编号说明:本页有编号条目与原书第 4 版 3.D 节(3.59–3.86)一致,其中定理 3.65 在本页按 W=V 的算子特例陈述(原书为 dim V=dim W、T∈L(V,W) 的一般形式);无编号的“定理(何时同构于 Fⁿ)”为原书 3.70 取 W=Fⁿ 的特例,其余无编号条目(如“定义(算子)”“注(同构概念的谱系)”“定理(二阶矩阵求逆公式)”“例(求逆两法)”等)系依原书精神的整理或编者补充。本页聚焦可逆性与同构主线,原书从略的条目有:3.61(记号 T⁻¹,已融入上文)、3.62 与 3.67 两例、3.68(维数相同时 ST=I ⟺ TS=I,其内容见练习 2)、3.71–3.72(L(V,W) 与 F 的 m×n 矩阵空间同构及 dim L(V,W) 的公式)、3.73–3.78(向量的矩阵、线性映射的矩阵乘法表示、列秩等;矩阵表示与矩阵乘法在 3.C 节已有铺垫)、3.79(单位矩阵,已在定义 3.80 中直接使用)与 3.81–3.85(乘积矩阵的显式基版本、两组基下的恒等算子矩阵与换基公式)。
可逆线性映射
到目前为止,我们研究了线性映射的核 (\(\operatorname{null} T\))、值域 (\(\operatorname{range} T\))、维数关系以及矩阵表示。一个自然的问题是:线性映射 \(T\colon V\to W\) 何时可以“撤销”?也就是说,何时能从像 \(Tv\) 唯一地恢复出原像 \(v\),并且这种恢复本身还是一个线性映射?这就是本节的核心概念——可逆性 (invertibility)。
定义 3.59(可逆线性映射). 设 \(V\)、\(W\) 是 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。若存在 \(S\in\mathcal{L}(W,V)\) 使得
\[ ST=I_V \qquad\text{且}\qquad TS=I_W, \]则称 \(T\) 是可逆的 (invertible),并称 \(S\) 为 \(T\) 的逆 (inverse)。这里 \(I_V\)、\(I_W\) 分别是 \(V\)、\(W\) 上的恒等映射,\(ST\) 表示复合 \(S\circ T\)(与 3.C 节的约定一致)。
请注意定义中两个等式必须同时成立:\(ST=I_V\) 说的是“先 \(T\) 后 \(S\) 回到原地”;\(TS=I_W\) 说的是“先 \(S\) 后 \(T\) 也回到原地”。稍后(见例 3.64)我们会看到,在无限维空间上,其中一个等式成立并不能推出另一个。
例(可逆与不可逆线性映射).(a) 设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F})\) 由 \(T(x)=5x\) 给出,则 \(T\) 可逆,其逆为 \(S(x)=x/5\),因为 \(S(Tx)=S(5x)=x\) 且 \(T(Sx)=T(x/5)=x\)。“乘 \(5\)”的逆正是“除以 \(5\)”。
(b) 设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2)\) 由 \(T(x,y)=(y,x)\) 给出(关于直线 \(y=x\) 的反射),则 \(T\) 可逆且 \(T^{-1}=T\):连续反射两次回到原处。这样的映射称为对合 (involution)。
(c) 设 \(T(x,y)=(x,\,x+y)\)(剪切变换),则 \(T\) 可逆,且 \(T^{-1}(u,v)=(u,\,v-u)\)。直接验证: \[ T^{-1}\bigl(T(x,y)\bigr)=T^{-1}(x,\,x+y)=\bigl(x,\,(x+y)-x\bigr)=(x,y),\qquad T\bigl(T^{-1}(u,v)\bigr)=\bigl(u,\,u+(v-u)\bigr)=(u,v). \]
(d) 反例:设 \(T(x,y)=(x+y,\,x+y)\)。由于 \(T(1,-1)=(0,0)\),故 \(\operatorname{null}T\neq\{0\}\);又 \(T\) 的值域 \(\{(t,t)\colon t\in\mathbb{F}\}\) 只有一维。\(T\) 既不单又不满,从而不可逆(参见命题 3.63)。
定理 3.60(逆的唯一性). 可逆线性映射 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 的逆是唯一的。
证明. 设 \(S_1,S_2\in\mathcal{L}(W,V)\) 都是 \(T\) 的逆,即 \(S_iT=I_V\) 且 \(TS_i=I_W\) (\(i=1,2\))。利用映射复合的结合律(可直接验证),得 \[ S_1 \;=\; S_1 I_W \;=\; S_1(TS_2) \;=\; (S_1T)S_2 \;=\; I_V S_2 \;=\; S_2. \] 故逆唯一。∎
