3.1　引言 — 概率论基础教程

学习目标

用天气预报、医学诊断等情境说明「新信息到来后概率需要修正」这一动机，并正确读出记号 \(P(E|F)\)；
分别用缩减样本空间法与面积比法计算等可能模型下的条件概率（掷骰子引例得 \(2/3\)），并说明两种算法一致的原因；
判断给定信息使目标事件的概率上调、不变还是下调，并举出「信息无关」的例子（独立性的预告）；
区分 \(P(E|F)\) 与 \(P(F|E)\)，指出混淆方向的风险；
按顺序复述本章路线：条件概率 → 乘法规则 → 全概率公式与贝叶斯公式 → 独立性。

1. 新信息如何修正概率

第 2 章回答了「概率如何运算」：在样本空间(sample space)上，概率是满足三条公理的集合函数，由此推出补公式、容斥原理与连续性，并在等可能模型中完成了大量计算。但这些计算都有一个共同的起点——试验之前，我们对结果一无所知。现实中的决策却几乎总在「部分信息」下进行：气象员看到清晨的卫星云图，再报降水概率；医生拿到化验单，再判断患病的可能；保险公司掌握了投保人的驾龄记录，再为保单定价。每当新信息到来，概率就应当被修正——问题在于：按什么规则修正？

概率论把「已知事件 \(F\) 发生」这一知识状态下事件 \(E\) 的概率记作 \(P(E|F)\)，称为条件概率(conditional probability)。它是概率论中最重要的概念之一：本章的乘法规则、全概率公式与贝叶斯公式都是它的直接推论；此后各章的随机变量、数学期望乃至随机过程，无一不以条件概率为基石。本节先用一个最简单的骰子试验看清「信息如何起作用」，再预告本章的完整路线。

定义 1　条件概率（记号与直观含义）

设 \(S\) 为随机试验的样本空间，\(E\)、\(F\) 为事件且 \(P(F)>0\)。记号 \(P(E|F)\) 读作「在 \(F\) 发生的条件下 \(E\) 的概率」，表示获得信息 \(F\) 之后对 \(E\) 的重新赋值。

直观上，条件概率回答的是：世界被信息裁剪之后，剩下的可能性如何分配。在等可能模型中，它可以用「缩减样本空间」的方法直接求得（见例 1 与命题 1）；一般情形的严格定义 \(P(E|F)=P(EF)/P(F)\) 将在 3.2 节正式给出。

2. 引例：已知掷出偶数，求「点数 ≥ 4」

考虑最经典的等可能模型：掷一颗均匀骰子。我们比较「试验前一无所知」与「有人瞥见结果是偶数」这两种处境下，同一个事件的概率。

例 1　已知掷出偶数，求「点数 ≥ 4」的概率

掷一颗均匀骰子，设 \(E\)＝「点数 ≥ 4」，\(F\)＝「点数为偶数」。(a) 求试验前的 \(P(E)\)；(b) 若已知 \(F\) 发生，求 \(P(E|F)\)。

解(a) \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) 中各点等可能，\(E=\{4,5,6\}\)，故 \(P(E)=3/6=1/2\)。
(b) 方法一（缩减样本空间）：信息 \(F\) 一到，奇数点 \(1,3,5\) 立即出局，样本空间缩减为 \(F=\{2,4,6\}\)，这一新样本空间称为缩减样本空间(reduced sample space)；骰子的均匀性保证这三个点在新空间中仍然等可能，于是每点各占 \(1/3\)。其中属于 \(E\) 的只有 \(4,6\) 两点，故 \[ P(E|F)=\frac{2}{3}. \] 方法二（面积比）：把 \(S\) 想成面积为 \(1\) 的矩形，\(6\) 个点各占 \(1/6\)。已知 \(F\) 后，只有落在 \(F\) 内的那部分面积有效，因此条件概率是「范围内部的占比」： \[ P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}=\frac{2/6}{3/6}=\frac{2}{3}. \] 分子 \(EF=\{4,6\}\) 是「既满足信息又满足目标」的部分，分母 \(F\) 是信息圈定的范围。两种方法殊途同归：方法一先裁剪再计数，方法二先算比例再相除，本质都是把概率按 \(F\) 重新归一化(normalization)（见图 1 与表 1）。最后注意 \(2/3>1/2\)：「是偶数」这条信息对「点数 ≥ 4」是利好，它把概率上调了。

图 1：信息裁剪样本空间。上：原样本空间的 6 个等可能格（每格 1/6），奇数格随信息 F 出局；下：剩余三个偶数格拉伸成新的整体（每格 1/3），其中属于 E 的两格高亮——重新归一化后 P(E|F) = 2/3。

