编号说明:本节条目编号大体沿用原书第四版 5.C(约 5.37–5.47,紧接 5.B 的 5.36);为便于网页阅读,个别例子做了合并与扩充,编号与原书可能略有出入,请以主题为准。如无特别声明,本节在复数域上工作:设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\),并记 \(n=\dim V\)。涉及实向量空间或一般域时会特别指出。
引言:对角化会失败,"几乎对角"总能办到
如果允许自由选取基,我们最想要的矩阵形状当然是对角矩阵:由 5.A 的定义 5.4,\(\mathcal{M}(T)\) 关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 是对角矩阵,当且仅当每个基向量都是特征向量(\(Tv_k=\lambda_k v_k\))。然而 5.A 的推论 5.12 已经警告过我们:线性无关特征向量的个数可能不够 \(n\) 个,此时无论怎样换基都得不到对角矩阵。先看一个最小的不良样本。考虑 \(N\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^2)\),\(N(x,y)=(y,0)\),它关于标准基 \(e_1,e_2\) 的矩阵为
\[ \mathcal{M}(N)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad N^2=0. \]求其特征值:若 \(N(x,y)=\lambda(x,y)\) 且 \((x,y)\neq(0,0)\),则比较两个坐标得 \(y=\lambda x\) 与 \(0=\lambda y\)。若 \(\lambda\neq 0\),则 \(y=0\),从而 \(x=0\),矛盾;故 \(\lambda=0\),此时 \(y=0\)、\(x\) 任意,特征空间为 \(\operatorname{span}(e_1)\),只有一维。于是 \(N\) 只有一个特征值 \(0\),线性无关的特征向量至多一个,凑不出 \(\mathbb{C}^2\) 的基——\(N\) 不可对角化(也可以这样说:若可对角化,对角矩阵只能全为 \(0\),将迫使 \(N=0\))。但是请注意上面矩阵的形状:主对角线以下的元素全是 \(0\),它离对角矩阵只差右上角的一个 \(1\)。本节的主定理将说明,这不是侥幸——只要把基选好,"几乎对角"的上三角形状人人可得,前提是在复数域上。
方阵 \(A=(A_{j,k})\) 称为上三角矩阵 (upper-triangular matrix),若其对角线下方的元素全为零,即
\[ A_{j,k}=0\quad\text{对所有 } j\gt k. \]设 \(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的基。依照第 3 章的约定,\(\mathcal{M}(T)\) 的第 \(k\) 列由 \(Tv_k\) 用基展开的系数组成:\(Tv_k=\sum_{j=1}^{n}A_{j,k}v_j\)。若 \(\mathcal{M}(T)\) 是上三角矩阵,则称\(T\) 关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 上三角;若 \(V\) 存在这样的基,则称 \(T\) 可上三角化。对角矩阵是上三角矩阵的特例(对角线上方也为零);对角元全为零的上三角矩阵称为严格上三角 (strictly upper-triangular) 矩阵,练习 3 将说明这类矩阵对应的算子一定是幂零的。
本节路线图如下。定理 5.38 用归纳法证明复向量空间上人人可上三角化,归纳的引擎是 5.A 的定理 5.16(复特征值的存在性)。定理 5.40 把"上三角"翻译成几何语言:每个 \(Tv_k\) 都落在前 \(k\) 个基向量张成的子空间中——一列逐层扩大的不变子空间,俗称旗 (flag)。定理 5.42 与 5.43 随后兑现红利:上三角矩阵的对角元同时判定可逆性并给出全部特征值。最后在注记中说明实数域上的障碍,并衔接 5.B 的极小多项式与第 8 章的若尔当理论。
定理 5.38:复算子的上三角化
设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\)。则 \(V\) 有一个基,使得 \(\mathcal{M}(T)\) 关于该基是上三角矩阵。
证明. 对 \(n=\dim V\) 作归纳。当 \(n=1\) 时,任取非零向量 \(v_1\),则 \(Tv_1\in V=\operatorname{span}(v_1)\),故 \(Tv_1=av_1\),矩阵 \((a)\) 是 \(1\times 1\) 的,自然是上三角的。
设 \(n\ge 2\),并设结论对维数小于 \(n\) 的所有非零复向量空间成立。由 5.A 的定理 5.16,\(T\) 有特征值 \(\lambda\in\mathbb{C}\),即存在非零向量 \(w\) 使 \((T-\lambda I)w=0\)。于是 \(T-\lambda I\) 不单射;由第 3 章定理 3.69(有限维时单射、满射与可逆三者等价),\(T-\lambda I\) 也不满射,从而
\[ U:=\operatorname{range}(T-\lambda I) \]是 \(V\) 的真子空间,\(\dim U\lt n\)。再者,\(U\) 在 \(T\) 下不变:任取 \(u=(T-\lambda I)w\in U\),利用 \(T\) 与 \(T-\lambda I\) 可交换,得
