2.2.1 定义：行为与封闭单值变换的等同
在 2.1 节中，我们建立了操作数、变换结果、单值映射与代数封闭性等形式工具。本节将这些代数范畴直接赋予动力学内涵：在纯粹的数学变换性质与现实世界中的工程机械、物理过程及生命活动之间，确立严格的公理化对应（Ashby, 1956, S.3/1）。控制论由此给出了其关于机械机制的经典定义：
决定性机器(determinate machine)：指其在时间演进中的行为方式与某个定义在状态空间上的封闭(closed)且单值(single-valued)的代数变换严格等价的系统。
该定义的核心在于：决定性机器是对系统行为特征的形式刻画，而非对物质构成的实物描述（Ashby, 1956, S.3/1）。这一立场与 Rosenblueth、Wiener 和 Bigelow（1943）在奠基性论文《行为、目的与目的论》中倡导的行为主义功能分析进路完全契合。
为了理解这一定义的物理实在性，考察一个经典的多体振荡力学系统：在一刚性矩形基座内部，通过三组无阻尼线性轻弹簧将两枚惯性重球 \(A\) 与 \(B\) 串联固定于刚性侧壁之间（图 2.2-1 左）。在外部环境温度与介质阻力保持恒定的基准条件下，若将重球 \(A\) 和 \(B\) 分别拉移至确定的几何坐标并同时自静止释放，系统将以完全确定的力学规律沿空间中的同一路径往复运动。在相同初始条件下重复该实验，系统每次均精确经历相同的相继位移序列。
在控制论中，所谓系统的状态(state)，是指关于系统物理属性或表征条件的一组界定明确、且在再次出现时能够被无歧义地重复辨识的完整规格。系统释放后，其状态随离散时间依次取值为 \(x_0, x_1, x_2, \ldots\)。各状态本身对应于代数变换的操作数，而相继演进的状态序列则构成了变换的迭代幂轨道。这一按时间顺序展开的状态序列，在控制论中称为系统的轨迹(trajectory)或行为线(line of behaviour)：
现在我们可以清晰洞见“单值性”与“封闭性”为何是决定性机器的不可或缺之支柱：
- 单值性的决定论意涵：若系统从给定的状态 \(x\) 出发，可能同时存在两个或更多转移候选（多值性），则意味着在当前状态之下，系统未来的发展是不确定的，其可预测性将彻底丧失。例如在受控实验中，培养皿内的细菌种群若每小时稳定翻倍，其数量演化服从单值变换 \(n' = 2n\)；若环境突变导致生长分裂无序发散，后继状态失去确定性，单值性随之破坏；
- 封闭性的自持演化意涵：一台真正的物理机器在启动后，其运转必须能够不依赖外界临时补救而自主持续。这在数学上要求算子 \(T\) 可以升至任意高阶代数幂 \(T^k\)（\(k \to \infty\)）。若变换不封闭，系统在有限步之后（例如第五步）跳出初始状态空间 \(S\)，使得第六步的转移无从定义，则系统将陷入不可逆的预测中断（参见习题 2.2-1）。
习题 2.2-1
（封闭性对决定性机器的必要性分析，源自 Ashby, 1956, S.3/2）
设一离散系统的状态由字母集合 \(S = \{a, b, c, d, e, f, g\}\) 描述，单步演化算子 \(T\) 规定如下：
其中符号 \(m\) 并不属于原状态空间 \(S\)（即 \(m \notin S\)）。
(1) 从初始状态 \(x_0 = a\) 出发，逐次计算第 1 至第 5 步的系统状态；
(2) 解释为何第 6 步的演化结果 \(T^6(a)\) 在数学上缺乏定义；
(3) 结合本例，深入论证为什么任何用于表示自治决定性机器的代数变换都必须严格满足封闭性。
参考解答(1) 从 \(x_0 = a\) 出发逐次迭代：
- 第 1 步：\(x_1 = T(a) = e\)；
- 第 2 步：\(x_2 = T^2(a) = T(e) = g\)；
- 第 3 步：\(x_3 = T^3(a) = T(g) = f\)；
- 第 4 步：\(x_4 = T^4(a) = T(f) = c\)；
- 第 5 步：\(x_5 = T^5(a) = T(c) = m\)。
(2) 第 6 步演化要求计算 \(x_6 = T(x_5) = T(m)\)。然而根据题目设定，算子 \(T\) 的有效定义域仅仅为集合 \(S = \{a, b, c, d, e, f, g\}\)，而元素 \(m \notin S\)。因此 \(T(m)\) 在原系统代数规则中没有任何定义，导致 \(T^6(a)\) 无法求值。
