2.1 变化与变换 · 控制论：从机器到心智

本节系统奠定控制论的形式代数基础。从作为经验科学原初经验的“差异”概念出发，论述时间与状态离散化约定的理论优势；严格定义操作数、算子、变换结果与变换的集合封闭性；阐明变换的两行表格表示、转移矩阵表示以及代数幂与复合算子的运算律；引入运动学有向图拓扑，系统刻画代表点轨道的相空间流线、不动点平衡态、周期循环及吸引流域的分解定理。全部形式体系构成了后续“决定性机器”与复杂动态系统理论的公理起点。

2.1.1 差异与离散状态约定

在《控制论导论》第二章中，W. Ross Ashby 将整门控制论学科的认识论根基确立于一个最朴素、最基本的数学与感知范畴——“差异”（difference）（Ashby, 1956, S.2/1）。在经验世界中，差异以两种不可分割的形态呈现：其一是空间或对象间的并置差异，即两个实体呈现出可被经验观测明确辨识的相异特征；其二是时间维度的历时演化差异，即同一个实体在经历时间流逝之后呈现出不同状态。无论是有机体的代谢发育、天体的轨道摄动，抑或自动化仪表的机械运转，其动力学本质皆表现为系统在可分辨状态空间中由某一状态转移至另一状态。因此，科学研究的首要任务并非急于寻求因果关系的形而上学本质，而是建立一套能够严格、完备地描述“状态演进”的形式语言。

在此形式体系中，Ashby 确立了一项贯穿全书的方法论约定：将状态与时间的演化优先假定为离散的有限步进（discrete finite steps）。在 Wiener（1948）的经典控制论体系中，分析工具以连续时间随机过程、测度论与积分方程为主；而 Ashby 则另辟蹊径，从离散状态与离散时间切入。这一选择具有深刻的理论与认识论依据：

判定逻辑的严密性与简单性：在离散有限集合之上，系统的一切核心动力学性质（如状态转移、单值性、封闭性、平衡与循环）均可通过有限代数运算与组合图论方法进行严格判定，完全规避了连续动力系统在拓扑极限、奇异积分与微分流形边界处易滋生的分析病态；
公理逼近的普遍性：在现代分析数学中，对连续现象的微积分刻画本身即建立在离散差分向极限过渡的严格基础之上；建立在离散状态空间上的代数结论，随时可通过缩小步长与取极限平滑过渡至连续微分方程系统，因而并不会损失理论的一般性；
自动机与信息论的内在统一：离散状态表示与 20 世纪中叶兴起的现代数理逻辑具有同构的理论渊源——从 Turing（1936）基于离散读写带与有限状态集构建的通用图灵机，到 McCulloch 与 Pitts（1943）关于阈值开关形式神经元的命题演算，均证明离散状态转换是刻画智能行为与计算机制最具表现力的数学媒介。

为了形式化一个最基本的状态变化单元，必须明确界定以下三项核心要素（Ashby, 1956, S.2/2）：

操作数(operand)：接受作用、发生转变的初始状态实体；
算子(operator)：引起或支配状态发生转移的具体作用规律或物理中介；
变换结果(transform)：操作数经由算子作用之后所呈现的新状态，通常记作 \(x'\) 或 \(T(x)\)。

单个状态转移仅仅描述了一次局部的动态事件。控制论所要研究的核心对象，是算子作用于一个确定的状态集合时，对该集合中全部操作数所引发的整体转移映射——即变换。

2.1.2 变换与封闭性

定义 2.1

变换(transformation)：设 \(S\) 为确定的系统状态集合。变换 \(T\) 为定义在 \(S\) 上的一个确定性规则，它为 \(S\) 中的每一个元素 \(x\) 指定唯一的后继状态 \(T(x)\)。

封闭性(closure)：若对集合 \(S\) 中的任意元素 \(x \in S\)，其变换结果均满足 \(T(x) \in S\)，则称变换 \(T\) 在状态集合 \(S\) 上是封闭的(closed)。封闭性是变换算子 \(T\) 与状态集合 \(S\) 之间构成的二元关系，而非算子单独固有的属性。

\[ T:\ S \to S,\qquad x \mapsto T(x),\quad \forall x \in S \]