\[ Tu=T(T-\lambda I)w=(T-\lambda I)(Tw)\in\operatorname{range}(T-\lambda I)=U. \]下面分两种情形。若 \(U=\{0\}\),则 \(\operatorname{range}(T-\lambda I)=\{0\}\),即 \(T=\lambda I\);此时 \(V\) 的任意基都使 \(\mathcal{M}(T)=\lambda I\),已是对角(从而上三角)矩阵。若 \(U\neq\{0\}\),则 \(T\) 限制到不变子空间 \(U\) 上得到算子 \(T|_U\in\mathcal{L}(U)\),且 \(\dim U\lt n\)。由归纳假设,\(U\) 有基 \(u_1,\dots,u_m\)(\(m=\dim U\)),使得 \(T|_U\) 关于它的矩阵上三角,按坐标写出即
\[ Tu_j=(T|_U)(u_j)\in\operatorname{span}(u_1,\dots,u_j),\qquad j=1,\dots,m. \]把 \(u_1,\dots,u_m\) 扩充为 \(V\) 的基:令 \(v_j=u_j\)(\(j\le m\)),再添加 \(v_{m+1},\dots,v_n\)。当 \(j\le m\) 时已有 \(Tv_j\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_j)\)。当 \(k\gt m\) 时,关键的一步是恒等式 \(Tv=(T-\lambda I)v+\lambda v\):由 \(U\) 的定义,\((T-\lambda I)v_k\in U=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\),于是
\[ Tv_k=(T-\lambda I)v_k+\lambda v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)+\operatorname{span}(v_k)\subseteq\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k), \]最后一步用了 \(m\le k-1\),故 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\subseteq\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\)。至此,对每个 \(k=1,\dots,n\) 都有 \(Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\);用基展开的唯一性,第 \(k\) 列中第 \(k\) 行下方的系数全为零,即 \(\mathcal{M}(T)\) 关于 \(v_1,\dots,v_n\) 是上三角矩阵。归纳完成。
证明值得复盘,它由三台发动机驱动:其一,特征值 \(\lambda\) 的存在——这正是需要 \(\mathbb{C}\) 的唯一之处(定理 5.16 依赖代数基本定理);其二,\(U=\operatorname{range}(T-\lambda I)\) 是真不变子空间,维数严格下降,归纳才走得动;其三,恒等式 \(Tv=(T-\lambda I)v+\lambda v\) 把新添基向量的像压回已有的低层子空间。证明还顺带说明:扩充部分的对角元 \(A_{k,k}=\lambda\)(\(k\gt m\)),因为 \((T-\lambda I)v_k\in U\) 不含 \(v_k\) 分量而 \(U\subseteq\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\)。下面的例子把这套流程当成算法亲手走一遍。
定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^2)\),\(T(x,y)=(3x+2y,\,-2x-y)\)。它关于标准基的矩阵是
\[ \begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}, \]左下角为 \(-2\),并非上三角。先求特征值:\(T(x,y)=\lambda(x,y)\) 即 \((3-\lambda)x+2y=0\)、\(-2x-(1+\lambda)y=0\)。若 \(y=0\),则第二式迫使 \(x=0\),排除;故 \(y\neq 0\),由第一式又得 \(\lambda\neq 3\) 且 \(x=-2y/(3-\lambda)\),代入第二式得 \(4=(1+\lambda)(3-\lambda)\),即 \((\lambda-1)^2=0\),\(\lambda=1\) 是唯一特征值(二重)。解 \((T-I)(x,y)=(2x+2y,\,-2x-2y)=0\) 得特征向量方向 \(x+y=0\),取
\[ v_1=(1,-1),\qquad Tv_1=(1,-1)=v_1. \]照定理 5.38 的流程,取 \(U=\operatorname{range}(T-I)=\operatorname{span}\big((2,-2)\big)=\operatorname{span}(v_1)\)(一维、真、不变),\(T|_U\) 的矩阵是 \(1\times 1\) 的 \((1)\)。扩充任意向量成基,取 \(v_2=(1,0)\),则