(3) 一台自主的决定性机器在物理上的基本特征在于：在无外部干预的恒定条件下，系统能够沿着确定的时间轨迹无限期运转下去；在数学形式上，这要求算子 \(T\) 能够被升至任意次高阶代数幂 \(T^k\)（对任意正整数 \(k\) 均有定义）。若变换在状态空间 \(S\) 上不封闭，系统必然会在有限步内演化至未定义区域，使后续所有长程动力学行为彻底瘫痪、预测失效。因此，封闭性是构造任何自治决定性机器模型的绝对必要前提。
2.2.2 离散机器、函数表与规范表示
工程经验常常指出：许多现实物理机械的运行在宏观上是连续平滑的，而上述基于有限步跳跃的离散变换是否具有充分的代表性？控制论的回答基于两项坚实的方法论依据：
- 逻辑判定的确定性：离散代数体系具有严格的有限布尔属性，任意性质（如单值性、拓扑周期、平衡态）在离散系统中均可通过有限算法严格判定，排除了无穷小分析中潜在的测度论或奇异性歧义；
- 经验观测的离散本性：在一切真实的物理与生物测量中，仪器的采样记录本质上都是在离散的时间间隔（sampling intervals）上获取的离散读数。所谓“事件的绝对连续性”，在很大程度上是人类观测者借助微积分先验想象填补进去的理论插值。因此，将离散时间采样记录直接建模为离散状态变换，不仅在认识论上完全自洽，而且避免了无谓的分析假设（Ashby, 1956, S.3/3）。
当一个物质实体、生物体或计算构件的实际行为，与定义在其离散状态集合上的某个封闭单值变换建立起一一映射时，该变换即被称为该机器的规范表示(canonical representation)，我们称该物理系统“体现”（embodies）了这一变换规则。系统的每一个物理状态对应运动学图上的一个节点，自发演化轨迹对应一条连续的有向边链，而处于平衡静止的状态则对应自返环。
以一个经典的双硬币离散控制系统为例：设系统由两枚硬币组成，每枚硬币可呈现正面（H）或反面（T）两种构型，系统全局共有 \(2 \times 2 = 4\) 个复合状态。假定操纵者按固定规则翻转硬币，其行为服从表 2.2-1 所示的变换 \(N\)（Ashby, 1956, S.3/5）。
| ↓ | (H,H) | (H,T) | (T,H) | (T,T) |
|---|---|---|---|---|
| 变换结果 | (T,H) | (T,T) | (T,H) | (H,H) |
依据表 2.2-1，可以立即绘制出该系统的运动学图（图 2.2-2）。
设系统从初始构型 \((H,T)\) 出发，通过逐步查询规范函数表，可以直接追踪系统在各时间步的状态序列，如表 2.2-2 所示：
| 步序 \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 状态 \(x_t\) | (H,T) | (T,T) | (H,H) | (T,H) | (T,H) | (T,H) |
行为的非数值性：变换的状态无需局限于数值。以著名动物行为学家 Niko Tinbergen 对三刺鱼（three-spined stickleback）求偶本能链条的经典研究为例（Tinbergen, 1951；Ashby, 1956, S.3/1）：求偶行为表现为十个高度程序化的相继状态——“雄鱼出现 → 之字形舞 → 雌鱼求偶响应 → 雄鱼带路 → 雌鱼跟随 → 雄鱼示巢口 → 雌鱼入巢 → 雄鱼颤抖抚触 → 雌鱼产卵 → 雄鱼受精”。这一复杂的生物本能链条，在控制论形式下完全是一个严格的十状态离散决定性机器，每一状态的物理呈现均触发并释放下一状态的单值反应。状态无需数值化，其科学严密性丝毫不受折损。
习题 2.2-2
设某生化反应容器中存有初始浓度为 \(N_0 = 10^9\) 个单位的活体细菌，并注入一定剂量的抑菌消毒剂。假定抑菌剂的作用机制使存活菌群在每经过一分钟后精确减少 20%（即存活率为 80%）。
(1) 将存活菌群数量的演化表示为一个标准代数变换算子；
(2) 逐分钟严格计算前 5 分钟内容器中存活菌群的精确数值；
(3) 证明该变换存在唯一平衡态，并求出当时间 \(t \to \infty\) 时系统状态的渐近极限。
参考解答(1) 设第 \(t\) 分钟末的菌群数量为 \(n_t\)。经过一分钟后，存活数量变为原先的 \(1 - 0.20 = 0.80\)。因此单步变换算子为：
(2) 从 \(N_0 = 10^9\) 出发，逐步迭代计算：
- 第 1 分钟：\(n_1 = T(10^9) = 0.8 \times 10^9 = 8.0 \times 10^8\)；