(2.1-1) \(S\) 为系统可能状态的全体（操作数集合）；\(T(x)\) 为状态 \(x\) 经一次步进后的变换结果，亦简记为 \(x'\)。

上述定义包含着深刻的控制论认识论原则：对变换的刻画完全取决于“各操作数映射到何种变换结果”的功能行为，而完全独立于系统的底层物理材料或因果起源（Ashby, 1956, S.2/3）。以机械钟表为例，钟表指针在表盘上的角位置构成了操作数集合，每过一个标准时间单位，指针状态遵循转移规则 \(n' = (n + k) \pmod{12}\)；然而对于实现该转移的物理算子——无论是重锤引力、发条势能、齿轮刚度、润滑油黏滞阻力抑或石英晶体震荡——在算子物理层面上具有无限繁杂且无严格界限的微观细节。控制论的威力恰恰在于将这些复杂的物质细节剥离，直接聚焦于完全确定的代数变换 \(T\)。

在有限状态集合上，变换最直观的表示为标准两行表（two-row matrix notation）：上行罗列全部操作数，下行对位罗列对应的变换结果。表 2.1-1 给出了定义在五状态集合 \(S = \{A, B, C, D, E\}\) 上的变换 \(U\)。

↓	A	B	C	D	E
U	D	A	E	D	D

表 2.1-1　变换 U 的标准两行表表示：上行为状态集合中的全部操作数，下行为对应的变换结果（参见 Ashby, 1956, S.2/17）。

封闭性的验证极为直接：检验两行表中下行出现的全部变换结果是否均完全包含在上行操作数集合中。在表 2.1-1 中，下行元素集合 \(\{A, D, E\} \subseteq \{A, B, C, D, E\}\)，因而变换 \(U\) 在 \(S\) 上严格封闭。

警示

封闭性具有相对性，必须依附于明确声明的状态集合。考察算术规则 \(n' = n + 3\)：若取集合 \(S_1 = \{1, 2, 3, 4\}\)，则变换结果为 \(\{4, 5, 6, 7\}\)，其中元素 5、6、7 均超出 \(S_1\) 边界，故该变换在 \(S_1\) 上不封闭；然而若在全体正整数集合 \(\mathbb{Z}^+\) 或全体实数集 \(\mathbb{R}\) 上考察，该规则则是严格封闭的。脱离明确指定的操作数空间，断言某个算子“是否封闭”在数学上是无意义的。

为什么控制论对变换的“封闭性”提出如此严苛的要求？其深层机理在于系统在时间轴上的持续自主演化。一个现实动态系统在启动之后，必须能够在不受外部干预的情况下自主运行下去；在数学上，这对应于变换算子可以被无限次无障碍地迭代施用（iterated application）。若变换不满足封闭性，系统在有限步之后必然会转移至未定义区域，导致后续迭代立即终止。Ashby 形象地将其比喻为“一台仅运行了一步便彻底卡死的机器”（Ashby, 1956, S.2/12）。因此，封闭性构成了后续定义“决定性机器”的先决数学条件。

在代数拓扑与函数映射分类中，变换呈现以下典型类型：

恒同变换(identity transformation)：对所有 \(x \in S\) 均有 \(T(x) = x\)，记作 \(I\)；系统在微观层面不发生任何位移；
单值变换(single-valued transformation)：每个操作数存在且仅存在唯一的变换结果；这是宏观决定性系统的代数基石；
一对一变换(one-one transformation / bijective mapping)：单值且不同操作数映射为互不相同的变换结果，系统具有完全的时间可逆性，相体积（状态多样性）守恒；
多对一变换(many-one transformation)：存在两个或以上不同操作数映射至同一变换结果（例如表 2.1-1 中 \(U(A)=U(D)=U(E)=D\)），系统呈现出信息收缩与耗散动态（dissipative dynamics）。