\[ Tv_2=(3,-2)=2v_1+v_2,\qquad\text{即}\quad (T-I)v_2=(2,-2)\in U, \]与证明中的关键恒等式吻合。于是
\[ \mathcal{M}\big(T,(v_1,v_2)\big)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, \]上三角,对角元 \((1,1)\) 恰是特征值连同重数的清单;而且扩充列的对角元确实是所取特征值 \(\lambda=1\),印证了上段的观察。最后注意:\(T\) 不可对角化,因为唯一特征值 \(1\) 的特征空间只有一维,线性无关特征向量凑不够两个。上三角已是它能达到的最好形状。
刻画:嵌套不变子空间与旗
定理 5.38 的结尾实际上证明了比"存在性"更有用的东西:一个逐列判据。现在把它正式化——上三角性根本不依赖矩阵运算,而是一句关于基向量的几何陈述。
设 \(V\) 是有限维向量空间(任意域),\(T\in\mathcal{L}(V)\),\(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的基。则 \(\mathcal{M}(T)\) 关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 是上三角矩阵,当且仅当对每个 \(k=1,\dots,n\),
\[ Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k). \]证明. 记 \(A=\mathcal{M}(T)\),即对每个 \(k\) 有唯一的展开 \(Tv_k=\sum_{j=1}^{n}A_{j,k}v_j\)。
设 \(A\) 上三角,即 \(A_{j,k}=0\) 对 \(j\gt k\)。则 \(Tv_k=\sum_{j=1}^{k}A_{j,k}v_j\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\),必要性成立。反之,设对每个 \(k\) 都有 \(Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\)。把 \(Tv_k\) 用整个基展开,由展开的唯一性,凡 \(v_{k+1},\dots,v_n\) 的系数必为零,即 \(A_{j,k}=0\) 对所有 \(j\gt k\),故 \(A\) 上三角。
这一刻画给出上三角化的几何图像。令 \(U_k=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\),则条件 \(Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\) 等价于 \(T(U_k)\subseteq U_k\):"\(\supseteq\)"方向由 \(T(U_k)\) 由各 \(Tv_j\)(\(j\le k\))生成且每个都落在 \(U_j\subseteq U_k\) 中可得。于是我们得到一列嵌套的不变子空间
\[ \{0\}\subset U_1\subset U_2\subset\cdots\subset U_n=V,\qquad \dim U_k=k,\qquad T(U_k)\subseteq U_k. \]这样一条逐层扩大、每层都被 \(T\) 保持在自身内的子空间链,称为一条 \(T\)-不变旗 (invariant flag);"旗" (flag) 是关于这类嵌套结构的通用术语(并非原书用语,但形象地表达了"逐层升高"之意)。条件 \(Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\) 恰好等价于每一层都不变:若每个 \(Tv_k\in U_k\),则由线性性,\(T(U_k)\) 由 \(Tv_1,\dots,Tv_k\) 生成,而每个 \(Tv_j\in U_j\subseteq U_k\),故 \(T(U_k)\subseteq U_k\);反之,若每层 \(U_k\) 不变,取 \(v_k\in U_k\) 立得 \(Tv_k\in U_k\)。于是定理 5.40 说明:基的上三角化与不变旗的选取是同一件事——把旗的每一层新增的一个向量记作 \(v_k\),即得上三角基;反之亦然。定理 5.38 于是可以重述为:复向量空间上每个算子都有不变旗。图 1 画出了 \(\mathbb{C}^3\) 的情形:第 \(k\) 个基向量把旗延长一层,而 \(T\) 从不把任何一层映出自身。
旗的视角还有一个直接教训:基向量的次序是刻画的一部分。同一组向量换个次序,旗就变了,上三角性可能随之失效——下一节的例 5.45 将给出一个具体的失败案例,下面先看两个移位算子,它们也回应了 5.A 的例 5.9。
设 \(B\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^3)\) 为后向移位 \(B(x,y,z)=(y,z,0)\)(即 5.A 例 5.9 的算子),标准基下
\[ \mathcal{M}(B)=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}. \]逐列核对定理 5.40:\(Be_1=0\in\operatorname{span}(e_1)\),\(Be_2=e_1\in\operatorname{span}(e_1,e_2)\),\(Be_3=e_2\in\operatorname{span}(e_1,e_2,e_3)\),全部合格,矩阵上三角,且是严格上三角的。对角元全为 \(0\),于是(提前引用定理 5.42、5.43)\(B\) 不可逆,且特征值只有 \(0\)——这与 \(Be_1=0\)、\(B^3=0\) 完全吻合(幂零算子,参看 5.B 例 5.32)。作为对照,前向移位 \(S(x,y,z)=(0,x,y)\) 在标准基下的矩阵是下三角的:
