4.4 博弈与策略

（基础推证）严格证明式 (4.4-2) 所示的极大极小不等式对任意有限实矩阵 \(M \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 恒成立；并构造一个 \(2 \times 2\) 矩阵，验证严格不等号 \(\underline{v} < \bar{v}\) 可以成立。

证明：任取矩阵中的某一行指标 \(i\) 与某一列指标 \(j\)。根据极值的定义，显然有： \[ \min_{r} M(i, r) \;\le\; M(i, j) \;\le\; \max_{d} M(d, j) \] 固定任意给定的列指标 \(j_0\)。上述不等式左端对所有行 \(i\) 均成立，故对其取关于 \(i\) 的最大值，不等式依然成立： \[ \max_{d} \min_{r} M(d, r) \;\le\; \max_{d} M(d, j_0) \] 注意上式左端已与具体行指标无关，且该不等式对定义域内的每一个可能列指标 \(j_0\) 均成立。因此，上式右端对所有 \(j_0\) 取最小值，不等式方向不变： \[ \max_{d} \min_{r} M(d, r) \;\le\; \min_{r} \max_{d} M(d, r) \] 即严格证明了 \(\underline{v} \le \bar{v}\)。
构造严格反例：取匹配硬币博弈矩阵 \(M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\)。
计算各行最小值：第 1 行最小值为 \(-1\)，第 2 行最小值为 \(-1\)。故下值 \(\underline{v} = \max\{-1, -1\} = -1\)；
计算各列最大值：第 1 列最大值为 \(1\)，第 2 列最大值为 \(1\)。故上值 \(\bar{v} = \min\{1, 1\} = 1\)；
此时 \(\underline{v} = -1 < 1 = \bar{v}\)，严格不等式成立，该矩阵不存在纯策略鞍点。

（计算题）设某工业对抗博弈中的损害支付矩阵为 \(M = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\)，行代表环境扰动 \(D\)（1 与 2），列代表调节器动作 \(R\)（\(\alpha\) 与 \(\beta\)）。

(i) 计算矩阵的纯策略下值 \(\underline{v}\) 与上值 \(\bar{v}\)，判定是否存在纯策略鞍点；

(ii) 设调节器以概率 \(q\) 选取 \(\alpha\)、以 \(1-q\) 选取 \(\beta\)，建立环境在各纯策略下的期望收益直线方程，并求最优混合策略 \(q^*\) 与博弈值 \(v^*\)；

(iii) 求环境扰动方的最优对抗混合策略 \(p^*\)。

(i) 计算行最小值：\(\min(4, 1) = 1\)，\(\min(2, 6) = 2\)。故下值 \(\underline{v} = \max\{1, 2\} = 2\)；
计算列最大值：\(\max(4, 2) = 4\)，\(\max(1, 6) = 6\)。故上值 \(\bar{v} = \min\{4, 6\} = 4\)；
由于 \(\underline{v} = 2 < 4 = \bar{v}\)，下值严格小于上值，该矩阵不存在纯策略鞍点。
(ii) 调节器采用混合策略 \(q\)（选 \(\alpha\) 的概率）。环境若选第 1 行，期望损害为： \[ E_1(q) = 4q + 1(1 - q) = 1 + 3q \] 环境若选第 2 行，期望损害为： \[ E_2(q) = 2q + 6(1 - q) = 6 - 4q \] 根据极小极大定理，最优混合策略必处于两直线的交点处（令对手两种纯策略期望收益相等）： \[ 1 + 3q = 6 - 4q \implies 7q = 5 \implies q^* = \frac{5}{7} \] 将 \(q^*\) 代入任意一方程，求得博弈值： \[ v^* = 1 + 3\left(\frac{5}{7}\right) = \frac{22}{7} \approx 3.143 \] (iii) 设环境以概率 \(p\) 选第 1 行、以 \(1-p\) 选第 2 行。调节器若选 \(\alpha\)，期望收益为 \(4p + 2(1 - p) = 2 + 2p\)；若选 \(\beta\)，期望收益为 \(p + 6(1 - p) = 6 - 5p\)。令两式相等： \[ 2 + 2p = 6 - 5p \implies 7p = 4 \implies p^* = \frac{4}{7} \] 环境的最优混合策略为以 \(4/7\) 概率发动扰动 1、以 \(3/7\) 概率发动扰动 2，双方在此达到纳什均衡。

考查某非线性连续反馈温控系统的动态方程：

其中 \(x_1, x_2\) 为系统状态偏差，\(u\) 为反馈控制律。设计线性状态反馈控制律 \(u = -k x_2\)（\(k\) 为待定常值增益）。

(i) 确定系统在零输入状态下的原点平衡态 \(x^* = (0, 0)^T\)；

(ii) 计算闭环系统在原点平衡态处的雅可比矩阵 \(J\) 及其特征多项式；

(iii) 运用赫尔维茨判据，求使系统原点实现局部渐近稳定的反馈增益 \(k\) 的取值范围；

(iv) 当选取 \(k = 0\)（无额外反馈）时，构造二次型李雅普诺夫候选函数 \(V(x) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2\)，证明原点在某一邻域内是局部渐近稳定的，并指出非线性耦合项 \(x_1 x_2\) 对稳定吸引域半径的几何约束。

