多重线性型
在 9.A 中我们研究了双线性型 (bilinear form)——对两个变元分别线性的函数 \(\beta\colon V\times V\to\mathbf{F}\),以及它分解为对称部分与交错部分的结构(9.17)。走向行列式的路上,我们需要允许任意多个变元。先引进记号(原书 9.24):对正整数 \(m\),令
\[ V^{m}=\underbrace{V\times\cdots\times V}_{m\ \text{个}}. \]定义 9.25(\(m\)-线性型,\(V^{(m)}\),多重线性型)。设 \(m\) 为正整数。\(V\) 上的一个 \(m\)-线性型 (\(m\)-linear form) 是指函数 \(\beta\colon V^{m}\to\mathbf{F}\),它在每个变元位置(槽)上分别线性:对每个 \(k\in\{1,\dots,m\}\) 与任意 \(u_1,\dots,u_m\in V\),函数
\[ v\mapsto \beta(u_1,\dots,u_{k-1},\,v,\,u_{k+1},\dots,u_m) \]都是 \(V\) 到 \(\mathbf{F}\) 的线性映射。\(V\) 上全体 \(m\)-线性型之集记作 \(V^{(m)}\)。若 \(\beta\) 是某个 \(m\) 上的 \(m\)-线性型,则称 \(\beta\) 是 \(V\) 上的多重线性型 (multilinear form)。
换句话说,固定其余 \(m-1\) 个变元后,\(\beta\) 成为剩下的那个变元的线性泛函。两个端点情形读者应当核对:\(1\)-线性型就是线性泛函,即 \(V^{(1)}=V'\);\(2\)-线性型就是 9.A 中的双线性型,\(V^{(2)}\) 即原书 9.3 的记号。与 9.A 中 \(V^{(2)}\) 的情形完全一样,在函数的逐点加法与数乘下,\(V^{(m)}\) 是一个向量空间(练习 1 将算出它的维数是 \((\dim V)^{m}\))。
例 1(乘积与迹,原书 9.26)。(a) 若 \(\alpha,\rho\in V^{(2)}\),则
\[ \beta(v_1,v_2,v_3,v_4)=\alpha(v_1,v_2)\,\rho(v_3,v_4) \]是 \(V\) 上的 \(4\)-线性型:固定任意三个变元后,它是剩下那个变元的两个线性函数的乘积,再乘以常数,故线性。(b) 设 \(m\) 为正整数,定义
\[ \beta(T_1,\dots,T_m)=\operatorname{tr}(T_1\cdots T_m),\qquad (T_1,\dots,T_m)\in\bigl(\mathcal{L}(V)\bigr)^{m}. \]由迹的线性性,\(\beta\) 是向量空间 \(\mathcal{L}(V)\) 上的 \(m\)-线性型。注意这里「\(V\)」被取成了 \(\mathcal{L}(V)\) 本身——多重线性型的定义对任何向量空间都适用。
行列式视野下的多重线性型,最重要的原型是「把方阵的各列当作变元」的函数。比如在 \(\mathbf{F}^{2}\) 上,
\[ \beta\bigl((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\bigr)=x_{2}y_{1}\cdot 0+x_{1}y_{2} \]就是对两列各自线性的函数。但这样的函数太多、太随意;行列式只关心其中一类性质极好的函数——既多重线性,又「交错」。这正是本节的标题。
交错多重线性型
回忆 9.A 中的定义 9.14:双线性型 \(\alpha\) 称为交错的,若 \(\alpha(v,v)=0\) 对一切 \(v\in V\) 成立。把它逐字推广到 \(m\) 个变元,就得到本章的核心概念(原书 9.27)。
定义 9.27(交错型,\(V^{(m)}_{\mathrm{alt}}\))。设 \(m\) 为正整数。
- \(V\) 上的 \(m\)-线性型 \(\alpha\) 称为交错的 (alternating),如果只要变元列表 \(v_1,\dots,v_m\in V\) 中有两个相同的向量(即存在不同的 \(j,k\in\{1,\dots,m\}\) 使 \(v_j=v_k\)),就有
- 记 \(V^{(m)}_{\mathrm{alt}}=\{\alpha\in V^{(m)}:\alpha\ \text{是交错的 } m\text{-线性型}\}\)。
读者应当验证 \(V^{(m)}_{\mathrm{alt}}\) 是 \(V^{(m)}\) 的子空间。\(m=2\) 时的例子见 9.A 的例 9.15;\(m=3\) 的一个基本例子见练习 2。
例 2(\(\mathbf{F}^{2}\) 上的有向面积)。定义 \(\omega\colon \mathbf{F}^{2}\times\mathbf{F}^{2}\to\mathbf{F}\) 为
\[ \omega\bigl((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\bigr)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}. \]它显然是双线性的。又对任意 \(v=(x_1,x_2)\),