\[ \mathcal{M}(S)=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad \mathcal{M}\big(S,(e_3,e_2,e_1)\big)=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}. \]把基倒序排列成 \((e_3,e_2,e_1)\) 后:\(Se_3=0\)、\(Se_2=e_3\)(新基第一个)、\(Se_1=e_2\)(新基第二个),三层旗 \(\operatorname{span}(e_3)\subset\operatorname{span}(e_3,e_2)\subset\mathbb{C}^3\) 逐层不变,矩阵立即翻转为上三角。同样的三个向量、不同的次序,形状截然不同——次序信息正是旗的信息。
对角元与可逆性
上三角形式的第一笔回报是:判定 \(T\) 是否可逆只需瞄一眼对角线。整个证明只用定理 5.40 与初等维数事实,完全不需要行列式。
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 的矩阵 \(A=\mathcal{M}(T)\) 是上三角矩阵。则 \(T\) 可逆当且仅当 \(A\) 的对角元 \(A_{1,1},A_{2,2},\dots,A_{n,n}\) 全不为零。
证明.(\(\Leftarrow\))设对角元全非零,证 \(T\) 可逆。有限维时只需证 \(T\) 单射(定理 3.69)。反设 \(\operatorname{null}T\) 中有非零向量 \(v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\),取最大的下标 \(k\) 使 \(c_k\neq 0\)(于是 \(c_{k+1}=\cdots=c_n=0\))。考察
\[ 0=Tv=\sum_{j=1}^{n}c_j\,Tv_j \]中 \(v_k\) 的系数:当 \(j\lt k\) 时,由定理 5.40,\(Tv_j\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_j)\) 根本不含 \(v_k\) 分量;当 \(j\gt k\) 时 \(c_j=0\)。故 \(v_k\) 的系数只剩 \(j=k\) 的一项,为 \(c_kA_{k,k}\),它非零。这样零向量 \(0=Tv\) 的基展开中出现了非零系数,与线性无关矛盾。故 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),\(T\) 单射,从而可逆。
(\(\Rightarrow\))证逆否命题:设某个对角元 \(A_{k,k}=0\),证 \(T\) 不可逆。记 \(U_j=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_j)\)(\(U_0=\{0\}\))。由上三角性 \(Tv_k=\sum_{j\lt k}A_{j,k}v_j+A_{k,k}v_k\in U_{k-1}\);又对每个 \(j\lt k\),\(Tv_j\in U_j\subseteq U_{k-1}\)。于是
\[ T(U_k)\subseteq U_{k-1},\qquad \dim U_k=k\gt k-1=\dim U_{k-1}. \]把 \(T\) 限制在 \(U_k\) 上,得到从 \(k\) 维空间到 \(k-1\) 维空间的线性映射;由第 3 章定理 3.22(到更低维空间无单射),存在非零向量 \(u\in U_k\) 使 \(Tu=0\)。于是 \(T\) 不单射,从而不可逆。
这条判据与 5.B 的多项式判据一脉相承:5.B 的练习 2 证明了 \(T\) 可逆当且仅当其极小多项式 \(q\) 的常数项非零,也就是 \(0\) 不是 \(q\) 的零点,由定理 5.28 等价于 \(0\) 不是特征值;而本定理说 \(0\) 是特征值当且仅当某个对角元为零。三句话说的是同一件事的三个侧面——代数的、几何的、矩阵的。待本书末章引入行列式后还会看到第四种:\(\det T=A_{1,1}A_{2,2}\cdots A_{n,n}\)。
对角元与特征值
现在读出第二笔、也更漂亮的回报:对角线就是特征值清单。注意其证明只是把定理 5.42 套用到 \(T-\lambda I\) 上——两条定理本是一体。
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 关于某基的矩阵 \(\mathcal{M}(T)=A\) 是上三角矩阵。则 \(T\) 的特征值恰好是 \(A\) 的对角元组成的集合;把重数计入,对角线给出的正是特征值的完整清单。
证明. 设 \(\lambda\in\mathbb{C}\)。首先,\(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值当且仅当存在 \(v\neq 0\) 使 \(Tv=\lambda v\),即 \(T-\lambda I\) 不单射;在有限维空间上这等价于 \(T-\lambda I\) 不可逆(定理 3.69)。其次,矩阵 \(\mathcal{M}(T-\lambda I)=\mathcal{M}(T)-\lambda I\) 仍是上三角的,其对角元为