(i) 当 \(x_1 = 0, x_2 = 0, u = 0\) 时，代入方程得 \(\dot{x}_1 = 0, \dot{x}_2 = 0\)，因此原点 \(x^* = (0, 0)^T\) 是系统的动力学平衡态。
(ii) 闭环矢量场为 \(f_1 = -2x_1 + x_2 + x_1 x_2\)，\(f_2 = -x_1 - (3 + k)x_2\)。对状态求偏导并令 \(x_1 = 0, x_2 = 0\)： \[ J = \begin{pmatrix} \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\right|_0 & \left.\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right|_0 \\ \left.\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\right|_0 & \left.\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\right|_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + x_2 & 1 + x_1 \\ -1 & -(3 + k) \end{pmatrix}_{(0, 0)} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -(3 + k) \end{pmatrix} \] 闭环特征多项式为： \[ P(\lambda) = \det(\lambda I - J) = \det\begin{pmatrix} \lambda + 2 & -1 \\ 1 & \lambda + 3 + k \end{pmatrix} = (\lambda + 2)(\lambda + 3 + k) + 1 = \lambda^2 + (5 + k)\lambda + (2k + 7) \] (iii) 针对二阶特征多项式 \(\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0\)，劳斯—赫尔维茨稳定充要条件为 \(a_1 > 0\) 且 \(a_0 > 0\)： \[ 5 + k > 0 \implies k > -5 \] \[ 2k + 7 > 0 \implies k > -\frac{7}{2} = -3.5 \] 两式取交集，系统局部渐近稳定的充要增益范围为 \(k > -3.5\)。
(iv) 取 \(k = 0\)，候选函数 \(V(x) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 > 0\)（正定）。计算沿轨迹的时间导数： \[ \dot{V} = x_1 \dot{x}_1 + x_2 \dot{x}_2 = x_1(-2x_1 + x_2 + x_1 x_2) + x_2(-x_1 - 3x_2) \] 展开交叉项并合并： \[ \dot{V} = -2x_1^2 + x_1 x_2 + x_1^2 x_2 - x_1 x_2 - 3x_2^2 = -2x_1^2 - 3x_2^2 + x_1^2 x_2 = -x_1^2 (2 - x_2) - 3x_2^2 \] 考查相空间区域：在水平带状区域 \(\Omega = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_2 < 2\}\) 内部，恒有 \(2 - x_2 > 0\)。因此在该区域内： \[ \dot{V} \le -\min(2 - x_2, 3)(x_1^2 + x_2^2) < 0 \qquad (\forall x \neq 0) \] 导数严格负定。取包含于 \(\Omega\) 内的李雅普诺夫等高线紧集（如圆域 \(B_r = \{x \mid x_1^2 + x_2^2 \le r^2\}\)，其中 \(r < 2\)），该球域即构成渐近稳定吸引域的一个不变子集。非线性项 \(x_1^2 x_2\) 限制了全局稳定性，当 \(x_2 \ge 2\) 时系统可能发生失稳分岔。

（信息时序与博弈价值分析）考查阿什比结局表数字化后的对称二阶博弈：环境扰动行集合 \(D = \{d_1, d_2\}\)，调节器列集合 \(R = \{r_1, r_2\}\)。当系统结局落在容许集 \(\eta\) 内时损害记为 0，落在 \(\eta\) 外时记为 1。损害矩阵为反向匹配矩阵：

(i) 场景 A（阿什比前馈时序）：调节器 \(R\) 具备完备的前馈感知通道，能够在出招前实时获悉 \(D\) 的确切行选择。计算调节器所能达到的最小损害支付；

(ii) 场景 B（冯·诺依曼对称时序）：调节器由于通信遮断无法观测 \(D\)，双方在完全独立、互不相通的状态下同时出招。计算博弈在混合策略下的极小极大值 \(v^*\)；

(iii) 比较场景 A 与场景 B 的损害差额，从信息论与控制论的统一视角论述“情报为何就是调节资源”。

(i) 场景 A（阿什比前馈时序）：调节器先观测后动作。当 \(D = d_1\) 时，调节器观测到行 1，主动选择第 1 列 \(r_1\)，结局损害为 \(M_{11} = 0\)；当 \(D = d_2\) 时，调节器观测到行 2，主动选择第 2 列 \(r_2\)，结局损害为 \(M_{22} = 0\)。因此在完全前馈情报支持下，调节器实现完美控制，系统损害支付恒定为： \[ \text{Loss}_A \equiv 0 \] (ii) 场景 B（冯·诺依曼同时落子）：矩阵无纯策略鞍点。设调节器以概率 \(q\) 选 \(r_1\)、以 \(1-q\) 选 \(r_2\)。环境选 \(d_1\) 期望为 \(0 \cdot q + 1 \cdot (1 - q) = 1 - q\)；选 \(d_2\) 期望为 \(1 \cdot q + 0 \cdot (1 - q) = q\)。令两者相等： \[ 1 - q = q \implies q^* = \frac{1}{2} \] 代入得到博弈值： \[ v^* = \frac{1}{2} \] 因此在无先验情报时，系统的平均期望损害上升至 \(0.5\)。
(iii) 差额机制论述：从场景 A 到场景 B，系统的控制绩效恶化了 \(\Delta \text{Loss} = 0.5 - 0 = 0.5\)。产生这一退化的唯一根源，在于调节器失去了感知信道所传递的关于环境状态的 1 比特信息（\(\log_2 2 = 1\ \text{bit}\)）。在场景 A 中，调节器作为信道吸收并消解了环境的多样性；在场景 B 中，通信被阻断，调节器退化为开环盲目系统，只能依靠混合策略进行被动风险均摊。这在数学上完全证实了控制论的核心命题：信息是控制的物理燃料，信道通信容量的缺失将直接转化为不可避免的系统调节熵增。