除两行表外，有限变换亦可完全等价地表示为布尔转移矩阵（0/+ 矩阵或状态邻接矩阵）。设状态集有 \(n\) 个元素，定义矩阵 \(M \in \{0, 1\}^{n \times n}\)，以列表示操作数、以行表示变换结果：若状态 \(s_j\) 在变换下转移为 \(s_i\)，则矩阵元 \(M_{ij} = 1\)（记为 +），其余位置填 0。表 2.1-2 给出了变换 \(U\) 的矩阵形式。

↓	A	B	C	D	E
A	0	+	0	0	0
B	0	0	0	0	0
C	0	0	0	0	0
D	+	0	0	+	+
E	0	0	+	0	0

表 2.1-2　变换 U 的 0/+ 状态转移矩阵表示：列为操作数，行为可能的变换结果。每列恰有一个“+”反映了变换的单值性；全零行（如 B 与 C 行）表明该状态为不可达暂态。

在矩阵表示下，动力学特性的检验被转化为直观的线性代数性质：变换的单值性充要于矩阵的每一列恰好包含一个非零元；封闭性充要于矩阵的行集与列集完全对齐；而多对一变换的耗散性则直观地表现为矩阵中存在全零行（如 B 行与 C 行，意味着没有任何状态能转移至 B 或 C）。

2.1.3 算子的代数幂与复合

现实机器的运转并非静止的一瞬，而是在离散时钟驱动下的一连串相继迭代。当一个封闭变换 \(T\) 被连续反复施用于系统状态时，产生的是变换的迭代序列，在代数上称为变换的幂(power)。在物理层面，算子的 \(k\) 次幂 \(T^k\) 精确对应于系统在经历 \(k\) 个单位时间间隔之后的宏观状态映射（Ashby, 1956, S.3/4）。

\[ T^{1} = T,\qquad T^{k+1}(x) = T\bigl(T^{k}(x)\bigr),\quad k \in \mathbb{Z}^+ \]

(2.1-2) \(T^k\) 表示将封闭单值变换 \(T\) 连续施行 \(k\) 次所得的合成变换；若 \(T\) 在 \(S\) 上封闭，则对任意 \(k \ge 1\)，\(T^k\) 亦必在 \(S\) 上封闭。

对于以代数方程形式给出的系统，其高次幂的解析解可通过逐次代换与中间变量消去法获得。例如，设标量系统的单步递推方程为 \(n' = T(n) = 2n - 3\)。对其施行连续两次演化，有 \(n'' = T(n') = 2n' - 3\)；代入 \(n'\) 的表达式，可直接消去中间变量：

\[ n'' = 2(2n-3)-3 = 4n-9,\qquad n''' = 2(4n-9)-3 = 8n-21 \]

(2.1-3) 对仿射递推关系的逐次迭代：变换的二次幂为 \(T^2(m) = 4m - 9\)，三次幂为 \(T^3(m) = 8m - 21\)。

数学归纳法可直接导出通项显式公式：对于一阶仿射系统 \(x' = ax + b\)，其 \(k\) 次幂算子显式满足：

\[ T^k(x) = a^k x + b \sum_{j=0}^{k-1} a^j = \begin{cases} a^k x + b\,\dfrac{a^k - 1}{a - 1}, & a \neq 1 \\[8pt] x + kb, & a = 1 \end{cases} \]

(2.1-4) 一阶线性离散系统幂运算的闭式代数解。对于 \(a=2, b=-3\)，\(T^k(x) = 2^k x - 3(2^k - 1) = 2^k(x - 3) + 3\)。

注记

从闭式解 \(T^k(x) = 2^k(x - 3) + 3\) 可以立刻透视系统的深层动力学：当初始状态 \(x = 3\) 时，对任意 \(k\) 均有 \(T^k(3) = 3\)，点 \(x^* = 3\) 即为系统的代数不动点（平衡态）；而对任意 \(x \neq 3\)，由于系数 \(2^k \to \infty\)（当 \(k \to \infty\)），状态轨道将呈指数级单调发散。算子的幂运算直接连接了单步局部规则与长程全局渐近行为。