\[ A_{1,1}-\lambda,\quad A_{2,2}-\lambda,\quad\dots,\quad A_{n,n}-\lambda. \]对算子 \(T-\lambda I\) 应用定理 5.42:\(T-\lambda I\) 不可逆当且仅当上述对角元中有零,即当且仅当 \(\lambda\) 等于 \(A\) 的某个对角元。串联起来:\(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值 \(\iff\) \(\lambda\in\{A_{1,1},\dots,A_{n,n}\}\)。特别地,特征值 \(\lambda\) 作为对角元出现的次数,就是它在对角线上的重复次数。
两条定理可以合并成一句漂亮的口诀:对上三角矩阵而言,\(T-\lambda I\) 不可逆当且仅当 \(\lambda\) 出现在对角线上。同一列对角数字同时回答了两个问题——\(T\) 何时退化(取 \(\lambda=0\)),以及 \(T\) 的谱是什么(让 \(\lambda\) 跑遍 \(\mathbb{C}\))。这并非巧合:5.43 的证明本来就是把 5.42 作用在 \(T-\lambda I\) 上。原书也把这一点视为上三角标准形式的第一份丰厚回报。图 2 把本节三条定理的信息汇总在一张图上。
考虑 \(R\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^2)\),\(R(x,y)=(-y,x)\),即逆时针旋转 \(90^\circ\)(5.A 例 5.6 已见过它:特征值是否存在取决于基础域)。标准基下
\[ \mathcal{M}(R)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \]左下角是 \(1\),并非上三角。求特征值:若 \(Rv=\lambda v\)(\(v\neq 0\)),再作用一次 \(R\),得 \(-v=R^2v=\lambda^2v\),故 \((\lambda^2+1)v=0\),\(\lambda=\pm\mathrm{i}\)。解出特征向量:\(v_1=(\mathrm{i},1)\) 满足 \(Rv_1=(-1,\mathrm{i})=\mathrm{i}\,v_1\);\(v_2=(-\mathrm{i},1)\) 满足 \(Rv_2=(-1,-\mathrm{i})=-\mathrm{i}\,v_2\)。二者不成比例(以它们为列的行列式为 \(2\mathrm{i}\neq 0\)),故 \((v_1,v_2)\) 是基,且
\[ \mathcal{M}\big(R,(v_1,v_2)\big)=\begin{pmatrix}\mathrm{i}&0\\0&-\mathrm{i}\end{pmatrix}. \]矩阵不仅上三角,而且对角;按定理 5.43 读出特征值 \(\mathrm{i}\) 与 \(-\mathrm{i}\),与我们的计算一致。同一个旋转,在 \(\mathbb{R}^2\) 上连一个特征值都没有,在 \(\mathbb{C}^2\) 上却干脆利落地对角化了——这正是本节必须在 \(\mathbb{C}\) 上工作的原因,注记中将回到这一点。
定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^3)\),
\[ T(x,y,z)=(3x+2y,\,-2x-y,\,x+4z),\qquad \mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}3&2&0\\-2&-1&0\\1&0&4\end{pmatrix}, \]标准基下的矩阵因左下角元素非零而不是上三角。第一步,求特征值。设 \(T(x,y,z)=\lambda(x,y,z)\) 且 \((x,y,z)\neq 0\),得
\[ (3-\lambda)x+2y=0,\qquad -2x-(1+\lambda)y=0,\qquad x+(4-\lambda)z=0. \]用第一式的 \((1+\lambda)\) 倍加第二式的 \(2\) 倍,\((3-\lambda)(1+\lambda)x-4x=0\);用第一式的 \(2\) 倍加第二式的 \((3-\lambda)\) 倍,\([4-(3-\lambda)(1+\lambda)]y=0\)。若 \((x,y)\neq(0,0)\),则两式中至少一式的系数非零,迫使 \((3-\lambda)(1+\lambda)=4\),即 \((\lambda-1)^2=0\),\(\lambda=1\);代回得特征向量方向 \((-3,3,1)\)(取 \(z=1\))。若 \(x=y=0\),则 \(z\neq 0\),第三式给出 \(\lambda=4\),特征向量 \((0,0,1)\)。于是特征值为 \(1\)(特征空间一维)与 \(4\)。第二步,构造不变旗。取特征向量 \(v_1=(0,0,1)\)(属于 \(4\));再添 \(v_2=(1,-1,0)\),计算 \(Tv_2=(1,-1,1)=v_2+v_1\in\operatorname{span}(v_1,v_2)\),第二层不变;最后补 \(v_3=(1,0,0)\)(三个向量的行列式为 \(1\),确是基),此时 \(Tv_3=(3,-2,1)=v_1+2v_2+v_3\) 自动落在全空间。于是