表 1：信息 F 前后，各样本点概率的重新分配（例 1）
点数	信息前的概率	得知 F 后的概率
1	1/6	0（出局）
2	1/6	1/3
3	1/6	0（出局）
4	1/6	1/3
5	1/6	0（出局）
6	1/6	1/3
合计	1	1

3. 两种算法为何一致：比例与归一化

例 1 中两种算法给出同一结果并非巧合。对等可能模型，它们是同一件事的两种写法。

命题 1　等可能模型下的条件概率

设样本空间 \(S\) 含 \(N\) 个等可能的样本点，事件 \(F\) 含 \(k\ge 1\) 个样本点，则对任意事件 \(E\)， \[ P(E|F)=\frac{EF\ \text{所含样本点个数}}{F\ \text{所含样本点个数}}=\frac{|EF|}{|F|}. \]

证明记 \(m=|EF|\le k\)。由等可能性，\(P(EF)=m/N\)，\(P(F)=k/N\)。按面积比的观点， \[ P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}=\frac{m/N}{k/N}=\frac{m}{k}, \] 这正是「先裁剪到 \(F\)、再数点计数」的缩减样本空间算法：\(N\) 在分子与分母中同时约去，说明两种算法天然一致。∎

换个说法：条件化把 \(F\) 之外样本点的概率清零，再把 \(F\) 内各点按同比例放大，使总和恢复为 \(1\)（见表 1）。因此 \(P(E|F)\) 完全可能大于、等于或小于原来的 \(P(E)\)，三种情形分别对应「利好信息」「无关信息」与「利空信息」。下一个例子展示「无关」的情形。

例 2　信息也可能毫无用处：抽牌

从一副 \(52\) 张的标准扑克牌中随机抽一张。设 \(E\)＝「抽到人头牌（J、Q、K）」，\(F\)＝「抽到红桃」。(a) 求 \(P(E)\)；(b) 已知抽到红桃，求 \(P(E|F)\)。

解(a) \(52\) 张牌中人头牌共 \(12\) 张，故 \(P(E)=12/52=3/13\)。(b) 红桃共 \(13\) 张，其中人头牌 J、Q、K 恰有 \(3\) 张，由命题 1， \[ P(E|F)=\frac{3}{13}. \] 这与 (a) 的结果相同：知道花色，对判断「是否人头牌」毫无帮助。像这种信息不改变概率的情形，正是 3.4 节将要定义的独立性(independence)：\(E\) 与 \(F\) 独立，当且仅当 \(P(E|F)=P(E)\)。对照例 1：那里信息把概率从 \(1/2\) 上调到 \(2/3\)，说明「偶数」与「点数 ≥ 4」不独立。

注记　三个常见误区

(1) 条件概率并不改变物理世界——骰子没有被换掉，牌也没有被做记号，改变的是我们的知识状态；同一颗骰子可以有许多个条件概率，视所获信息而定。(2) 方向不可颠倒：\(P(E|F)\) 与 \(P(F|E)\) 一般不同。以例 2 为例，「已知红桃求人头牌」得 \(P(E|F)=3/13\)，而「已知人头牌求红桃」得 \(P(F|E)=3/12=1/4\)——已知的信息不同，裁剪出的世界也不同。混淆两个方向，正是「体检阳性却大概率健康」这类经典悖论的根源，3.3 节的贝叶斯公式将正面处理这个「掉头」问题。(3) 条件信息必须与试验相容：若 \(P(F)=0\)（如「骰子掷出 7 点」），谈论 \(P(E|F)\) 便没有意义，这也是 3.2 节要求 \(P(F)>0\) 的原因。

4. 本章路线图

条件概率一旦就位，本章其余工具便顺流而下：先「正向」——用乘法规则(multiplication rule)把条件概率串成复杂交事件的概率；再「合成与回溯」——全概率公式(formula of total probability)把结果按原因分解求和，贝叶斯公式(Bayes's formula)反其道而行，由结果推断原因；最后考察「信息无用」的极端情形——独立性，它能把大量乘法化为幂的运算。先看一个「由果溯因」的预热例子。

例 3　由果溯因的预热：出险的驾驶员是谁

某车队中新手占 \(20\%\)，年出险率为 \(0.10\)；有经验者占 \(80\%\)，年出险率为 \(0.05\)。随机调查一名本年已出险的驾驶员，他是新手的概率是多少？

