1,\dots,v_m)=\bigl((a+b)v_1,\dots,(a+b)v_m\bigr)=a(v_1,\dots,v_m)+b(v_1,\dots,v_m). \] 故 \(V_1\times\cdots\times V_m\) 是向量空间。

证明. 先证线性。对 \(U_1\times\cdots\times U_m\) 中的元组 \((v_1,\dots,v_m)\)、\((w_1,\dots,w_m)\) 与 \(\lambda\in\mathbb{F}\), \[ f\bigl((v_1,\dots,v_m)+\lambda(w_1,\dots,w_m)\bigr)=f(v_1+\lambda w_1,\dots,v_m+\lambda w_m)=\sum_{i=1}^{m}(v_i+\lambda w_i)=\sum_{i=1}^{m}v_i+\lambda\sum_{i=1}^{m}w_i=f(v_1,\dots,v_m)+\lambda f(w_1,\dots,w_m), \] 其中第三个等号对每个分量逐项展开。故 \(f\in\mathcal{L}(U_1\times\cdots\times U_m,\,V)\)。

再证值域。一方面,任取 \(f(v_1,\dots,v_m)=v_1+\cdots+v_m\),它是 \(U_1,\dots,U_m\) 中向量之和,按子空间和的定义属于 \(U_1+\cdots+U_m\),故 \(\operatorname{range} f\subseteq U_1+\cdots+U_m\)。另一方面,\(U_1+\cdots+U_m\) 的每个元素形如 \(v_1+\cdots+v_m\)(其中 \(v_i\in U_i\)),它恰是 \(f(v_1,\dots,v_m)\),故反向包含也成立。

证明. (a) 与 (b) 的等价是显然的:\(f\) 单,当且仅当其零空间只有零元,即由 \(f(u_1,\dots,u_m)=u_1+\cdots+u_m=0\) 必得 \((u_1,\dots,u_m)=0\),亦即 \(u_1=\cdots=u_m=0\)。

(b) 与 (c) 的等价:先设 (b) 成立,证分解唯一。若 \[ u_1+\cdots+u_m=w_1+\cdots+w_m,\qquad u_i,w_i\in U_i, \] 移项得 \[ (u_1-w_1)+\cdots+(u_m-w_m)=0, \] 且 \(u_i-w_i\in U_i\)。由 (b) 得 \(u_i-w_i=0\),即 \(u_i=w_i\) 对每个 \(i\) 成立,分解唯一。反之设 (c) 成立,则零向量的分解唯一;而 \(0=0+\cdots+0\) 显然是一种分解,故任何满足 \(u_1+\cdots+u_m=0\) 的分解必为此平凡分解,即 (b) 成立。

最后,设上述等价条件成立。由前一条定理,\(f\colon U_1\times\cdots\times U_m\to U_1+\cdots+U_m\) 是线性满射;由 (a) 它又是单射。线性双射即可逆线性映射,由 3.D 知它是同构。逆映射 \(v\mapsto(u_1,\dots,u_m)\) 的含义正是"取唯一分解"。

证明. 对每个 \(i\),设 \(n_i=\dim V_i\),取 \(V_i\) 的基 \(e_{i,1},\dots,e_{i,n_i}\)。为书写简洁,用 \(E_{i,j}\) 表示 \(V_1\times\cdots\times V_m\) 中第 \(i\) 个分量为 \(e_{i,j}\)、其余分量全为 \(0\) 的元组。断言:把各组基依次拼接所得的列表 \[ E_{1,1},\dots,E_{1,n_1};\ E_{2,1},\dots,E_{2,n_2};\ \dots;\ E_{m,1},\dots,E_{m,n_m} \] (共 \(n_1+\cdots+n_m\) 个元组)是 \(V_1\times\cdots\times V_m\) 的一组基。

张成:任取 \((v_1,\dots,v_m)\in V_1\times\cdots\times V_m\)。对每个 \(i\),把 \(v_i\) 按 \(V_i\) 的基展开: \[ v_i=\sum_{j=1}^{n_i}a_{i,j}\,e_{i,j},\qquad a_{i,j}\in\mathbb{F}. \] 逐分量比较可知 \[ (v_1,\dots,v_m)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}a_{i,j}\,E_{i,j}, \] 因为等式两边的第 \(i\) 个分量都是 \(\sum_{j}a_{i,j}e_{i,j}=v_i\)。故上述列表张成整个积空间。

线性无关:设 \[ \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n_i}a_{i,j}\,E_{i,j}=(0,\dots,0),\qquad a_{i,j}\in\mathbb{F}. \] 固定某个 \(i\),考察该元组的第 \(i\) 个分量。诸 \(E_{i',j}\)(\(i'\ne i\))的第 \(i\) 个分量为 \(0\),而诸 \(E_{i,j}\) 的第 \(i\) 个分量为 \(e_{i,j}\),故第 \(i\) 个分量的等式化为 \[ \sum_{j=1}^{n_i}a_{i,j}\,e_{i,j}=0_{V_i}. \] 由 \(e_{i,1},\dots,e_{i,n_i}\) 线性无关得 \(a_{i,1}=\cdots=a_{i,n_i}=0\)。这对每个 \(i\) 都成立,故全部系数为零。

于是该列表既是张成组又是线性无关组,故为基;其长度为 \(n_1+\cdots+n_m\),即所要证的维数等式。

证明. (a) 先设 \(v-w\in U\)。任取 \(v+u\in v+U\)(\(u\in U\)),则 \[ v+u=w+\bigl((v-w)+u\bigr), \] 而 \((v-w)+u\in U\)(子空间对加法封闭),故 \(v+u\in w+U\),得 \(v+U\subseteq w+U\)。同理,由 \(w-v=-(v-w)\in U\) 得反向包含,故两集合相等。反之设 \(v+U=w+U\)。由 \(v=v+0\in v+U=w+U\) 知存在 \(u\in U\) 使 \(v=w+u\),于是 \(v-w=u\in U\)。