\[ \mathcal{M}\big(T,(v_1,v_2,v_3)\big)=\begin{pmatrix}4&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}, \]上三角,对角元 \((4,1,1)\) 恰是特征值连同重数的清单(定理 5.43)。第三步,两个附注。其一,次序教训:同样的三个向量若排成 \(\big((1,-1,0),(1,0,0),(0,0,1)\big)\),则 \(T(1,0,0)=(3,-2,1)\notin\operatorname{span}\big((1,-1,0),(1,0,0)\big)\)(第三个坐标非零),矩阵不再上三角——旗必须逐层不变,次序错了旗就断了。其二,\(T\) 不可对角化:特征值 \(1\) 的特征空间只有一维,加上特征值 \(4\) 的一维,线性无关特征向量至多两个,不足 \(n=3\);无论怎样选基,矩阵都成不了对角阵,上三角已是最优形状,更精细的形状要等第 8 章的若尔当理论。
最后记录一个值得强调的范围问题:定理 5.40、5.42、5.43 的证明只用到有限维性与上三角形状,对任意基础域都成立。真正依赖 \(\mathbb{C}\) 的只有存在性定理 5.38——它需要特征值。练习 4 与练习 6 正是利用这一差别,刻画任意域上可上三角化的算子。
注记:实向量空间、极小多项式与第 8 章
把例 5.44 的旋转看作 \(\mathbb{R}^2\) 上的算子 \(R(x,y)=(-y,x)\)。反设它在某组实基下的矩阵上三角,设为 \(\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\)。如上所述,定理 5.43 的证明在任意域上有效,故实数 \(a,c\) 都应是 \(R\) 的(实)特征值。但若 \(Rv=\lambda v\)(\(v\neq 0\)),则 \(\lambda^2v=R^2v=-v\),得 \(\lambda^2=-1\),实数中无解,矛盾。所以 \(\mathbb{R}^2\) 上的 \(90^\circ\) 旋转没有任何基使其矩阵上三角:上三角化定理本质上是复数域的定理,代数基本定理经由定理 5.16 深深地嵌在证明之中。一般地,练习 6(b) 给出任意域上的完整判据:\(T\) 可上三角化当且仅当其极小多项式在 \(\mathbb{F}\) 上分解为一次因式之积;\(\mathbb{C}\) 上这条件自动成立,而 \(\mathbb{R}\) 上形如 \(z^2+1\) 的不可分解因式正是障碍所在。
5.B 末尾曾预告:极小多项式次数的界 \(n^2\) 可以大幅改进到 \(n\),而证明将出现在本节。现在兑现:设 \(\mathcal{M}(T)\) 关于某基上三角,对角元为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)。由练习 6(a),乘积算子
\[ (T-\lambda_1I)(T-\lambda_2I)\cdots(T-\lambda_nI)=0 \]零化 \(T\),于是极小多项式 \(q\) 整除 \((z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\cdots(z-\lambda_n)\)(5.B 定理 5.27),得 \(\deg q\le n\)。注意这条推理对任意域上的可上三角化算子都成立,这正是上一段判据的"仅当"部分。
上三角化是第 8 章(复向量空间上的算子)的起点。有了定理 5.43,特征多项式可以定义为对角元之积
\[ p(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\cdots(z-\lambda_n), \]其中 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) 是任一上三角基下 \(\mathcal{M}(T)\) 的对角元;由 5.43,这份"特征值乘积清单"不随基的选取而改变,故定义良好。\(p\) 的根恰为 \(T\) 的特征值——定理 5.43 的内容以多项式的语言重述;重数的系统理论(代数重数与几何重数)、广义特征向量以及把基进一步选成若尔当形(使超对角线也几乎为零)都是第 8 章的主题。而在本章内部,下一节 5.D 研究上三角化的理想情形:对角矩阵本就是上三角矩阵,可对角化等价于存在全由特征向量组成的基,其判据——极小多项式无重根——正是把本节的上三角基"挤压"成对角基的临界条件。
练习
练习 5.C-1
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 可逆,且关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 的矩阵 \(\mathcal{M}(T)\) 上三角。证明:\(T^{-1}\) 关于同一组基的矩阵也是上三角的,其对角元为 \(A_{k,k}\) 的倒数。
解答/提示记 \(U_k=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\)。由定理 5.40,\(T(U_k)\subseteq U_k\)。又 \(T\) 在 \(V\) 上单射,故限制 \(T|_{U_k}\) 也单射;\(U_k\) 有限维,单射的像 \(T(U_k)\) 仍为 \(k\) 维且含于 \(U_k\),于是 \(T(U_k)=U_k\)。从而 \(T^{-1}(U_k)=U_k\),特别地 \(T^{-1}v_k\in U_k\),由定理 5.40 知 \(\mathcal{M}(T^{-1})\) 上三角。关于对角元:\(T^{-1}T=I\),两个上三角矩阵之积仍上三角,且其对角元是对角元之积(可用与定理 5.40 相同的"逐层"论证验证乘积保持上三角),故 \(A_{k,k}\cdot\big(\mathcal{M}(T^{-1})\big)_{k,k}=1\),即 \(\big(\mathcal{M}(T^{-1})\big)_{k,k}=1/A_{k,k}\)。证毕。