进一步，考察两个作用于同一状态集合的不同封闭变换 \(T\) 与 \(U\)。若系统先经历变换 \(T\)，紧接着在其产物上经历变换 \(U\)，则二者的序贯联结定义了一个新的单步变换，称为两个算子的乘积(product)或复合(composition)，记作 \(UT\)：

\[ (UT)(x) \triangleq U\bigl(T(x)\bigr),\quad \forall x \in S \]

(2.1-5) 复合算子记法严格遵循从右向左的应用次序：先施行右侧算子 \(T\)，再对中间结果施行左侧算子 \(U\)。

在抽象代数结构上，封闭变换的复合运算严格满足结合律，即 \((WU)T = W(UT)\)；然而，算子的复合一般不满足交换律，即在绝大多数动力系统中：

\[ UT \neq TU \]

(2.1-6) 算子不可交换性：相继作用的物理时序不可倒转，操作顺序的改变通常导致完全相异的系统行为。

算子乘积不可交换的数学本质，将在 2.3 节与 2.4 节展现其关键控制论意涵：机器系统的物理耦合与因果网络，本质上是由不同子系统算子复合交织而成的代数网络；系统的拓扑排列次序直接决定了闭环动力学的生死存亡。

2.1.4 运动学图与相空间拓扑

前述代数工具考察的是算子对整个状态集合的瞬时映射。现在进行理论视角的关键切换：固定某一个确定的初始状态 \(x_0\)，跟踪系统随时间流逝而在状态空间中依次穿行的长程离散轨迹。对于有限状态集合上的封闭变换，这种全局相空间拓扑结构最直观的表示方法为 Ashby 引入的运动学图(kinematic graph)（Ashby, 1956, S.2/17；图论形式参见 König, 1936）。

运动学图被严格定义为一个有向图 \(G = (V, E)\)：

顶点集 \(V = S\)：系统的每一个离散状态对应图中的一个独立节点；
有向边集 \(E\)：当且仅当系统存在从状态 \(x\) 到状态 \(y\) 的单步转移（即 \(T(x) = y\)）时，绘制一条由 \(x\) 指向 \(y\) 的有向边 \(x \to y\)。

由于变换 \(T\) 具有单值性与封闭性，在运动学图的拓扑构造中，每个节点存在且仅存在一条离开该节点的出边（out-degree 恒等于 1）。一个在时间步进下沿有向边持续移动的抽象几何点称为代表点(representative point)。代表点在相空间中有向穿行的相继节点序列，定义了系统的轨道(trajectory)或行为线。

图 2.1-1　五状态封闭单值变换 U（表 2.1-1）对应的运动学有向图。节点 D 拥有自返有向环，为全局渐近稳定的单点平衡态；节点 A、B、C、E 为非周期的瞬态（暂态）节点，系统从任意初始状态出发均汇聚收敛至 D。

图 2.1-1 直观揭示了有限封闭单值映射的核心拓扑元素：

平衡态(equilibrium state)：满足 \(T(x^*) = x^*\) 的状态节点，在图上表现为一个自返有向环（长度为 1 的自环），代表点一旦抵达便永久驻留（正式动力学定义见 Ashby, 1956, S.5/3）；
循环(cycle)：由 \(p \ge 2\) 个互不相同的状态构成的封闭有向环路 \(c_1 \to c_2 \to \cdots \to c_p \to c_1\)，代表点将在其中周而复始地周期性循环；
暂态(transient state)：不属于任何平衡态或循环的非自返节点，代表点在有限步演化后将永远离去，不再重访。