\[ \omega(v,v)=x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}=0, \]故 \(\omega\) 是交错的 \(2\)-线性型。当 \(\mathbf{F}=\mathbf{R}\) 时,\(\omega(v,w)\) 恰是向量 \(v,w\) 张成的平行四边形带符号的面积:\(v\) 沿逆时针转到 \(w\) 时为正,顺时针为负(见图 1)。这个「有向面积」的直观是理解整个理论的最佳拐杖——交错 \(n\)-线性型就是 \(n\) 维有向体积。
例 3(由线性泛函拼装,原书 9.15)。设 \(\varphi,\tau\in V'\),定义
\[ \alpha(u,w)=\varphi(u)\tau(w)-\varphi(w)\tau(u). \]则 \(\alpha\) 是交错的双线性型:双线性显然;而 \(\alpha(v,v)=\varphi(v)\tau(v)-\varphi(v)\tau(v)=0\)。例 2 正是 \(\varphi,\tau\) 取坐标投影时得到的特例。这类「反对称拼装」将在本节末尾的 9.38 式中被推广到 \(n\) 个线性泛函,成为构造交错型的万能模具。(原书 9.15 还给出 \(\mathbf{F}^{n}\;(n\ge 3)\) 上另一例:\(x_1y_2-x_2y_1+x_1y_3-x_3y_1\)。)
交错条件看似只约束「变元重复」的特殊情形,威力却出乎意料。第一个直接推论:交错型对线性相关的输入一视同仁地给出零(原书 9.28)。
定理 9.28(交错多重线性型与线性相关性)。设 \(m\) 为正整数,\(\alpha\) 是 \(V\) 上的交错 \(m\)-线性型。若 \(v_1,\dots,v_m\) 是 \(V\) 中的线性相关列表,则
\[ \alpha(v_1,\dots,v_m)=0. \]证明。设 \(v_1,\dots,v_m\) 线性相关。由线性相关性引理(原书 2.19),存在 \(k\) 使 \(v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\),即存在标量 \(b_1,\dots,b_{k-1}\in\mathbf{F}\) 使 \(v_k=b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}\)。于是
\[ \alpha(v_1,\dots,v_m) =\alpha\Bigl(v_1,\dots,v_{k-1},\,\sum_{j=1}^{k-1}b_jv_j,\,v_{k+1},\dots,v_m\Bigr) =\sum_{j=1}^{k-1}b_j\,\alpha(v_1,\dots,v_{k-1},\,v_j,\,v_{k+1},\dots,v_m). \]右端每一项的第 \(j\) 个变元与第 \(k\) 个变元都是 \(v_j\),两变元相同,故由交错性每一项都为零。证毕。
推论 9.29(\(m\gt\dim V\) 时没有非零交错型)。若 \(m\gt\dim V\),则 \(V\) 上唯一的交错 \(m\)-线性型是恒等于 \(0\) 的函数,即 \(V^{(m)}_{\mathrm{alt}}=\{0\}\)。
证明。设 \(\alpha\) 是交错 \(m\)-线性型,\(v_1,\dots,v_m\in V\)。因为 \(m\gt\dim V\),该列表不可能线性无关(原书 2.22),即线性相关,由 9.28 得 \(\alpha(v_1,\dots,v_m)=0\)。故 \(\alpha\) 是 \(V^{m}\) 上恒为零的函数。证毕。
注(「交换变号」与「重复为零」)。9.A 的定理 9.16 已证明:双线性型交错当且仅当交换两个变元使取值变号。本节稍后的 9.30 将把「变号」方向推广到任意 \(m\)。反方向(\(\alpha(v_1,\dots,v,\dots,v,\dots)=-\alpha(\dots,v,\dots,v,\dots)\Rightarrow 0\))则需要对 \(2\) 作除法;由于本书始终设 \(\mathbf{F}=\mathbf{R}\) 或 \(\mathbf{C}\),恒有 \(2\ne 0\),两个条件等价。原书选择「重复变元为零」作定义,是它在任意特征的域上也是最稳妥的表述;以下我们沿用原书的定义方式。
几何直觉:有向面积与「压扁归零」
在进入置换的技术细节之前,值得停下来看清我们究竟在研究什么。把例 2 的 \(\omega\) 想象成 \(\mathbf{R}^{2}\) 中的「有向面积测量仪」:它对两个输入向量各自线性——把任一边拉长 \(c\) 倍,面积就放大 \(c\) 倍;它交错——两输入相同,即平行四边形退化成线段、被「压扁」时,面积恰为零。交换两个输入,平行四边形还是那一个,但定向翻转了(逆时针变顺时针),于是读数变号。这三条正是「体积」概念的全部本质特征。
「压扁归零」同样应该成为肌肉记忆。它有两种常见表述:其一,两个变元干脆共线,平行四边形塌成一条线段(图 2 左);其二,列表线性相关——比如某个变元落在其余变元的张成里,此时由定理 9.28,取值必为零(图 2 右)。在 \(n\) 维空间里,交错 \(n\)-线性型同样只在 \(n\) 个向量「真正撑开一块 \(n\) 维体积」时才可能非零。
反过来想,这解释了「行列式为什么必须长成这个样子」:我们想要的 \(n\) 维体积测量,自然应当对每条边独立地线性(每条边伸缩,体积等比例伸缩),并且当图形被压扁(某条边落入其余边的张成)时读数为零。满足这两条的函数,恰好就是交错 \(n\)-线性型;本节末尾将证明这样的函数本质上只有一个(至多差一个常数因子)。行列式没有别的选择——这就是它的必然性。
置换、符号与变元重排