练习 5.C-2
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^2)\),\(T(x,y)=(4x+y,\,-x+2y)\)。求 \(T\) 的特征值,构造一组使 \(\mathcal{M}(T)\) 上三角的基,写出该矩阵,并判断 \(T\) 可否对角化。
解答/提示特征方程组为 \((4-\lambda)x+y=0\)、\(-x+(2-\lambda)y=0\)。若 \(y=0\),则第二式给 \(x=0\),与非零解矛盾,故 \(y\neq 0\);由第二式 \(x=(2-\lambda)y\),代入第一式得 \(\big((4-\lambda)(2-\lambda)+1\big)y=0\),即 \((\lambda-3)^2=0\),唯一特征值 \(\lambda=3\)(二重)。代回得 \(x=(2-3)y=-y\),取特征向量 \(v_1=(1,-1)\)(验证 \(Tv_1=(3,-3)=3v_1\))。扩充 \(v_2=(1,0)\):\(Tv_2=(4,-1)=v_1+3v_2\),于是
\[ \mathcal{M}\big(T,(v_1,v_2)\big)=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}, \]上三角,对角元 \((3,3)\) 即特征值清单(定理 5.43)。\(T\) 不可对角化:唯一特征值 \(3\) 的特征空间 \(\{x+y=0\}\) 只有一维,线性无关特征向量不足两个(或:若可对角化,对角形只能是 \(3I\),将迫使 \(T=3I\),与 \(T(1,0)=(4,-1)\neq(3,0)\) 矛盾)。本例与例 5.39 同构地展示:重数高而特征空间短的算子,上三角是极限。
练习 5.C-3
设 \(\mathcal{M}(T)\) 关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 上三角,且对角元全等于 \(\lambda_0\)。证明 \(T-\lambda_0 I\) 幂零 (nilpotent),且 \((T-\lambda_0I)^n=0\)。
解答/提示记 \(N=T-\lambda_0I\),则 \(\mathcal{M}(N)=\mathcal{M}(T)-\lambda_0I\) 上三角且对角元全为零,故对每个 \(k\),\(Nv_k=\sum_{j\lt k}A_{j,k}v_j\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\)(\(k=1\) 时 \(Nv_1=0\))。断言:对 \(j\ge 1\),\(N^{\,j}v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-j})\)(约定下标非正时该子空间为 \(\{0\}\))。对 \(j\) 归纳:\(j=1\) 已证;若 \(N^{\,j}v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-j})\),该子空间由 \(v_1,\dots,v_{k-j}\) 生成,而每个 \(Nv_i\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{i-1})\),由线性性 \(N^{\,j+1}v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-j-1})\)。取 \(j=k\) 得 \(N^{\,k}v_k=0\),于是对一切 \(k\le n\),\(N^{\,n}v_k=N^{\,n-k}(N^{\,k}v_k)=0\),即 \(N^n=0\)。证毕。例 5.41 的后向移位(对角全零,\(B^3=0\))与练习 5 都是这个结论的实例。
练习 5.C-4
证明:\(\mathbb{R}^2\) 上的旋转 \(R(x,y)=(-y,x)\) 关于任何基的矩阵都不是上三角的。
解答/提示反设存在实基 \(w_1,w_2\) 使 \(\mathcal{M}(R)=\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\) 上三角。定理 5.43 的证明(对任意域有效)表明对角元都是特征值:取 \(\lambda=a\),矩阵 \(\mathcal{M}(R-aI)\) 上三角且 \((1,1)\) 元为零,由定理 5.42 的证明,\(R-aI\) 不单射,故 \(a\) 是 \(R\) 的实特征值;同理 \(c\) 也是。但 \(Rv=\lambda v\)(\(v\neq 0\))蕴涵 \(\lambda^2v=R^2v=-v\),即 \(\lambda^2=-1\),在 \(\mathbb{R}\) 中无解,矛盾。故这样的基不存在。对照例 5.44:在 \(\mathbb{C}^2\) 上同一算子不仅可上三角化,甚至可对角化——障碍完全来自基础域。
练习 5.C-5