- 第 2 分钟：\(n_2 = T(n_1) = 0.8 \times 8.0 \times 10^8 = 6.4 \times 10^8\)；
- 第 3 分钟：\(n_3 = T(n_2) = 0.8 \times 6.4 \times 10^8 = 5.12 \times 10^8\)；
- 第 4 分钟：\(n_4 = T(n_3) = 0.8 \times 5.12 \times 10^8 = 4.096 \times 10^8\)；
- 第 5 分钟：\(n_5 = T(n_4) = 0.8 \times 4.096 \times 10^8 = 3.2768 \times 10^8\)。
(3) 通项公式为 \(n_t = T^t(N_0) = 10^9 \times (0.8)^t\)。由于底数 \(0 < 0.8 < 1\)，当 \(t \to \infty\) 时，\(\lim_{t \to \infty} (0.8)^t = 0\)，因此渐近极限为 \(\lim_{t \to \infty} n_t = 0\)。令 \(T(n^*) = n^*\)，即 \(0.8 n^* = n^* \implies 0.2 n^* = 0 \implies n^* = 0\)。因此 \(n^* = 0\) 是该变换唯一的代数平衡态，且在非负实数轴上是全局渐近吸引的。
2.2.3 状态向量与规范方程组
在简单模型中，状态常被视为一个不可分割的整体标号。然而在分析复杂的现实系统时，单一标号往往掩盖了系统的内部组成结构。例如，在宏观经济系统中，国民经济状态由物价指数、失业率、利率等多个指标共同决定；在机械多自由度系统中，整机状态由各个构件的坐标与速度共同表征。**整体的状态是由各子部分在同一时刻所取状态的有序组合给出的**——在此，“部分与整体”的因果关系首次被形式化引入控制论（Ashby, 1956, S.3/5）。
刻画这种复合状态的标准数学实体即为向量(vector)：一个具有确定维度 \(n\) 的有序多元组，记作 \(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\)，其中每个标量 \(x_i\) 称为向量的一个分量(component)。两个状态向量相等当且仅当它们在对应分量上逐项严格相等。定义在向量集合上的变换在本质上仍是一个映射，但其实际作用规则通常可以拆解为各个分量上的同步更新方程：
若从初始向量 \((a_0, b_0, c_0) = (0, 1, 1)\) 出发，依据算子 (2.2-2) 进行离散步进：
- 第 1 步：\(F(0, 1, 1) = (1, 1, 2)\)；
- 第 2 步：\(F^2(0, 1, 1) = (1, 2, 3)\)；
- 第 3 步：\(F^3(0, 1, 1) = (2, 3, 5)\)；
- 第 4 步：\(F^4(0, 1, 1) = (3, 5, 8)\)；
- 第 5 步：\(F^5(0, 1, 1) = (5, 8, 13)\)。
考察第一分量 \(a\) 在各时间步的相继取值序列：\(0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots\)，其精确重现了著名的斐波那契（Fibonacci）数列。向量代数直接将高阶线性差分方程转化为了高维空间中的一阶离散动力系统。
推广至一般情形，任意由 \(n\) 个状态变量构成的决定性动态系统，其演化规律均可统一写作如下标准的规范表示(canonical representation)方程组：
函数表与代数闭式解的包容关系：解析代数公式（如多项式、三角函数等）对系统的连续性与光滑性提出了极高要求；而离散函数表（function table）则具有无条件的普适性。在数学本质上，规范方程组 (2.2-3) 无非是一张包含无限多行或有限多行的状态转移表的符号化紧凑记法。生物系统中的开关阶跃、神经网络中的阈值激发等非解析现象，均可毫无障碍地被函数表所接纳（Ashby, 1956, S.3/8）。
2.2.4 “不可解”微分方程与计算确定性
在动力系统的数学物理传统中，给定一个由 (2.2-3) 描述的决定性机器规范表示以及初始条件 \(\mathbf{x}_0\)，系统的未来轨迹是完全、唯一确定的。通过迭代依次计算 \(\mathbf{x}_0, T(\mathbf{x}_0), T^2(\mathbf{x}_0), \ldots\)，其数值序列在有限步内可严格获得。在数学分析中，这一过程被称为对系统的“积分”（integrating）；当变换由微分方程描述时，亦称作“解方程”（Ashby, 1956, S.3/9）。