有了唯一性,我们把 \(T\) 的逆记作 \(T^{-1}\)。由定义的对称性立得 \(T^{-1}\) 也可逆,且 \((T^{-1})^{-1}=T\)(见练习 1)。
命题 3.63(可逆 ⟺ 单且满). 设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。则 \(T\) 可逆当且仅当 \(T\) 既单又满。
证明.(⟹) 设 \(T\) 可逆,逆为 \(S\)。单:若 \(Tu_1=Tu_2\),两边用 \(S\) 作用,得 \(u_1=(ST)u_1=S(Tu_1)=S(Tu_2)=(ST)u_2=u_2\)。满:任取 \(w\in W\),令 \(v=Sw\in V\),则 \(Tv=T(Sw)=(TS)w=w\),故 \(w\in\operatorname{range}T\)。
(⟸) 设 \(T\) 既单又满。对每个 \(w\in W\),由满射性可取 \(v\in V\) 使 \(Tv=w\);由单射性这样的 \(v\) 唯一。于是可定义 \(S\colon W\to V\):\(S(w)=v\),其中 \(v\) 是唯一满足 \(Tv=w\) 的向量。显然 \(ST=I_V\)、\(TS=I_W\)。还需验证 \(S\) 线性:设 \(w_1,w_2\in W\),取 \(v_1=Sw_1\)、\(v_2=Sw_2\),即 \(Tv_1=w_1\)、\(Tv_2=w_2\)。由 \(T\) 的线性性, \[ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2=w_1+w_2,\qquad T(\lambda v_1)=\lambda\,Tv_1=\lambda w_1, \] 故按 \(S\) 的定义有 \(S(w_1+w_2)=v_1+v_2=Sw_1+Sw_2\) 与 \(S(\lambda w_1)=\lambda Sw_1\)。即 \(S\in\mathcal{L}(W,V)\),从而 \(T\) 可逆。∎
命题 3.63 的证明里藏着一个小小的“奇迹”:双射线性映射在集合论意义下的逆自动是线性的。因此在向量空间的世界里,“可逆”与“既单又满”是同一件事的两种说法。
同构:维数是完全不变量
既然可逆等价于“既单又满”,后者值得一个独立的名字。同构是数学中“两个对象在结构上无法区分”这一思想在线性代数中的化身。
定义 3.69(同构). 既单又满的线性映射称为同构 (isomorphism)。若存在从 \(V\) 到 \(W\) 的同构,则称 \(V\) 与 \(W\) 同构 (isomorphic),记作 \[ V\cong W. \]
由命题 3.63,“\(T\) 是同构”与“\(T\) 可逆”是同义语:同构就是可逆线性映射,反之亦然。称谓不同,视角不同——“可逆”强调映射本身可以撤销,“同构”强调两个空间的结构相同。
例(与自身同构). 任何向量空间与自身同构:恒等映射 \(I_V\colon v\mapsto v\) 是线性双射。当然,同构不必是恒等:\(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\),\(T(x,y)=(3x,5y)\) 也是 \(\mathbb{R}^2\) 到自身的一个同构。一般地 \(V\cong V\) 恒成立,且任何可逆线性映射都给出其定义域与值域之间的同构。
例(两个具体的同构).(a) 设 \(U=\{(x,y,2x+3y)\colon x,y\in\mathbb{F}\}\subseteq\mathbb{F}^3\)(容易验证 \(U\) 是 \(\mathbb{F}^3\) 的二维子空间,几何上是过原点的一个平面)。定义 \[ T\colon \mathbb{F}^2\to U,\qquad T(x,y)=(x,\;y,\;2x+3y). \] \(T\) 显然线性;若 \(T(x,y)=(0,0,0)\),则由前两个坐标得 \(x=y=0\),故 \(T\) 单;\(U\) 中每个元素按其定义形如 \((x,y,2x+3y)=T(x,y)\),故 \(T\) 满。于是 \(T\) 是同构,\(U\cong\mathbb{F}^2\)。
(b) 定义 \(T\colon\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^5\):对 \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4\),令 \[ T(p)=(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4). \] 由多项式表示的唯一性(次数 \(\le 4\) 的多项式由系数唯一确定),\(T\) 良定义且单;满性显然;线性性来自“多项式相加(数乘)即系数逐项相加(数乘)”。故 \(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^5\)。同理 \(\mathcal{P}_n(\mathbb{F})\cong\mathbb{F}^{n+1}\),\(M_{m\times n}(\mathbb{F})\cong\mathbb{F}^{mn}\)。