在此引出有限动力系统的一条基本收敛定理：在任意有限状态集合 \(S\) 上的封闭单值变换中，从任意初始状态出发的系统轨道，其长期最终归宿必为且仅能为一个平衡态或一个周期循环。其严格证明依赖组合数学中的鸽笼原理（Pigeonhole Principle）：由于状态总数 \(|S| = n < \infty\)，在序列 \(x_0, T(x_0), T^2(x_0), \ldots, T^n(x_0)\) 这 \(n+1\) 个状态中，必存在两个时刻 \(t_1 < t_2 \le n\) 使得 \(T^{t_1}(x_0) = T^{t_2}(x_0)\)；由于变换单值，后续轨迹必以周期 \(p = t_2 - t_1\) 重复出现（详见习题 2.1-4）。

表 2.1-3 罗联了一个更为丰富的十六状态封闭变换 \(T\)，图 2.1-2 给出了其完整的相空间运动学拓扑。

↓	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	P	Q
T	D	H	D	I	Q	G	Q	H	A	E	E	N	B	A	N	E

表 2.1-3　十六状态封闭单值变换 T 的两行表规范表示（依据 Ashby, 1956, S.2/17；状态字母表依原文略去易混淆的 O）。

图 2.1-2　十六状态变换 T（表 2.1-3）的运动学图拓扑。整个相空间被正交划分为三个互不相交的吸引流域：流域一（含六个状态，最终汇聚于三态循环 \(A \to D \to I \to A\)）、流域二（含三个状态，汇聚于孤立平衡态 H）、流域三（含七个状态，汇聚于二态循环 \(E \leftrightarrow Q\)）。虚线框明确界定了各流域的吸引范围边界。

在图 2.1-2 中，整个状态空间展现出清晰的拓扑不相交分解：

定义 2.2

吸引域 / 流域(basin of attraction)：设 \(C\) 为动力系统中的一个吸引子（平衡态或周期循环）。所有正向轨道最终汇入 \(C\) 的状态集合，称为吸引子 \(C\) 的流域，记作 \(B(C)\)：

\[ B(C) \triangleq \left\{ x \in S \;\middle|\; \exists k \ge 0,\ T^k(x) \in C \right\} \]

由于单值变换中每个节点出度严格为 1，任意状态 \(x\) 的向前轨道具有唯一性，因而不可能同时汇入两个不同的极限环或平衡态。由此导出基本定理：吸引流域构成整个状态空间 \(S\) 的一个等价划分（partition），即：

\[ S = \bigcup_{m} B(C_m),\qquad B(C_i) \cap B(C_j) = \varnothing \quad (i \neq j) \]

(2.1-7) 相空间按吸引流域的直和分解定理；系统的长期命运完全由初始状态落入哪一个流域所决定。

注记

时间采样步长对相空间拓扑的影响：当我们将观测的基准步长由单步替换为 \(k\) 步时，系统算子变为 \(T^k\)。原系统的平衡态在 \(T^k\) 下仍然是平衡态；然而原系统中的周期循环可能发生拓扑分裂。例如，图 2.1-2 中的二态循环 \(E \leftrightarrow Q\)（周期 2）在算子 \(T^2\) 下分裂为两个独立的不动点平衡态：\(T^2(E)=E\)，\(T^2(Q)=Q\)；原流域三也随之分裂为两个独立的子吸引流域。这一事实提醒我们：动态系统的相空间拓扑特征与观察者选定的时间离散化采样率密切相关。

运动学图确立了决定性机器在离散拓扑层面的骨架。然而，真实世界中的机器往往由多个相互交织的变量协同规定（如机械臂的多个关节角、电路中的各节点电位）。如何将复合状态紧凑地组织为向量形式，并在代数表象下求解更复杂的系统行为？这正是 2.2 节“决定性机器”的核心议题。

习题 2.1-1

（变换封闭性判据，改编自 Ashby, 1956, 练习 2/4 与 2/4/3）

(1) 设操作数状态集合为 \(S = \{1, 2, 3, 4\}\)，作用规则为 \(n' = n + 3\)。请写出其标准两行表，并严格论证其在 \(S\) 上是否封闭；若不封闭，说明如何修改集合使其封闭。