然而，常有物理学家或工程师因某些微分系统被称为“不可积”或“无法解析求解”（unsolvable in closed form）而对决定论产生困惑。Ashby 明确指出，“不可解”在此处具有纯粹的技术狭义性——它仅仅表明：**在限定使用有限项初等解析函数（如对数、指数、多项式及三角函数）的代数运算规则下，人类数学家无法写出一条跨越任意时间间隔 \(t\) 的瞬时闭式坐标表达式 \(x(t) = g(t, x_0)\)**。然而这绝不意味着系统行为具有随机性或不可预测性。系统每一步的动力学转移依然严格唯一，通过步步推进的数值迭代积分，可以在任意精度下重构系统的长程轨道（例如 Tustin 1953 年对复杂非线性经济动态系统的数值分析）。
知晓法则不等于拥有全局闭式解：切勿将“缺乏初等解析解”等同于“系统不可预测”。一个完全确定性的三维非线性微分系统（如后世发现的 Lorenz 混沌流或三体引力摄动），其规则简洁透明且处处单值，但除了逐步迭代计算之外，不存在绕过中间演化直接计算长程未来的捷径。这是复杂系统理论的核心教训之一。
2.2.5 相空间：轨迹的几何总览
当系统状态向量的各分量均为连续或离散的数值变量时，我们可以利用解析几何将运动学图升华为几何相空间：以系统的各个独立状态变量分别作为笛卡尔正交坐标轴，所构成的抽象几何流形称为相空间(phase-space)（Ashby, 1956, S.3/10；其动力学传统可溯源至 Poincaré 以及 Gibbs 1902 年的统计力学构架）。相空间中的每一个几何点对应系统的一个特定全局状态，而变换算子在相空间中则定义了一个离散位移场或连续矢量速度场。
以一个经典的双人均分博弈系统（penny-sharing game）为例：设系统由 Arthur（资产记为 \(x\) 先令）与 Bill（资产记为 \(y\) 先令）组成；在每一个游戏回合中，两人各自将手中财富的一半交给对方。系统的单步离散动力学方程由 (2.2-4) 给出：
将该系统的全部转移矢量投影于二维欧氏平面，即可得到图 2.2-3 所示的二维相空间几何图景：
相空间几何分析展现出极其强劲的解析洞见：
- 位移矢量的正交性：对于空间中任意初始点 \((x, y)\)，其单步演化的空间位移矢量为： \[ \Delta(x, y) = (x' - x,\ y' - y) = \left( \frac{y - x}{2},\ \frac{x - y}{2} \right) \] 其两分量大小相等、符号严格相反。考察该位移矢量与对角流形方向矢量 \(\mathbf{v} = (1, 1)\) 的标准内积： \[ \Delta(x, y) \cdot \mathbf{v} = \frac{y - x}{2} \times 1 + \frac{x - y}{2} \times 1 = 0 \] 内积恒等于零，这在几何上无可辩驳地证明了：**全相空间中的所有演化轨迹线均以 \(45^\circ\) 角严格垂直正交地射向对角线 \(y = x\)**；
- 系统的守恒不变量（第一积分）：考察财富总和分量 \(S(x, y) = x + y\)。演化后有： \[ S(x', y') = x' + y' = \frac{x + y}{2} + \frac{x + y}{2} = x + y = S(x, y) \] 这意味着全相空间中的流线严格限制在超平面 \(x + y = C\) 之上，财富守恒这一物理定律在相空间中直观表现为轨道的超平面约束；
- 平衡流形的幂等坍缩：对任意初始状态 \((x, y)\)，其单步后继已满足 \(x' = y' = \frac{x+y}{2}\)，即已完全落在直线 \(y = x\) 之上；再次施加变换，显然有 \(T(x', y') = (x', y')\)。因此，系统的代数算子严格满足幂等性（idempotence）： \[ T^2 = T \] 对角线 \(y = x\) 上的每一个几何点均为系统的平衡态，全相空间中任意初态均在恰好一步之内完成弛豫，直接坍缩至平衡态流形。
习题 2.2-3
（均分博弈动力学推证，源自 Ashby, 1956, S.3/10）
考察由方程 (2.2-4) 规定的二维离散均分博弈系统 \(x' = \tfrac{1}{2}(x+y)\)，\(y' = \tfrac{1}{2}(x+y)\)。