交错型对「交换两个变元」如何反应?答案极其干净(原书 9.30),证明只用一行极化恒等式。
命题 9.30(交换变元使取值变号)。设 \(m\) 为正整数,\(\alpha\) 是 \(V\) 上的交错 \(m\)-线性型,\(v_1,\dots,v_m\in V\)。则交换 \(\alpha(v_1,\dots,v_m)\) 中任意两个位置的变元,取值乘以 \(-1\)。
证明。先看前两个位置。把 \(v_1+v_2\) 同时填入前两槽,由交错性(两变元相同)得
\[ 0=\alpha(v_1+v_2,\,v_1+v_2,\,v_3,\dots,v_m). \]对前两槽展开多重线性性:
\[ 0=\alpha(v_1,v_1,v_3,\dots)+\alpha(v_1,v_2,v_3,\dots)+\alpha(v_2,v_1,v_3,\dots)+\alpha(v_2,v_2,v_3,\dots). \]首末两项因两变元相同而为零,故
\[ \alpha(v_2,v_1,v_3,\dots,v_m)=-\alpha(v_1,v_2,v_3,\dots,v_m). \]交换任意两个位置 \(j,k\) 的情形同理:把注意力集中在第 \(j,k\) 两槽,把这两个变元分别记作「第一个」「第二个」,逐字重复上述论证即可。证毕。
例 2 正是 \(m=2\) 的直观:交换输入,定向翻转,面积变号。要处理任意多次交换,需要清点交换次数奇偶性的工具——置换及其符号。
定义 9.31(置换,\(\operatorname{perm} m\))。设 \(m\) 为正整数。\((1,\dots,m)\) 的一个置换 (permutation) 是指包含 \(1,\dots,m\) 中每个数恰好一次的列表 \((j_1,\dots,j_m)\)。全体置换之集记作 \(\operatorname{perm} m\)。
定义 9.32(置换的符号)。置换 \((j_1,\dots,j_m)\) 的符号 (sign) 定义为
\[ \operatorname{sign}(j_1,\dots,j_m)=(-1)^{N}, \]其中 \(N\) 是满足 \(1\le k\lt\ell\le m\) 且 \(k\) 在列表 \((j_1,\dots,j_m)\) 中出现在 \(\ell\) 之后的整数对 \((k,\ell)\) 的个数(即「逆序」的个数)。
例 4(符号的计算,原书 9.33)。\((1,\dots,m)\) 没有逆序,\(\operatorname{sign}=1\)。在 \((2,1,3,4)\) 中唯一的逆序对是 \((1,2)\),故符号为 \(-1\)。在 \((2,3,\dots,m,1)\) 中,逆序对恰为 \((1,2),(1,3),\dots,(1,m)\),共 \(m-1\) 个,故符号为 \((-1)^{m-1}\)。
把一个置换恢复成自然顺序所需的交换次数可以不同(比如先换 \(1,2\) 再换回来),所以「交换次数的奇偶」不能直接拿来当定义。定义 9.32 用逆序数绕开了这一歧义;下面的命题则保证:每做一次交换,符号确实翻号——奇偶性的清点由此自洽(原书 9.34)。
命题 9.34(交换置换中两个条目使符号翻号)。交换置换中两个条目,所得仍为置换,且其符号等于原符号乘以 \(-1\)。
证明。设第二个置换由第一个交换某两个条目得到,被交换的条目为 \(p\lt q\)。先看这一对本身:\(p,q\) 原本顺序自然,当且仅当交换后顺序不自然;反之亦然。于是仅由这一对贡献的逆序数净变化为 \(+1\) 或 \(-1\)——都是奇数。
再看夹在 \(p,q\) 之间的每个中间条目 \(c\)。若 \(c\) 原本与 \(p,q\) 都自然(或都不自然),交换后它与两者都不自然(或都自然),逆序数净变化 \(\pm 2\);若 \(c\) 原本恰与其中一个自然,交换后仍恰与那一个不自然、与另一个自然,净变化为 \(0\)。位于 \(p,q\) 之外的条目与 \(p,q\) 的相对位置不变,彼此之间的相对位置也不变,贡献不变。
因此逆序数的总变化是「奇数 \(\pm 1\) 或 \(\pm 2\)、\(0\)」之和,奇偶性必翻转,故符号乘以 \(-1\)。证毕。
现在可以证明本节第一个重要公式:交错型在变元任意重排下的取值,由置换符号完全决定(原书 9.35)。
定理 9.35(置换与交错多重线性型)。设 \(m\) 为正整数,\(\alpha\in V^{(m)}_{\mathrm{alt}}\)。则对 \(V\) 中任意列表 \(v_1,\dots,v_m\) 与任意 \((j_1,\dots,j_m)\in\operatorname{perm} m\),
\[ \alpha(v_{j_1},\dots,v_{j_m})=\bigl(\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_m)\bigr)\,\alpha(v_1,\dots,v_m). \]证明。设 \(v_1,\dots,v_m\in V\),\((j_1,\dots,j_m)\in\operatorname{perm} m\)。可以通过一系列「交换两个不同位置的条目」把 \((j_1,\dots,j_m)\) 变成 \((1,\dots,m)\)(例如冒泡排序)。由 9.30,每交换一次,\(\alpha(v_{j_1},\dots,v_{j_m})\) 的值乘以 \(-1\);由 9.34,每交换一次,剩余置换的符号也乘以 \(-1\)。经过有限次交换后到达 \((1,\dots,m)\),其符号为 \(1\)(例 4)。于是取值变号次数与符号变号次数完全同步:若 \(\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_m)=1\),取值经历偶数次变号,不变;若为 \(-1\),取值经历奇数次变号,变号。这正是所要证的等式。证毕。