定理(何时同构于 \(\mathbb{F}^n\)). 设 \(V\) 是 \(\mathbb{F}\) 上有限维向量空间。则 \[ V\cong\mathbb{F}^n \quad\Longleftrightarrow\quad \dim V=n. \]
证明.(⟹) 设 \(T\colon V\to\mathbb{F}^n\) 是同构,则 \(\operatorname{null}T=\{0\}\) 且 \(\operatorname{range}T=\mathbb{F}^n\)。由线性映射基本定理(3.B 节), \[ \dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=0+n=n. \] (⟸) 设 \(\dim V=n\),取 \(V\) 的基 \(v_1,\dots,v_n\)。由基的定义,每个 \(v\in V\) 都可唯一地写成 \(v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\)。定义坐标映射 \[ T\colon V\to\mathbb{F}^n,\qquad T(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=(a_1,\dots,a_n). \] 表示的唯一性保证 \(T\) 良定义且单;满性显然:向量 \(a_1v_1+\cdots+a_nv_n\) 的像恰为 \((a_1,\dots,a_n)\)。线性性:若 \(v=\sum_i a_iv_i\)、\(w=\sum_i b_iv_i\),则由分配律 \(v+w=\sum_i (a_i+b_i)v_i\)、\(\lambda v=\sum_i (\lambda a_i)v_i\),故 \[ T(v+w)=(a_1+b_1,\dots,a_n+b_n)=Tv+Tw,\qquad T(\lambda v)=\lambda\,Tv. \] 因此 \(T\) 是线性双射,即同构。∎
这条定理说明:“\(n\) 维”恰恰意味着“与 \(\mathbb{F}^n\) 同构”。在只关心线性结构的问题里,\(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\)、\(\mathbb{R}^5\) 以及一切五维空间都是同一个对象的化身,区别仅在于元素的名字。
定理 3.70(同构保持维数). 设 \(V\)、\(W\) 是 \(\mathbb{F}\) 上有限维向量空间。则 \(\mathcal{L}(V,W)\) 中存在同构当且仅当 \(\dim V=\dim W\)。
证明.(⟹) 设 \(T\colon V\to W\) 是同构,则 \(\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=0+\dim W\)。
(⟸) 设 \(\dim V=\dim W=n\)。取 \(V\) 的基 \(v_1,\dots,v_n\) 与 \(W\) 的基 \(w_1,\dots,w_n\)。由 3.A 节“在基上指定像便唯一确定线性映射”的定理,存在 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 满足 \(Tv_j=w_j\) (\(j=1,\dots,n\))。于是 \(\operatorname{range}T\supseteq\operatorname{span}(w_1,\dots,w_n)=W\),故 \(T\) 满;再由基本定理 \(\dim\operatorname{null}T=\dim V-\dim\operatorname{range}T=n-n=0\),故 \(T\) 单。因此 \(T\) 是同构。∎
推论. 两个有限维向量空间同构当且仅当它们的维数相等。
这条推论常被概括为一句话:维数是有限维向量空间的完全不变量 (complete invariant)。要判断两个有限维空间是否“在线性同构的意义下相同”,只需数一数基中向量的个数。这正是“同构 = 改名字”的准确含义:同构 \(T\colon V\to W\) 只是给每个 \(v\in V\) 换了一个名字 \(Tv\in W\);线性组合、线性无关、基、子空间等一切线性概念在换名前后一一对应、分毫不差。
算子:单 ⟺ 满 ⟺ 可逆
从第 5 章开始,本书将主要研究从空间到其自身的线性映射。这类映射值得一个专门的名字。
定义(算子). 从向量空间 \(V\) 到其自身的线性映射称为 \(V\) 上的算子 (operator)。全体 \(V\) 上算子构成的集合记作 \[ \mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V), \] 它是 3.A 节中 \(\mathcal{L}(V,W)\) 取 \(W=V\) 的特例,因而是向量空间。