(1) 设 Arthur 与 Bill 的初始财富分别为 \(x_0 = 8\) 先令与 \(y_0 = 4\) 先令。求系统在第 1、2、3 步的状态向量；
(2) 证明：对相空间中的任意初始点 \((x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2\)，系统均在第一步直接到达直线 \(y = x\)，且算子满足 \(T^k = T\)（\(\forall k \ge 1\)）；
(3) 证明系统在演化过程中总量 \(x + y\) 严格守恒，并从几何角度解释为什么相空间中的所有转移箭头都垂直于直线 \(y = x\)。
参考解答(1) 从初始状态 \((x_0, y_0) = (8, 4)\) 出发计算：
- 第 1 步：\(x_1 = \tfrac{1}{2}(8 + 4) = 6\)，\(y_1 = \tfrac{1}{2}(8 + 4) = 6\)，即状态为 \((6, 6)\)；
- 第 2 步：\(x_2 = \tfrac{1}{2}(6 + 6) = 6\)，\(y_2 = \tfrac{1}{2}(6 + 6) = 6\)，即状态为 \((6, 6)\)；
- 第 3 步：同理状态保持为 \((6, 6)\)。
系统在第 1 步即抵达平衡态，随后永久停驻。
(2) 设初始状态为任意实数对 \((x_0, y_0)\)。经一步演化后，状态为：
显然两坐标完全相等：\(x_1 = y_1\)，故点 \((x_1, y_1)\) 严格落在直线 \(y = x\) 之上。对任意落在直线 \(y = x\) 上的状态 \((c, c)\)，有 \(T(c, c) = (\frac{c+c}{2}, \frac{c+c}{2}) = (c, c)\)，即直线上的所有点均为不动点（平衡态）。因此，对于任意 \(k \ge 1\)，\(T^k(x_0, y_0) = T(x_0, y_0) = (\frac{x_0+y_0}{2}, \frac{x_0+y_0}{2})\)，算子满足幂等律 \(T^k = T\)。
(3) 定义总量函数 \(H(x, y) = x + y\)。一步演化后：
因此，总量 \(x + y\) 沿系统轨道严格守恒。位移矢量为 \(\Delta = (x' - x, y' - y) = (\frac{y-x}{2}, \frac{x-y}{2})\)。直线 \(y = x\) 的方向向量为 \(\mathbf{u} = (1, 1)\)。计算二者的欧氏内积：
内积为零，故位移矢量在几何上严格垂直正交于平衡直线 \(y = x\)。
2.2.6 认识论反思：什么是“系统”？
“每台决定性机器对应于一个封闭单值变换”在形式公理上无懈可击；然而当研究者直面具体的物理实体时，极其深刻的认识论困境随之浮现（Ashby, 1956, S.3/11）。
设想实验者在实验室中面对一只长约 40 厘米的真实单摆。将其拉至偏离垂直线 \(30^\circ\) 处由静止释放，每隔四分之一秒记录一次摆角读数，依次测得序列：\(30^\circ \to 10^\circ \to -24^\circ\)。基于这组经验数据，实验者初步推断该系统的转移规则应满足：\(30^\circ \mapsto 10^\circ\)，且 \(10^\circ \mapsto -24^\circ\)。为了验证这一推断，实验者重新将单摆拉至 \(10^\circ\) 由静止释放，并在四分之一秒后记录其位置——令人惊异的是，摆锤此刻并未抵达 \(-24^\circ\)，而是停留在 \(+3^\circ\)。同一个初始状态 \(10^\circ\) 在相同的物理装置中竟然给出了两个截然不同的后继状态（\(-24^\circ\) 与 \(+3^\circ\)）。经验测量公然违背了单值性，决定性机器的假设似乎在此遭到了无情证伪。
我们是否应当就此放弃系统的单值决定性？控制论指出：**困境的根源并非现实物理世界具有内禀的不可知论，而是源于研究者对“系统”概念的素朴实在论误解**。常人直觉往往将“系统”等同于眼前那个看得见摸得着的物理实体（“系统就是那个单摆”）。然而，任何现实的物理客体都内嵌于无限维度的物理宇宙之中，其包含着无穷无尽的潜在变量——空间坐标、动量、温度、表面摩擦力、材料晶格应力、空气扰动等。试图将客体的“全部事实”包揽入系统，在认知与实践上既绝无可能，也从未被真正的科学所采纳。
因此，控制论给出了革命性的认识论定义：