注。图 3 的六边形有个附赠的观察:从任一顶点回到自身,跨过的边数必为偶数——这正对应「同一置换的两种还原方式所用的交换次数奇偶相同」。9.32 用逆序数定义符号、9.34 证明每次交换翻号,二者合起来便彻底消除了「交换次数」的歧义;这是置换理论中最经典的一处细节,原书的处理尤为干净。
交错 n-线性型:显式公式与一维性
现在进入本节的高潮。设 \(n=\dim V\)。先建立交错 \(n\)-线性型的一个显式展开公式:把每个变元按基分解后,取值由「基上的单一取值 \(\alpha(e_1,\dots,e_n)\)」完全决定(原书 9.36)。这正是行列式按列展开的 Leibniz 型公式的雏形。
定理 9.36(\((\dim V)\)-线性交错型的公式)。设 \(n=\dim V\),\(e_1,\dots,e_n\) 是 \(V\) 的基,\(v_1,\dots,v_n\in V\),且
\[ v_k=\sum_{j=1}^{n}b_{j,k}\,e_j\qquad(k=1,\dots,n). \]则对 \(V\) 上每个交错 \(n\)-线性型 \(\alpha\),
\[ \alpha(v_1,\dots,v_n)=\alpha(e_1,\dots,e_n)\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in\operatorname{perm} n}\bigl(\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)\bigr)\,b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n}. \]证明。由多重线性性,把每个变元的分解逐槽展开:
\[ \alpha(v_1,\dots,v_n)=\alpha\Bigl(\sum_{j_1=1}^{n}b_{j_1,1}e_{j_1},\dots,\sum_{j_n=1}^{n}b_{j_n,n}e_{j_n}\Bigr)=\sum_{j_1=1}^{n}\cdots\sum_{j_n=1}^{n}b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n}\,\alpha(e_{j_1},\dots,e_{j_n}). \]若指标 \(j_1,\dots,j_n\) 中有重复,则基向量列表中有两个相同,由交错性该项为零;于是只剩指标互不重复——即 \((j_1,\dots,j_n)\in\operatorname{perm} n\)——的项:
\[ \alpha(v_1,\dots,v_n)=\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in\operatorname{perm} n}b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n}\,\alpha(e_{j_1},\dots,e_{j_n}). \]最后对每一项用 9.35(把那里的「列表」取为基向量列表 \(e_1,\dots,e_n\)):\(\alpha(e_{j_1},\dots,e_{j_n})=\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)\,\alpha(e_1,\dots,e_n)\)。代入并提出公因子 \(\alpha(e_1,\dots,e_n)\) 即得结论。证毕。
例 5(在 \(\mathbf{F}^{2}\) 上验证 9.36)。取标准基 \(e_1,e_2\),例 2 的交错型 \(\omega\),并设 \(v=(x_1,x_2)\),\(w=(y_1,y_2)\)。则 \(v=x_1e_1+x_2e_2\),\(w=y_1e_1+y_2e_2\)。9.36 的和式遍历 \(\operatorname{perm}2=\{(1,2),(2,1)\}\),符号分别为 \(+1,-1\),于是
\[ \omega(v,w)=\underbrace{\omega(e_1,e_2)}_{=1}\,(x_1y_2-y_1x_2)=x_1y_2-x_2y_1, \]与直接计算一致。\(\operatorname{perm} n\) 共有 \(n!\) 个元素,故 9.36 的和式有 \(n!\) 项——这就是行列式按 Leibniz 公式展开时 \(n!\) 个乘积项的来源。
9.36 说明:交错 \(n\)-线性型在基 \(e_1,\dots,e_n\) 上的单一取值 \(\alpha(e_1,\dots,e_n)\) 决定了它的一切取值。由此立刻得到本章的基石定理(原书 9.37)。
定理 9.37(\(V^{(\dim V)}_{\mathrm{alt}}\) 是一维的)。向量空间 \(V^{(\dim V)}_{\mathrm{alt}}\) 的维数是 \(1\)。
证明。记 \(n=\dim V\)。第一步:维数至多是 \(1\)。设 \(\alpha,\alpha'\) 都是交错 \(n\)-线性型且 \(\alpha\ne 0\)。取 \(e_1,\dots,e_n\) 使 \(\alpha(e_1,\dots,e_n)\ne 0\)。由 9.28(逆否命题),该列表线性无关,而其长度为 \(n=\dim V\),故它是 \(V\) 的基(原书 2.38)。取