(2) 判定下列定义在给定操作数集合上的变换是否封闭，并说明理由：

(i) 操作数集合为 \(\{a, b, c, d\}\)，各元素对应的变换结果均为 \(a\)；
(ii) 操作数集合为 \(\{f, g, p, q\}\)，映射关系为 \(f \mapsto g,\ g \mapsto f,\ p \mapsto q,\ q \mapsto p\)；
(iii) 操作数集合为 \(\{f, g, p\}\)，映射关系为 \(f \mapsto g,\ g \mapsto f,\ p \mapsto q\)。

参考解答

(1) 规则 \(n' = n + 3\) 在 \(S = \{1, 2, 3, 4\}\) 上的两行表为：

↓	1	2	3	4
n'	4	5	6	7

该变换结果集合为 \(\{4, 5, 6, 7\}\)。由于元素 \(5, 6, 7 \notin S\)，变换结果不完全落在初始状态集合内，因此该变换在 \(S\) 上不封闭。若要使其封闭，可将状态空间扩展为全体正整数集合 \(\mathbb{Z}^+\) 或全体模 4 剩余类群 \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)（在模运算下 \(n' = (n+3) \pmod 4\) 封闭）。

(2) 分项判定：

(i) 严格封闭。全部变换结果为 \(\{a\} \subseteq \{a, b, c, d\}\)。状态 \(a\) 满足 \(T(a)=a\)，为该系统的单点平衡态，其余状态经一步转移全部汇入 \(a\)；
(ii) 严格封闭。变换结果集合为 \(\{f, g, p, q\}\)，与原集合完全一致。且该变换为双射（一对一），在运动学图上由两个不相连的二态循环 \((f \leftrightarrow g)\) 与 \((p \leftrightarrow q)\) 构成；
(iii) 不封闭。操作数 \(p\) 的变换结果为 \(q\)，而元素 \(q \notin \{f, g, p\}\)。当系统处于状态 \(p\) 时，第二步演化 \(T(q)\) 在该集合上缺乏定义，迭代无法自主进行。

习题 2.1-2

（算子代数幂的推证题）

设一维实数连续轴上的离散时间演化算子定义为 \(T(n) = 2n - 3\)。

(1) 运用中间变量消去法，严格求出算子二次幂 \(T^2(n)\) 与三次幂 \(T^3(n)\) 的单步函数表达式；

(2) 运用数学归纳法，猜想并证明通用 \(k\) 次幂算子 \(T^k(n)\) 的闭式表达式；

(3) 设定初始操作数 \(n_0 = 4\)，分别通过逐步迭代计算 \(n_1 = T(n_0), n_2 = T(n_1), n_3 = T(n_2)\)，并将其数值与闭式公式的计算结果进行逐项核验。

参考解答

(1) 记 \(n' = T(n) = 2n - 3\)。对其进行二次迭代：

\(n'' = T(n') = 2n' - 3 = 2(2n - 3) - 3 = 4n - 6 - 3 = 4n - 9\)。故二次幂算子为 \(T^2(n) = 4n - 9\)。

进行三次迭代：\(n''' = T(n'') = 2n'' - 3 = 2(4n - 9) - 3 = 8n - 18 - 3 = 8n - 21\)。故三次幂算子为 \(T^3(n) = 8n - 21\)。

(2) 观察系数规律，猜想 \(T^k(n) = 2^k n - 3(2^k - 1) = 2^k(n - 3) + 3\)。用数学归纳法证明：

当 \(k = 1\) 时，\(T^1(n) = 2^1(n - 3) + 3 = 2n - 6 + 3 = 2n - 3\)，基础命题成立；
假设当 \(k = m\) 时命题成立，即 \(T^m(n) = 2^m(n - 3) + 3\)。则当 \(k = m + 1\) 时： \[ T^{m+1}(n) = T\bigl(T^m(n)\bigr) = 2\left[2^m(n - 3) + 3\right] - 3 = 2^{m+1}(n - 3) + 6 - 3 = 2^{m+1}(n - 3) + 3 \] 故对任意正整数 \(k \in \mathbb{Z}^+\)，通项闭式解均成立。