例(算子举例).(a) 恒等映射与零映射都是任意 \(V\) 上的算子。(b) 求导 \(D\colon\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R})\),\(Dp=p'\),是 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上的算子。(c) 旋转 \(R_\theta\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\),\(R_\theta(x,y)=(x\cos\theta-y\sin\theta,\;x\sin\theta+y\cos\theta)\),是 \(\mathbb{R}^2\) 上的算子。(d) 给定 \(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\),映射 \(x\mapsto Ax\) 是 \(\mathbb{F}^n\) 上的算子——这正是 3.C 节“矩阵与算子对应”在方阵情形的体现。
记号(恒等算子). \(V\) 上的恒等映射记作 \(I\) 或 \(I_V\)。它是线性的,故 \(I\in\mathcal{L}(V)\);它可逆且 \(I^{-1}=I\);并且对任意 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 有 \(IT=TI=T\)。
证明. 线性性:\(I(av+bw)=av+bw=a\,Iv+b\,Iw\)。可逆性:\(I\circ I=I\) 说明 \(I\) 以自身为逆。∎
定理 3.65(有限维情形:单 ⟺ 满 ⟺ 可逆). 设 \(V\) 是有限维向量空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\)。则以下三条等价:
(a) \(T\) 可逆; (b) \(T\) 单,即 \(\operatorname{null}T=\{0\}\); (c) \(T\) 满,即 \(\operatorname{range}T=V\)。
证明. 先证一条引理:有限维空间中与全空间同维的子空间必等于全空间。设 \(U\) 是 \(V\) 的子空间且 \(\dim U=\dim V=n\)。取 \(U\) 的基 \(u_1,\dots,u_n\),它作为 \(V\) 中的线性无关组可扩充为 \(V\) 的基(2.C 节的基扩充定理);但 \(V\) 的基恰含 \(n\) 个向量,扩充无需添加任何向量,故 \(u_1,\dots,u_n\) 已是 \(V\) 的基,从而 \(U=V\)。
(a)⟹(b)、(c):即命题 3.63。
(b)⟹(c):若 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),由基本定理 \(\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T=n-0=n\)。而 \(\operatorname{range}T\) 是 \(V\) 的子空间,由引理得 \(\operatorname{range}T=V\),即 \(T\) 满。
(c)⟹(b):若 \(\operatorname{range}T=V\),则 \(\dim\operatorname{null}T=\dim V-\dim\operatorname{range}T=n-n=0\),故 \(\operatorname{null}T=\{0\}\),即 \(T\) 单。
至此 (b)⟺(c);再由命题 3.63,(a) 与 (b)、(c) 均等价。∎
定理 3.65 出人意料地强大:在有限维空间上,要验证算子可逆,只需验证三件事中的任何一件。证明的核心就是维数公式——“\(T\) 丢失的信息 (\(\dim\operatorname{null}T\)) 与 \(T\) 覆盖的程度 (\(\dim\operatorname{range}T\)) 之和恒等于 \(\dim V\)”。同时请注意,证明的每一步都用到 \(V\) 有限维这一前提。
例 3.64(对照:无限维与两空间不同时失效). 定理 3.65 的两个前提——“\(V\) 有限维”与“\(T\) 是 \(V\) 上的算子”——缺一不可。
(i) 设 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{F}\) 上全体无穷序列 \((x_1,x_2,x_3,\dots)\) 构成的向量空间(它是无限维的)。前移算子 (forward shift) \[ T(x_1,x_2,x_3,\dots)=(0,x_1,x_2,\dots) \] 单而不满:若 \(Tx=Ty\),逐项比较得 \(x=y\);但 \((1,0,0,\dots)\) 的第一个分量为 \(1\),而 \(T\) 的像的第一个分量恒为 \(0\),故它不在值域中。后移算子 (backward shift) \[ S(x_1,x_2,x_3,\dots)=(x_2,x_3,\dots) \] 满而不单:任取 \(y=(y_1,y_2,\dots)\),取 \(x=(0,y_1,y_2,\dots)\) 便有 \(Sx=y\);但 \(S(1,0,0,\dots)=(0,0,\dots)=S(0,0,0,\dots)\),故不单。