\[ c=\frac{\alpha'(e_1,\dots,e_n)}{\alpha(e_1,\dots,e_n)}\in\mathbf{F}. \]对任意 \(v_1,\dots,v_n\in V\),按基分解 \(v_k=\sum_j b_{j,k}e_j\),由 9.36,
\[ \alpha'(v_1,\dots,v_n)=\alpha'(e_1,\dots,e_n)\sum_{\operatorname{perm} n}\operatorname{sign}(\cdots)\,b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n} =c\,\alpha(e_1,\dots,e_n)\sum_{\operatorname{perm} n}\operatorname{sign}(\cdots)\,b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n} =c\,\alpha(v_1,\dots,v_n). \]故 \(\alpha'=c\alpha\),即任意两个非零交错 \(n\)-线性型线性相关,从而 \(\dim V^{(n)}_{\mathrm{alt}}\le 1\)。
第二步:存在非零的交错 \(n\)-线性型。任取基 \(e_1,\dots,e_n\)。由对偶基(原书 3.114),存在 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\in V'\) 使每个 \(v\in V\) 都有分解 \(v=\sum_{j=1}^{n}\varphi_j(v)\,e_j\)。定义(原书 9.38 式)
\[ \alpha(v_1,\dots,v_n)=\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in\operatorname{perm} n}\bigl(\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)\bigr)\,\varphi_{j_1}(v_1)\cdots\varphi_{j_n}(v_n). \tag{9.38} \]每个变元在每个加项中恰出现一次(以线性方式),故 \(\alpha\) 是 \(n\)-线性型。验证交错性:设 \(v_1=v_2\)。对每个 \((j_1,\dots,j_n)\in\operatorname{perm} n\),交换前两个指标得 \((j_2,j_1,j_3,\dots,j_n)\),它仍是置换,且符号相反(9.34);而 \(v_1=v_2\) 使两个加项的乘积相同(只是两个相等的因子对调),故两加项互相抵消。置换按此前后两两配对,总和为零:\(\alpha(v_1,v_1,v_3,\dots,v_n)=0\)。任意两变元相同的情形同理。故 \(\alpha\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}}\)。
最后取 \(v_k=e_k\;(k=1,\dots,n)\)。因 \(\varphi_j(e_k)\) 在 \(j=k\) 时为 \(1\)、在 \(j\ne k\) 时为 \(0\),唯一不被清零的加项对应 \((1,\dots,n)\),其符号为 \(+1\),故
\[ \alpha(e_1,\dots,e_n)=1\ne 0. \]于是 \(V^{(n)}_{\mathrm{alt}}\) 含非零元素,结合第一步即得 \(\dim V^{(\dim V)}_{\mathrm{alt}}=1\)。证毕。
注(体积型)。由 9.37,\(n\) 维空间上的全部交错 \(n\)-线性型恰为 \(\{c\,\omega_0:c\in\mathbf{F}\}\),其中 \(\omega_0\) 是任一非零者,可取 9.38 式构造的那个(它满足 \(\omega_0(e_1,\dots,e_n)=1\))。\(\omega_0\) 常被直白地称为体积型:\(c\,\omega_0(v_1,\dots,v_n)\) 就是「平行多面体 \(v_1,\dots,v_n\) 相对于单位方块 \(e_1,\dots,e_n\) 的有向体积」。一维性意味着:体积的测量方式本质上唯一,至多差一个单位换算系数。这也回答了 9.29 留下的悬念——\(\dim V\) 恰是「能装下非零交错型的最大变元个数」。
一维性还有一个漂亮的免费赠品:非零交错 \(n\)-线性型是「基的检验器」(原书 9.39)。它是 9.28 在 \(m=n=\dim V\) 情形下的逆命题。
定理 9.39(交错 \((\dim V)\)-线性型与线性无关性)。设 \(n=\dim V\),\(\alpha\) 是非零交错 \(n\)-线性型,\(e_1,\dots,e_n\in V\)。则
\[ \alpha(e_1,\dots,e_n)\ne 0\quad\Longleftrightarrow\quad e_1,\dots,e_n\ \text{线性无关} \](从而线性无关时它自动是基)。这里「\(\alpha\) 非零」照函数的惯例指 \(\alpha\) 不恒等于 \(0\)。
证明。(\(\Rightarrow\))若 \(\alpha(e_1,\dots,e_n)\ne 0\),则由 9.28 的逆否命题,\(e_1,\dots,e_n\) 线性无关。