(3) 从 \(n_0 = 4\) 出发逐步计算：

\(n_1 = T(4) = 2 \times 4 - 3 = 5\)；公式验证：\(T^1(4) = 2^1(4 - 3) + 3 = 5\)，完全吻合；
\(n_2 = T(5) = 2 \times 5 - 3 = 7\)；公式验证：\(T^2(4) = 2^2(4 - 3) + 3 = 4 + 3 = 7\)，完全吻合；
\(n_3 = T(7) = 2 \times 7 - 3 = 11\)；公式验证：\(T^3(4) = 2^3(4 - 3) + 3 = 8 + 3 = 11\)，完全吻合。

习题 2.1-3

（算子复合及其非交换性，源自 Ashby, 1956, S.2/16）

设两个变换 \(T\) 与 \(U\) 均封闭作用于状态集合 \(S = \{a, b, c, d\}\)，其两行表定义如下：

↓	a	b	c	d
T	b	d	a	b
U	d	c	d	b

(1) 逐项演算求出复合变换 \(UT\) 的两行表；

(2) 逐项演算求出逆序复合变换 \(TU\) 的两行表；

(3) 找出至少一个状态 \(x \in S\) 使得 \(UT(x) \neq TU(x)\)，并由此严格论证变换复合运算在一般情况下不可交换。

参考解答

(1) 依据复合定义 \((UT)(x) = U\bigl(T(x)\bigr)\)，逐元素计算：

\((UT)(a) = U(T(a)) = U(b) = c\)；
\((UT)(b) = U(T(b)) = U(d) = b\)；
\((UT)(c) = U(T(c)) = U(a) = d\)；
\((UT)(d) = U(T(d)) = U(b) = c\)。

因此 \(UT\) 的两行表为：

↓	a	b	c	d
UT	c	b	d	c

(2) 依据复合定义 \((TU)(x) = T\bigl(U(x)\bigr)\)，逐元素计算：

\((TU)(a) = T(U(a)) = T(d) = b\)；
\((TU)(b) = T(U(b)) = T(c) = a\)；
\((TU)(c) = T(U(c)) = T(d) = b\)；
\((TU)(d) = T(U(d)) = T(b) = d\)。

因此 \(TU\) 的两行表为：

↓	a	b	c	d
TU	b	a	b	d

(3) 对比两表，对于集合 \(S\) 中的全部四个元素，均有：

\(UT(a) = c \neq b = TU(a)\)；
\(UT(b) = b \neq a = TU(b)\)；
\(UT(c) = d \neq b = TU(c)\)；
\(UT(d) = c \neq d = TU(d)\)。

因此，在该状态空间上，\(UT(x)\) 与 \(TU(x)\) 对每一个状态均给出截然相异的结果。这无可辩驳地证明了：变换复合运算一般不满足交换律，算子的施加时序对最终系统的动态轨迹具有决定性影响。

习题 2.1-4

（相空间极限环存在性定理的推证题）

试证明如下基本定理：设 \(S\) 为任意非空有限状态集合（记元素个数为 \(|S| = n\)），\(T: S \to S\) 为定义在 \(S\) 上的任意封闭单值变换。则从任意初始状态 \(x_0 \in S\) 出发的轨道 \(x_0, x_1, x_2, \ldots\)（其中 \(x_{t+1} = T(x_t)\)）必在有限步内进入一个周期重复轨道，从而该轨道的极限集合必然要么是一个孤立的代数平衡态（不动点），要么是一个周期循环。

参考解答

证明：考察从初始状态 \(x_0\) 出发生成的前 \(n+1\) 个状态序列：

\[ x_0,\ x_1 = T(x_0),\ x_2 = T^2(x_0),\ \ldots,\ x_n = T^n(x_0) \]

该序列共包含 \(n+1\) 个状态元素。然而，依据定理前提，系统的状态空间 \(S\) 为有限集合，且至多包含 \(n\) 个互不相同的状态（\(|S| = n\)）。依据狄利克雷抽屉原理（鸽笼原理），在这 \(n+1\) 个状态元素中，至少存在一对指标 \(i, j\) 满足 \(0 \le i < j \le n\)，使得两时刻的状态严格相等：

\[ x_i = x_j \]