(ii) 两空间不同时:嵌入 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F},\mathbb{F}^2)\),\(T(x)=(x,0)\),单而不满;投影 \(S\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2,\mathbb{F})\),\(S(x,y)=x\),满而不单。
顺带一提,(i) 中还有 \(ST=I_{\mathbb{F}^{\infty}}\) 但 \(TS\neq I\):先“前移”再“后移”恢复原序,反之则丢掉第一个分量。这再次提醒我们:定义 3.59 中 \(ST=I_V\) 与 \(TS=I_W\) 必须同时要求;不过在有限维算子的情形,其中一个等式即可推出另一个(见练习 2)。
可逆矩阵
3.C 节告诉我们:取定基之后,线性映射与矩阵一一对应,映射的复合对应矩阵的乘法。因此,本节前半部分关于可逆性的全部结论,都应当有矩阵版本。
定义 3.80(可逆矩阵). 设 \(A\in\mathbb{F}^{n\times n}\)。若存在 \(B\in\mathbb{F}^{n\times n}\) 使得 \[ AB=I_n \qquad\text{且}\qquad BA=I_n, \] 其中 \(I_n\) 是 \(n\) 阶单位矩阵,则称 \(A\) 可逆 (invertible),\(B\) 称为 \(A\) 的逆矩阵。
定理(逆矩阵的唯一性). 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
证明. 设 \(B_1,B_2\) 都是 \(A\) 的逆。由矩阵乘法的结合律, \[ B_1=B_1I_n=B_1(AB_2)=(B_1A)B_2=I_nB_2=B_2. \] 唯一性得证,故可将 \(A\) 的逆记作 \(A^{-1}\)。∎
定理 3.86(算子的逆的矩阵 = 矩阵的逆). 设 \(V\) 是 \(n\) 维向量空间,取定 \(V\) 的基,\(T\in\mathcal{L}(V)\)。则 \[ T \text{ 可逆}\ \Longleftrightarrow\ \mathcal{M}(T) \text{ 可逆}, \] 且当 \(T\) 可逆时有 \(\mathcal{M}(T^{-1})=\bigl(\mathcal{M}(T)\bigr)^{-1}\)。
证明. 回顾 3.C 节的三条事实(基取定后):(i) 对任意 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\),\(\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\,\mathcal{M}(T)\);(ii) 对应 \(S\mapsto\mathcal{M}(S)\) 是 \(\mathcal{L}(V)\) 与 \(\mathbb{F}^{n\times n}\) 之间的一一对应(每个方阵都是某个算子的矩阵,且矩阵相同则算子相同);(iii) \(\mathcal{M}(I)=I_n\)。
(⟹) 设 \(T\) 可逆。则 \[ \mathcal{M}(T^{-1})\,\mathcal{M}(T)=\mathcal{M}(T^{-1}T)=\mathcal{M}(I)=I_n, \] 同理 \(\mathcal{M}(T)\,\mathcal{M}(T^{-1})=I_n\)。故 \(\mathcal{M}(T)\) 可逆,且其逆为 \(\mathcal{M}(T^{-1})\),即 \(\mathcal{M}(T^{-1})=\bigl(\mathcal{M}(T)\bigr)^{-1}\)。
(⟸) 设 \(\mathcal{M}(T)\) 可逆,记 \(B=\bigl(\mathcal{M}(T)\bigr)^{-1}\)。由 (ii),存在唯一的 \(S\in\mathcal{L}(V)\) 使 \(\mathcal{M}(S)=B\)。于是 \[ \mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\,\mathcal{M}(T)=B\,\mathcal{M}(T)=I_n=\mathcal{M}(I), \] 再由 (ii) 的单射性得 \(ST=I\);同理 \(TS=I\)。故 \(T\) 可逆,且 \(\mathcal{M}(T^{-1})=\mathcal{M}(S)=B=\bigl(\mathcal{M}(T)\bigr)^{-1}\)。∎