(\(\Leftarrow\))设 \(e_1,\dots,e_n\) 线性无关。因其长度恰为 \(n=\dim V\),它是 \(V\) 的基(原书 2.38)。由 \(\alpha\) 非零,存在 \(v_1,\dots,v_n\in V\) 使 \(\alpha(v_1,\dots,v_n)\ne 0\)。把诸 \(v_k\) 按基 \(e_1,\dots,e_n\) 分解并套用 9.36:
\[ \alpha(v_1,\dots,v_n)=\alpha(e_1,\dots,e_n)\sum_{\operatorname{perm} n}\operatorname{sign}(\cdots)\,b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n}. \]左端非零,迫使 \(\alpha(e_1,\dots,e_n)\ne 0\)。证毕。
注(与原书结构对照)。原书 9.B 分三个小节展开:「Multilinear Forms」(9.24–9.26)、「交错型」(9.27–9.29)与「Alternating Multilinear Forms and Permutations」(9.30–9.39),练习 9B 共 7 题;本页编号与之一一对应,仅 9.28/9.29 的「定理/推论」标签为本页所加(原书把它们均列为无编号名称的结果)。此外需说明两点:其一,「拉回」\(\alpha^{T}\) 与 \(\det T\) 的正式定义在原书属于下一节 9.C(分别为 9.40 与 9.41),本页仅在上一节末尾作动机性预告;其二,当 \(m\lt\dim V\) 时 \(V^{(m)}_{\mathrm{alt}}\) 的维数是 \(\binom{\dim V}{m}\)(其基由对偶基的「楔积」给出)——原书本节并未发展这一理论,本页亦不展开,有兴趣的读者可在学完本章后把它当作绝佳的练习题材。
通往 9.C:行列式的诞生
一切材料已经就位,只差临门一脚。观察:若 \(\alpha\) 是 \(V\) 上的交错 \(m\)-线性型,\(T\in\mathcal{L}(V)\),则把 \(T\) 同时塞进每个变元,得到
\[ \alpha^{T}(v_1,\dots,v_m)=\alpha(Tv_1,\dots,Tv_m). \]由于每个 \(v\mapsto Tv\) 线性,\(\alpha^{T}\) 仍是 \(m\)-线性型;又若两个变元相同,则它们的像也相同,故 \(\alpha^{T}\) 仍交错。也就是说,每个算子 \(T\) 通过「拉回」把 \(V^{(m)}_{\mathrm{alt}}\) 映到自身。
现在取 \(m=n=\dim V\),让 9.37 发挥作用:一维空间 \(V^{(n)}_{\mathrm{alt}}\) 中任一元素被拉回后仍是其中元素,故必为原来的倍数。精确地说:任取非零 \(\alpha_0\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}}\),存在唯一的 \(c\in\mathbf{F}\) 使
\[ \alpha_0^{T}=c\,\alpha_0. \]而且这个倍数 \(c\) 不依赖于 \(\alpha_0\) 的选取:若 \(\alpha\) 是另一个非零交错 \(n\)-线性型,由一维性有 \(\alpha=a\,\alpha_0\)(某 \(a\ne 0\)),于是 \(\alpha^{T}=a\,\alpha_0^{T}=a\,c\,\alpha_0=c\,\alpha\)。换言之,数 \(c\) 只由算子 \(T\) 本身决定——它是 \(T\) 的一个全新的、完全不依赖坐标的不变量。
原书在 9.C 开头正是沿这条路给出定义(\(\alpha^{T}\) 为 9.40):
定义(行列式,即原书 9.41 的内容,此处仅作预告)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(n=\dim V\)。\(T\) 的行列式 \(\det T\) 定义为那个唯一满足
\[ \alpha^{T}=(\det T)\,\alpha\qquad\text{对一切 }\alpha\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}} \]的标量 \(\det T\in\mathbf{F}\)。
把体积直观翻译过来:\(T\) 把每个平行多面体都送入另一个平行多面体,而所有有向体积被统一地放大或缩小同一个倍数 \(\det T\)——行列式就是体积缩放因子。它对每个变元(即 \(T\) 的矩阵的每一列)线性,当图形被压扁(\(T\) 不可逆,列向量线性相关)时恰为零,与 9.28、9.36 完全吻合。下一节(9.C)将证明 \(\det(ST)=(\det S)(\det T)\)、\(T\) 可逆当且仅当 \(\det T\ne 0\),并给出特征多项式 \(\det(zI-T)\)(原书 9.63),把这本「无行列式」走完大半本书的旅程,在最高处与行列式重逢。
练习
练习 9.B-1
设 \(m\) 为正整数。证明:\(\dim V^{(m)}=(\dim V)^{m}\)。(原书练习 9B.1)
解答设 \(e_1,\dots,e_n\) 是 \(V\) 的基,\(\varphi_1,\dots,\varphi_n\in V'\) 为其对偶基(原书 3.114)。对每个指标序列 \((j_1,\dots,j_m)\in\{1,\dots,n\}^{m}\),定义