系统(system)：**不是一个孤立的物质客体，而是由观察者从给定的物理客体中选定、并纳入经验考察的一份明确的变量清单（a list of variables）**（Ashby, 1956, S.3/11）。
面对单值性破缺的危机，科学家的实际工作恰恰在于**修改这套变量清单**，直至系统的行为重新恢复封闭单值性：
- 第一次选择：仅选取变量清单 \(\{ \theta \}\)（角位移）。系统多值，决定性失败；
- 第二次选择：扩展变量清单为 \(\{ \theta, m \}\)（角位移，摆锤质量）。系统依然多值，决定性失败；
- 第三次选择：引入动力学微分共轭变量，确立清单 \(\{ \theta, \omega \}\)（角位移，角速度）。在二维状态相空间中，第一次释放的状态实际为 \((10^\circ, \omega_1)\)（具有较高反向动能），第二次释放的状态为 \((10^\circ, 0)\)（静止释放）。二者根本不是同一状态！单值性由此完美复原。
科学史上的诸多伟大突破，本质上正是通过修正变量清单以重建动力学单值性的历程——Newton 引入动量概念使落体动力学成为单值体系；Hopkins 在动物饲料中发现微量维生素，才使小鼠在特定食谱下的代谢存活规律由杂乱无章重获确定性因果。变量清单由观察者依据研究目的与可观测边界而裁定。这一关于观察者在系统划分中关键地位的思想，构成了 2.6 节“黑箱方法”的核心哲学渊源，并直接引向后续第七章二阶控制论对观察者自身的理论反思。
然而在现实应用中，机器不仅拥有内部变量，更持续承受着外界环境控制杆与外部扰动的调制。如何刻画环境对系统动力学规则本身的动态重构？这正是 2.3 节“带输入的机器与耦合”所要解决的核心课题。
关键术语
- 决定性机器 (determinate machine)
- 行为方式与一个封闭单值代数变换等同的系统；其定义完全立足于外在行为映射，而非内在物质材质。
- 状态 (state)
- 系统在某一时刻界定明确、且在再次出现时能被明确辨识的属性全貌；变换操作数的物理化表象。
- 轨迹 / 行为线 (trajectory / line of behaviour)
- 从某一初始状态出发，由代数变换算子逐步迭代作用生成的时间有序状态序列。
- 规范表示 (canonical representation)
- 与机器动力学一一对应、对系统各分量明确给出其单步后继显式函数的标准方程组（离散或微分形式）。
- 状态向量 (state vector)
- 由多个相互关联的子分量构成的有序多元组，表征系统整体在某一瞬时的复合相态。
- 相空间 (phase-space)
- 以状态向量的各个独立变量为坐标轴构成的几何流形，空间中的点对应全局状态，变换定义了其间的几何转移流线。
- 计算确定性与不可积性 (computational determinism vs. non-integrability)
- 缺乏有限初等解析闭式解（不可积）并不损害系统的微观决定性；系统未来依然可通过逐步离散数值积分唯一确定。
- 系统 (system)
- 由观察者根据特定认知或控制目的从现实客体中选定的一份变量清单，而非物质客体本身。
参考文献与延伸阅读
- Ashby WR. 1956. An Introduction to Cybernetics. London: Chapman & Hall / New York: John Wiley & Sons. [尤其是第3章：The Determinate Machine, Vectors, Phase-space, What is a System].
- Rosenblueth A, Wiener N, Bigelow J. 1943. Behavior, purpose and teleology. Philosophy of Science 10(1):18–24.
- Tinbergen N. 1951. The Study of Instinct. Oxford: Clarendon Press.
- Tustin A. 1953. The Mechanism of Economic Systems. London: William Heinemann.
- Gibbs JW. 1902. Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons.
- Poincaré H. 1890. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica 13:1–270.