定理 3.86 有一个直接的推论:算子的可逆性与基的选取无关——同一算子在不同基下的矩阵要么都可逆,要么都不可逆。可逆性是映射自身的性质,坐标只是观测工具。
定理(二阶矩阵求逆公式). 设 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{2\times 2}\)。则 \(A\) 可逆当且仅当 \(ad-bc\neq 0\);且此时 \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \]
证明. 记 \(\Delta=ad-bc\)。若 \(\Delta\neq 0\),直接计算: \[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=\Delta\,I_2, \] 交换乘法次序结果相同。故 \(A^{-1}=\dfrac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。
反之设 \(\Delta=0\),证 \(A\) 不可逆。考虑由 \(A\) 决定的算子 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2)\),\(T(x,y)=(ax+by,\;cx+dy)\)(在标准基下 \(\mathcal{M}(T)=A\))。若 \((a,b)\neq(0,0)\),取向量 \(v=(b,-a)\neq(0,0)\),则 \[ Av=\bigl(ab+b(-a),\;cb+d(-a)\bigr)=(0,\;cb-ad)=(0,0), \] 其中用到 \(ad=bc\)。故 \(\operatorname{null}T\neq\{0\}\),\(T\) 不单;由定理 3.65,\(T\) 不可逆;再由定理 3.86,\(A=\mathcal{M}(T)\) 不可逆。若 \((a,b)=(0,0)\),则 \(A\) 的第一行全为零,于是对任何 \(B\),乘积 \(AB\) 的第一行也全为零,不可能等于第一行为 \((1,0)\) 的 \(I_2\),故 \(A\) 不可逆。∎
数 \(\Delta=ad-bc\) 就是 \(2\times 2\) 情形的行列式——按照本书的编排,行列式的一般理论推迟到第 10 章,这里按定义直接验证即可(伴随矩阵的观点也将在该章系统化)。对 \(n\ge 3\) 的方阵,最系统的手工求逆办法是高斯–若尔当消元 (Gauss–Jordan elimination):对分块矩阵 \((\,A\mid I_n\,)\) 作初等行变换,把它化为 \((\,I_n\mid A^{-1}\,)\)。其原理与上面的二阶求逆公式相同:逐列求解方程 \(Ax=e_j\);具体数值例子见后文“求逆两法”之 (b)。
术语谱系与等价条件汇总
注(同构概念的谱系). “同构”一词在数学中随结构而变:在集合论层面,同构就是双射;在向量空间层面,同构是线性双射(本节);到了内积空间,还要进一步保留几何信息——保持范数的线性双射称为等距同构 (isometry),我们将在第 6 章(内积空间)中引入。结构越丰富,同构的要求越苛刻;而无论哪一层,“同构 = 两个对象在该结构下不可区分”的思想不变。此外,从空间到自身的同构称为自同构 (automorphism);在复合运算下,\(V\) 的全体可逆算子构成一个群,称为一般线性群,记作 \(\mathrm{GL}(V)\)。
定理(单、满、可逆的集合观点). 设 \(V\)、\(W\) 是 \(\mathbb{F}\) 上有限维向量空间。
(a) 若 \(\dim V=\dim W\),则 \(\mathcal{L}(V,W)\) 中“全体单射”“全体满射”“全体同构(可逆映射)”这三个集合相等。
(b) 若 \(\dim V\neq\dim W\),则 \(\mathcal{L}(V,W)\) 中不存在同构;且当 \(\dim V\lt\dim W\) 时无满射(但有单射),当 \(\dim V\gt\dim W\) 时无单射(但有满射)。
证明.(a) 设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 单。由基本定理 \(\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T=\dim V=\dim W\),而 \(\operatorname{range}T\) 是 \(W\) 的子空间,由“同维子空间必相等”(定理 3.65 证明中的引理)得 \(\operatorname{range}T=W\),即 \(T\) 满。反之设 \(T\) 满,则 \(\dim\operatorname{null}T=\dim V-\dim W=0\),故 \(T\) 单。于是“单”与“满”给出同一个集合;由命题 3.63,它也是“可逆”给出的集合。