\[ \beta_{(j_1,\dots,j_m)}(v_1,\dots,v_m)=\varphi_{j_1}(v_1)\cdots\varphi_{j_m}(v_m), \]它显然是 \(m\)-线性型,且在「基元组」上的取值为
\[ \beta_{(j_1,\dots,j_m)}(e_{k_1},\dots,e_{k_m})=\begin{cases}1,&(k_1,\dots,k_m)=(j_1,\dots,j_m),\\0,&\text{否则.}\end{cases} \]张成:任取 \(\beta\in V^{(m)}\),令 \(c_{(j_1,\dots,j_m)}=\beta(e_{j_1},\dots,e_{j_m})\)。两个 \(m\)-线性型 \(\beta\) 与 \(\sum c_{(j_1,\dots,j_m)}\beta_{(j_1,\dots,j_m)}\) 在所有基元组上取值相同;由于 \(m\)-线性型由其在基元组上的取值完全决定(把每个变元按基展开即见),二者相等。线性无关:若 \(\sum a_{(j_1,\dots,j_m)}\beta_{(j_1,\dots,j_m)}=0\),代入基元组 \((e_{k_1},\dots,e_{k_m})\) 得 \(a_{(k_1,\dots,k_m)}=0\)。
故这 \(n^{m}\) 个 \(\beta_{(j_1,\dots,j_m)}\) 构成 \(V^{(m)}\) 的基,\(\dim V^{(m)}=n^{m}\)。
练习 9.B-2
设 \(n\ge 3\),\(\alpha\colon\mathbf{F}^{n}\times\mathbf{F}^{n}\times\mathbf{F}^{n}\to\mathbf{F}\) 定义为
\[ \alpha\bigl((x_1,\dots,x_n),(y_1,\dots,y_n),(z_1,\dots,z_n)\bigr)=x_1y_2z_3-x_2y_1z_3-x_3y_2z_1-x_1y_3z_2+x_3y_1z_2+x_2y_3z_1. \]证明:\(\alpha\) 是 \(\mathbf{F}^{n}\) 上的交错 \(3\)-线性型。(原书练习 9B.2)
解答多重线性性:每个单项式中三个变元 \(x,y,z\) 各恰好出现一次(以一次幂),固定两个变元后单项式是第三个变元的坐标的常数倍线性组合,求和仍线性。交错性(定义 9.27):需证任两变元相同时取值为零。设 \(x=y\),六个单项式成为
\[ x_1x_2z_3-x_2x_1z_3-x_3x_2z_1-x_1x_3z_2+x_3x_1z_2+x_2x_3z_1, \]其中第 \(1,2\) 项、第 \(3,6\) 项、第 \(4,5\) 项两两相消,总和为 \(0\)。设 \(x=z\),单项式成为 \(x_1y_2x_3-x_2y_1x_3-x_3y_2x_1-x_1y_3x_2+x_3y_1x_2+x_2y_3x_1\);第 \(1,3\) 项(\(\pm x_1x_3y_2\))、第 \(2,6\) 项(\(\mp x_2x_3y_1\))、第 \(4,5\) 项(\(\mp x_1x_2y_3\))两两相消,总和为 \(0\)。设 \(y=z\) 的情形完全对称:第 \(1,4\)、\(2,6\)、\(3,5\) 项两两相消。故 \(\alpha\) 交错。
顺带一提:\(\alpha(e_1,e_2,e_3)=1\),故 \(\alpha\) 非零;它正是把每个向量投影到前三个坐标后按 9.36(取 \(n=3\))展开的「有向体积」。
练习 9.B-3
设 \(m\) 为正整数,\(\beta\) 是 \(V\) 上的 \(m\)-线性型,且只要相邻两个变元相同(\(v_j=v_{j+1}\),某 \(j\in\{1,\dots,m-1\}\))就有 \(\beta(v_1,\dots,v_m)=0\)。证明:\(\beta\) 是交错 \(m\)-线性型。(原书练习 9B.3;注意结论把「相邻」放宽为「任意两个位置」。)
解答第一步:相邻两槽交换变号。固定其余变元,把注意力放在第 \(j,j+1\) 两槽。对任意 \(u,w\in V\),由假设(相邻相同为零)与多重线性性,
\[ 0=\beta(\dots,u+w,u+w,\dots)=\beta(\dots,u,u,\dots)+\beta(\dots,u,w,\dots)+\beta(\dots,w,u,\dots)+\beta(\dots,w,w,\dots), \]首末两项为零,得 \(\beta(\dots,u,w,\dots)=-\beta(\dots,w,u,\dots)\)。
第二步:任意两变元相同则为零。设 \(v_j=v_k\) 且 \(j\lt k\)。反复用第一步,把第 \(k\) 槽的变元经 \(k-j-1\) 次相邻交换逐步左移到第 \(j+1\) 槽;每次交换取值乘 \(-1\),故
\[ \beta(v_1,\dots,v_m)=\pm\,\beta(\dots,\underbrace{v_j}_{\text{第}j\text{槽}},\underbrace{v_k}_{\text{第}j+1\text{槽}},\dots)=\pm\,\beta(\dots,v_j,v_j,\dots)=0, \]末一步用了相邻两变元相同这一假设。故 \(\beta\) 交错。
练习 9.B-4
判断并证明或反驳:若 \(\alpha\in V^{(4)}_{\mathrm{alt}}\),则