解借助「每 \(1000\) 人」的频率来想：新手 \(200\) 人，出险 \(200\times 0.10=20\) 人；有经验者 \(800\) 人，出险 \(800\times 0.05=40\) 人；全队出险共 \(20+40=60\) 人。「已出险」这一信息把样本空间裁剪到这 \(60\) 人，其中新手 \(20\) 人，故所求概率为 \[ \frac{20}{60}=\frac{1}{3}. \] 注意方向的反转：已知的是结果（出险），所求是原因（驾驶风格），而且 \(1/3\) 已不同于新手的先验比例 \(20\%\)——出险这条「利空证据」把「他是新手」的概率从 \(0.2\) 上调到了 \(0.333\ldots\)。这类「由果溯因」的计算，将在 3.3 节由贝叶斯公式系统化，其中「试验前已知的比例」称为先验概率(prior probability)，「证据到来后的修正值」称为后验概率(posterior probability)。

图 2：本章知识地图。条件概率（3.2）经乘法规则通向全概率公式与贝叶斯公式（3.3），终点是刻画「信息无增益」的独立性（3.4）；3.5 节验证 P(·|F) 仍满足第 2 章的全部公理——整章立于公理体系之上。

各节要点如下：

3.2 条件概率：正式定义 \(P(E|F)=P(EF)/P(F)\)（要求 \(P(F)>0\)）、基本性质，以及乘法规则及其向 \(n\) 个事件的推广；
3.3 贝叶斯公式：划分、全概率公式与贝叶斯公式，先验到后验的更新，以及「由果溯因」的经典应用；
3.4 独立事件：独立性的定义与等价刻画、「独立 ≠ 互斥」的辨析、独立试验序列；
3.5　P(·|F) 是一个概率：逐一验证条件概率满足三条公理，使第 2 章的所有命题在「条件世界」中继续成立。

一句话概括本章：信息到来，世界被裁剪，概率被重新分配。本章要做的，就是把这句话变成一套可以严格计算、处处合乎公理的规则。

5. 本节小结

要点回顾

条件概率 \(P(E|F)\) 度量「已知 \(F\) 发生」后 \(E\) 的概率，是概率论中最重要的概念之一；本章全部内容由它展开。
等可能模型中的两种等价算法：缩减样本空间（\( |EF|/|F| \)）与面积比（\(P(EF)/P(F)\)），本质都是按 \(F\) 重新归一化（命题 1）。
核心引例：已知掷出偶数，「点数 ≥ 4」的概率由 \(1/2\) 修正为 \(2/3\)；而「红桃」信息不改变「人头牌」的概率（\(3/13\)），预告了独立性。
\(P(E|F)\) 可以大于、等于或小于 \(P(E)\)；且 \(P(E|F)\ne P(F|E)\)，条件方向不可混淆。
本章路线：条件概率 → 乘法规则 → 全概率公式与贝叶斯公式 → 独立性；3.5 节保证「条件世界」仍满足第 2 章的公理。

练习

练习 3-1-1

掷一颗均匀骰子，已知掷出的点数大于 3，求「点数为 6」的概率；并与试验前的概率比较，说明这条信息的作用方向。

答案与提示

信息把样本空间裁剪为 \(F=\{4,5,6\}\)，三点在新空间中仍等可能，其中「6」占一点，故 \(P(\text{6}\,|\,F)=1/3\)。它大于试验前的 \(1/6\)：「点数大于 3」是利好信息，把概率上调。若改为「已知点数小于 3」，则新样本空间为 \(\{1,2\}\)，所求概率为 \(0\)——6 已随信息出局，可见信息既可上调、也可下调甚至「清零」目标事件的概率。

练习 3-1-2

从一副 52 张的标准扑克牌中随机抽一张，设 \(A\)＝「抽到黑桃」，\(B\)＝「抽到 A（尖）」。(a) 已知抽到黑桃，求恰是 A 的概率；(b) 已知抽到 A，求恰是黑桃的概率；(c) 两者为何不相等？

答案与提示

练习 3-1-3

某车间两台机器：甲的产量占 60%、次品率 2%；乙占 40%、次品率 5%。随机抽出一件产品发现是次品，求它出自甲机器的概率，并与甲的产量占比比较。

答案与提示

按「每 1000 件」考虑：甲 600 件中次品 \(600\times 0.02=12\) 件；乙 400 件中次品 \(400\times 0.05=20\) 件；次品共 32 件。「是次品」把样本空间裁剪到这 32 件，其中甲占 12 件，故所求概率为 \(12/32=3/8=0.375\)，低于先验占比 60%——乙的次品率更高，次品更可能出自乙。这种「由结果反推来源」的算法将在 3.3 节由贝叶斯公式给出一般形式。