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^3)\),\(T(x,y,z)=(2x+y,\,2y+z,\,2z)\)。写出标准基下的矩阵,求全部特征值与各特征空间,判断 \(T\) 可否对角化,并用练习 3 解释你观察到的现象。
解答/提示逐列计算 \(Te_1=(2,0,0)\)、\(Te_2=(1,2,0)\)、\(Te_3=(0,1,2)\),得
\[ \mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}, \]上三角,对角元全为 \(2\),故由定理 5.43 唯一特征值是 \(2\)。解 \((T-2I)(x,y,z)=(y,z,0)=0\) 得 \(y=z=0\),特征空间为 \(\operatorname{span}(e_1)\),一维。线性无关特征向量只有一类方向,不足以张成 \(\mathbb{C}^3\),故 \(T\) 不可对角化(也可说:唯一特征值为 \(2\),若可对角化则 \(T=2I\),矛盾)。由练习 3,\(T-2I\) 幂零且 \((T-2I)^3=0\);事实上 \(T=2I+B\),其中 \(B\) 正是例 5.41 的后向移位,\(B^3=0\) 与矩阵的严格上三角形状互相印证:\(T\) 是"数量算子 + 幂零算子"的原型,第 8 章将把这种分解推广成广义特征空间的直和。
练习 5.C-6
本题对任意域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间 \(V\) 与 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 成立。(a) 设 \(\mathcal{M}(T)\) 关于基 \(v_1,\dots,v_n\) 上三角,其对角元依次为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)(按重数计入)。证明 \((T-\lambda_1I)(T-\lambda_2I)\cdots(T-\lambda_nI)=0\)。(b) 证明:\(T\) 可上三角化当且仅当其极小多项式在 \(\mathbb{F}\) 上分解为一次因式之积。
解答/提示(a) 记 \(U_k=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\)(\(U_0=\{0\}\)),并对 \(k=1,\dots,n\) 归纳证明:\(S_k:=(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_kI)\) 在 \(U_k\) 上恒为零。当 \(k=1\) 时,由上三角性 \(Tv_1=A_{1,1}v_1=\lambda_1v_1\),故 \(S_1v_1=0\)。设结论对 \(k\) 成立。每个因子 \(T-\lambda_iI\) 都把每层 \(U_j\) 映入自身(定理 5.40 与线性性),故 \(S_{k+1}=S_k(T-\lambda_{k+1}I)\)(各因子皆 \(T\) 的多项式,彼此可交换)在 \(U_k\) 上仍为零;而对 \(v_{k+1}\),上三角性给出
\[ (T-\lambda_{k+1}I)\,v_{k+1}=\sum_{j\le k}A_{j,k+1}v_j+(A_{k+1,k+1}-\lambda_{k+1})v_{k+1}\in U_k, \]于是 \(S_{k+1}v_{k+1}=0\)。归纳完成,取 \(k=n\) 得 \(S_n\) 在 \(V\) 上为零。顺带一提:若把因子换成互异对角值的一次幂之积,结论一般不真——练习 5 中 \(T=2I+B\) 的对角元全为 \(2\),而 \(T-2I=B\neq 0\),必须取满 \(n\) 个因子(那里 \((T-2I)^3=0\))。
(b) "仅当":由 (a),多项式 \((z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_n)\) 零化 \(T\),故极小多项式 \(q\) 整除它(5.B 定理 5.27);而一个只含一次因子的多项式的因子仍只含一次因子,故 \(q\) 是一次因式之积。"当":对 \(n=\dim V\) 归纳,完全模仿定理 5.38:\(q\) 在 \(\mathbb{F}\) 上分解为一次因式之积,故有根 \(\lambda\in\mathbb{F}\),由 5.B 定理 5.28,\(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值;于是 \(U=\operatorname{range}(T-\lambda I)\) 是真不变子空间(\(T-\lambda I\) 不单射,有限维上故不满射)。又 \(q(T)\) 限制在不变子空间 \(U\) 上为零,而多项式与限制可交换(\(q(T)\big|_U=q(T|_U)\)),故 \(q\) 零化 \(T|_U\),由定理 5.27 知 \(T|_U\) 的极小多项式整除 \(q\),仍分解为一次因式之积,由归纳假设 \(U\) 有上三角基;余下步骤(扩充成基、用 \(Tv=(T-\lambda I)v+\lambda v\) 把新向量压回低层)与定理 5.38 逐字相同。证毕。在 \(\mathbb{F}=\mathbb{C}\) 上条件自动成立,便回到定理 5.38;在 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 上,练习 4 的旋转的极小多项式 \(z^2+1\) 给出失败实例。