\[ \{(v_1,v_2,v_3,v_4)\in V^{4}:\alpha(v_1,v_2,v_3,v_4)=0\} \]是 \(V^{4}\) 的子空间。(原书练习 9B.4)
解答反驳(反例)。取 \(V=\mathbf{F}^{4}\),标准基 \(e_1,e_2,e_3,e_4\),对偶坐标泛函 \(\varphi_1,\dots,\varphi_4\),令 \(\alpha\) 为 9.37 证明中 9.38 式给出的交错 \(4\)-线性型:
\[ \alpha(v_1,\dots,v_4)=\sum_{(j_1,\dots,j_4)\in\operatorname{perm} 4}\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_4)\,\varphi_{j_1}(v_1)\cdots\varphi_{j_4}(v_4), \](以 \(v_1,\dots,v_4\) 为列的 \(4\times 4\) 矩阵的 Leibniz 展开式)。取
\[ u=(e_1,\,e_1,\,e_2,\,e_3),\qquad w=(e_2,\,e_3,\,e_4,\,e_2). \]\(u\) 的前两变元相同,\(w\) 的第一、四变元相同,故 \(\alpha(u)=\alpha(w)=0\),即 \(u,w\) 都在所述集合中。但
\[ u+w=\bigl(e_1+e_2,\ e_1+e_3,\ e_2+e_4,\ e_2+e_3\bigr). \]直接按上式计算:非零加项只能在每个变元处各取一个非零坐标且行号互不重复,仅有两个置换存活:取行号 \((1,3,4,2)\) 得乘积 \(1\cdot1\cdot1\cdot1\),取行号 \((2,1,4,3)\) 得乘积 \(1\cdot1\cdot1\cdot1\);两个置换各有两个逆序,符号均为 \(+1\)。故
\[ \alpha(u+w)=1+1=2\ne 0, \]集合对加法不封闭,不是子空间。(该集合显然含零元且对数乘封闭,恰好只败在加法上;另由 9.39,\(\alpha(u+w)\ne0\) 也说明这四个向量线性无关。)
练习 9.B-5
设 \(m\) 为正整数,\(\beta\) 是 \(V\) 上的 \(m\)-线性型。定义
\[ \alpha(v_1,\dots,v_m)=\sum_{(j_1,\dots,j_m)\in\operatorname{perm} m}\bigl(\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_m)\bigr)\,\beta(v_{j_1},\dots,v_{j_m}). \]说明为什么 \(\alpha\in V^{(m)}_{\mathrm{alt}}\)。(原书练习 9B.5;这叫 \(\beta\) 的交错化。)
解答\(m\)-线性性:每个加项是变元的一个重排后交给 \(\beta\),固定其余变元后,被考察的变元在线性位置上,故每个加项对该变元线性,有限和仍线性。交错性:设 \(v_a=v_k\)(\(a\ne k\))。对每个 \((j_1,\dots,j_m)\in\operatorname{perm} m\),交换列表中 \(a\) 与 \(k\) 所在的两个位置,得到另一个置换 \((j_1',\dots,j_m')\);由 9.34 其符号相反。又因 \(v_a=v_k\),把这两个置换作为 \(\beta\) 的输入顺序,所得的向量列表完全相同,即 \(\beta(v_{j_1'},\dots,v_{j_m'})=\beta(v_{j_1},\dots,v_{j_m})\)。于是全部置换按此配对,每对加项之和为 \(0\),故 \(\alpha(v_1,\dots,v_m)=0\)。
例如 \(m=2\):\(\alpha(v_1,v_2)=\beta(v_1,v_2)-\beta(v_2,v_1)\),正是把双线性型交错化的熟悉公式;9.38 式则是把「乘积型 \(\varphi_{j_1}\otimes\cdots\otimes\varphi_{j_n}\) 之和」交错化的又一实例。
练习 9.B-6
给出 \(\mathbf{R}^{3}\) 上一个非零交错 \(2\)-线性型 \(\alpha\) 与一个线性无关列表 \(v_1,v_2\),使 \(\alpha(v_1,v_2)=0\)。(原书练习 9B.7;它表明 9.39 中「\(n=\dim V\)」的假设不可删去。)
解答取
\[ \alpha\bigl((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\bigr)=x_1y_2-x_2y_1 \](例 2 的公式,现视为 \(\mathbf{R}^{3}\) 上的双线性型;它只「看」前两个坐标)。它交错:\(\alpha(v,v)=x_1x_2-x_2x_1=0\);又 \(\alpha(e_1,e_2)=1\),故非零。取 \(v_1=e_3=(0,0,1)\),\(v_2=e_1=(1,0,0)\):二者线性无关,而
\[ \alpha(e_3,e_1)=0\cdot 0-0\cdot 1=0. \]原因很清楚:\(e_3\) 的前两个坐标全为零,而 \(\alpha\) 对第一个变元只依赖这些坐标,故 \(v_1\in\operatorname{span}(e_3)\) 时恒有 \(\alpha(v_1,v_2)=0\)。对照 9.39:当变元个数 \(m\) 小于 \(\dim V\) 时,\(\alpha\) 只能「部分地」看见空间,非零取值不再等价于线性无关。