我们在所有发生状态重复的数对中，选取使首次出现重复时刻 \(j\) 最小的那一对指标。此时，状态子序列 \(x_0, x_1, \ldots, x_{j-1}\) 中所有元素互不相同。

定义正整数 \(p = j - i \ge 1\)。由于变换 \(T\) 严格满足单值性（即对于任意确定的操作数输入，输出后继唯一确定），利用数学归纳法可知：对于任意非负整数时间步 \(t \ge 0\)，均有：

\[ x_{j+t} = T^t(x_j) = T^t(x_i) = x_{i+t} \]

这表明，从时刻 \(t = i\) 开始，状态序列将以 \(p\) 为最小正周期进行无休止的严格周期性重复：

若最小周期 \(p = 1\)，则意味着 \(x_{i+1} = T(x_i) = x_i\)。依据平衡态定义，状态 \(x_i\) 即为变换 \(T\) 的一个不动点（平衡态），代表点自时刻 \(i\) 起永久停驻于此；
若最小周期 \(p > 1\)，则序列中的 \(p\) 个状态 \(C = \{x_i, x_{i+1}, \ldots, x_{i+p-1}\}\) 彼此互不相同，并在运动学图上有向首尾相接，构成一个长度为 \(p\) 的周期循环（极限环）。

由此证明：有限状态封闭单值系统的任意轨道，必在不超过 \(n\) 步的暂态过渡之后，收敛进入一个平衡态或周期循环。证毕。

关键术语

变换 (transformation): 定义在状态空间上的单值确定性映射规则，为每个操作数指定唯一的后继状态；系统动态机制的代数形式化表示。
操作数 (operand): 接受算子作用的初始状态实体，即单步状态转移的出发点。
算子 (operator): 引起状态转移的作用机制或规律；控制论强调算子的外在行为映射而非内在物理实体。
变换结果 (transform): 操作数经由算子单步作用之后所产生的新状态，记作 \(T(x)\) 或 \(x'\)。
封闭性 (closure): 所有操作数的变换结果仍严格落在原操作数集合内部的性质；系统实现无障碍无限迭代自主运行的充要条件。
单值性 (single-valued): 每个操作数存在且仅存在一个确定变换结果的性质；宏观决定性系统的代数基石。
恒同变换 (identity transformation): 所有操作数映射为其自身的变换，\(T(x) = x\)，系统相空间不发生几何位移。
算子的幂 (power of transformation): \(T^k\)：将封闭变换连续施行 \(k\) 次所得的合成变换，表征系统在经历 \(k\) 个离散时钟步长后的宏观状态。
乘积 / 复合 (product / composition): \(UT\)：序贯施行算子 \(T\) 与 \(U\) 所得的新变换；复合运算满足结合律，但通常不满足交换律。
运动学图 (kinematic graph): 以状态为节点、单步转移为有向边的拓扑有向图；每个节点出度恒等于 1，全局刻画系统动力学拓扑。
代表点 (representative point): 在相空间与运动学图上随系统演化沿有向边离散移动的几何点，其穿行路径描绘出系统轨道。
吸引流域 (basin of attraction): 正向轨道最终汇入同一极限吸引子（平衡态或周期循环）的全体初始状态集合；流域构成状态空间的无交划分。

参考文献与延伸阅读

Ashby WR. 1956. An Introduction to Cybernetics. London: Chapman & Hall / New York: John Wiley & Sons. [尤其是第2章：Change, Transformation, Kinematic Graph].
Ashby WR. 1952. Design for a Brain. London: Chapman & Hall.
Wiener N. 1948. Cybernetics, or Control and Communication in the Animal and the Machine. Cambridge: Technology Press / New York: John Wiley & Sons.
McCulloch WS, Pitts W. 1943. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics 5:115–133.
Turing AM. 1936. On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society s2-42:230–265.
König D. 1936. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft.

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