(b) 只需证:若交集非空,则两集合相等。设 \(x\in(v+U)\cap(w+U)\)。由 \(x\in v+U\) 与 \(0\in U\) 得 \[ v=x-u_1\in x+U \quad(\text{某个 } u_1\in U), \] 更直接地:\(x=v+u_1\) 给出 \(v-x=-u_1\in U\),故由 (a) 得 \(v+U=x+U\);同理 \(w+U=x+U\)。于是 \(v+U=w+U\)。反向蕴含是显然的(两集合相等时交集当然非空,因 \(v+U\) 总含 \(v\))。

(c) 存在性:\(v=v+0\in v+U\),因为 \(0\in U\)。唯一性:若 \(v\in w+U\),则 \(v-w\in U\)(写出 \(v=w+u\) 即得),由 (a) 得 \(v+U=w+U\),即包含 \(v\) 的陪集只能是 \(v+U\) 本身。

证明. (a) 设 \(v+U=v'+U\) 且 \(w+U=w'+U\)。由命题 3.101(a),\(v-v'\in U\) 且 \(w-w'\in U\)。于是 \[ (v+w)-(v'+w')=(v-v')+(w-w')\in U \] (\(U\) 对加法封闭),再用命题 3.101(a) 得 \((v+w)+U=(v'+w')+U\),即加法的结果与代表元选取无关。数乘类似:由 \(v-v'\in U\) 得 \[ \lambda v-\lambda v'=\lambda(v-v')\in U \] (\(U\) 对标量乘法封闭),故 \((\lambda v)+U=(\lambda v')+U\)。

(b) 向量空间的各条公理逐条验证,每条都由 \(V\) 中的相应公理"平移"而来。例如加法交换律: \[ (v+U)+(w+U)=(v+w)+U=(w+v)+U=(w+U)+(v+U), \] 中间一步用 \(V\) 的交换律;结合律同理。零元:对任意 \(v+U\), \[ (v+U)+U=(v+U)+(0+U)=(v+0)+U=v+U, \] 故 \(U=0+U\) 是加法单位元。加法逆元:\(-\bigl(v+U\bigr)=(-v)+U\),因为两者相加得 \((v-v)+U=0+U=U\)。数乘的四条公理同样逐条成立,例如 \(1\cdot(v+U)=(1v)+U=v+U\)。故 \(V/U\) 是向量空间。

(c) 满射:\(V/U\) 的每个元素都形如 \(v+U=\pi(v)\),故 \(\pi\) 的值域是整个 \(V/U\)。线性:对 \(v,w\in V\) 与 \(\lambda\in\mathbb{F}\),按 \(V/U\) 的运算定义, \[ \pi(v+w)=(v+w)+U=(v+U)+(w+U)=\pi(v)+\pi(w),\qquad \pi(\lambda v)=(\lambda v)+U=\lambda(v+U)=\lambda\,\pi(v). \] 零空间:设 \(v\in\operatorname{null}\pi\),即 \(\pi(v)=v+U=U\)。注意 \(U=0+U\),由命题 3.101(a)(取 \(w=0\)),这等价于 \(v=v-0\in U\)。故 \(\operatorname{null}\pi=U\)。

证明. 因 \(V\) 有限维,其子空间 \(U\) 有限维。考虑商映射 \(\pi\in\mathcal{L}(V,V/U)\)。由定理 3.103,\(\pi\) 是满射且 \(\operatorname{null}\pi=U\)。对 \(\pi\) 应用线性映射的基本定理(定理 3.21): \[ \dim V=\dim\operatorname{null}\pi+\dim\operatorname{range}\pi=\dim U+\dim(V/U), \] 移项即得 \(\dim V/U=\dim V-\dim U\)。顺带可知 \(V/U\) 有限维。

证明. 良定性:设 \((u_1,\dots,u_m)+\Gamma(f)=(u_1',\dots,u_m')+\Gamma(f)\),即两个元组之差 \((u_1-u_1',\dots,u_m-u_m')\in\Gamma(f)\)。按 \(\Gamma(f)\) 的定义, \[ (u_1-u_1')+\cdots+(u_m-u_m')=0, \] 整理得 \(u_1+\cdots+u_m=u_1'+\cdots+u_m'\)。故 \(\widetilde{f}\) 的取值不依赖陪集代表元的选取。

线性:取陪集 \(X=(u_1,\dots,u_m)+\Gamma(f)\)、\(Y=(w_1,\dots,w_m)+\Gamma(f)\) 与 \(\lambda\in\mathbb{F}\),则按商空间的运算, \[ \widetilde{f}(X+\lambda Y)=\widetilde{f}\bigl((u_1+\lambda w_1,\dots,u_m+\lambda w_m)+\Gamma(f)\bigr)=\sum_{i=1}^{m}(u_i+\lambda w_i)=\widetilde{f}(X)+\lambda\,\widetilde{f}(Y). \]

满射:\(U_1+\cdots+U_m\) 的每个元素形如 \(u_1+\cdots+u_m=\widetilde{f}\bigl((u_1,\dots,u_m)+\Gamma(f)\bigr)\)。

单射:设 \(\widetilde{f}\bigl((u_1,\dots,u_m)+\Gamma(f)\bigr)=0\),即 \(u_1+\cdots+u_m=0\),亦即 \((u_1,\dots,u_m)\in\Gamma(f)\)。于是该陪集等于零元 \(\Gamma(f)\) 本身,零空间只含零元。

故 \(\widetilde{f}\) 是线性双射,即同构。