(b) 若 \(T\) 单,则 \(\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=\dim\operatorname{range}T\le\dim W\);若 \(T\) 满,则 \(\dim W=\dim\operatorname{range}T\le\dim V\)。故当 \(\dim V\lt\dim W\) 时无满射,当 \(\dim V\gt\dim W\) 时无单射;两种情形下“单且满”都不可能,故无同构。存在性:若 \(\dim V\le\dim W\),取 \(V\) 的基 \(v_1,\dots,v_k\) 与 \(W\) 中线性无关组 \(w_1,\dots,w_k\)(例如 \(W\) 的基的前 \(k\) 个),令 \(Tv_j=w_j\),则 \(T\) 单;若 \(\dim V\ge\dim W\),取 \(W\) 的基 \(w_1,\dots,w_m\),令 \(Tv_j=w_j\) (\(j\le m\))、\(Tv_j=0\) (\(j\gt m\)),则 \(T\) 满。∎
例(求逆两法).(a) 公式法:设 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\),则 \(\Delta=2\cdot 1-1\cdot 1=1\neq 0\),故 \[ A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}. \] 回到算子语言:设 \(T(x,y)=(2x+y,\;x+y)\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\),由定理 3.86,\(T^{-1}(u,v)=(u-v,\;-u+2v)\);可直接验证 \(TT^{-1}=T^{-1}T=I\),这也与定理 3.65 一致(\(T\) 单:\(T(x,y)=(0,0)\Rightarrow x=y=0\))。
(b) 消元法:设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\)。对 \((\,A\mid I_2\,)\) 作初等行变换: \[ \left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&7&0&1\end{array}\right) \xrightarrow{\;r_2-3r_1\;} \left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&-3&1\end{array}\right) \xrightarrow{\;r_1-2r_2\;} \left(\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-2\\0&1&-3&1\end{array}\right) \] 故 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}\);此处 \(\Delta=1\cdot 7-2\cdot 3=1\),与公式 (a) 的算法一致,并可验算 \(AA^{-1}=I_2\)。
命题(\(\cong\) 是等价关系). 向量空间之间的同构关系满足:(i) 自反性:\(V\cong V\);(ii) 对称性:\(V\cong W\Rightarrow W\cong V\);(iii) 传递性:\(V\cong W,\ W\cong U\Rightarrow V\cong U\)。
证明.(i) 恒等映射 \(I_V\) 是线性双射。(ii) 设 \(T\colon V\to W\) 是同构。由命题 3.63 证明的后半部分,\(T^{-1}\in\mathcal{L}(W,V)\);它单(若 \(T^{-1}w_1=T^{-1}w_2\),用 \(T\) 作用得 \(w_1=w_2\))且满(任取 \(v\in V\),有 \(v=T^{-1}(Tv)\)),故 \(T^{-1}\) 是从 \(W\) 到 \(V\) 的同构。(iii) 线性映射的复合线性,双射的复合双射,故同构的复合是同构。∎
本节主线回顾.命题 3.63 把“可逆”翻译成“单且满”;定理 3.70 及其 Fⁿ 特例断言有限维空间在同构意义下由维数唯一决定——维数是完全不变量;定理 3.65 表明有限维算子的“单、满、可逆”三位一体(无限维或两空间不同时则会失效,见移位算子与投影);定理 3.86 把这一切移植到矩阵:\(\mathcal{M}(T^{-1})=\bigl(\mathcal{M}(T)\bigr)^{-1}\)。带着这些结论,我们将在 3.E 节构造新的空间(积空间与商空间),并在第 5 章进入算子理论的核心。
练习
练习 3.D-1
设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 可逆。证明 \(T^{-1}\) 也可逆,且 \((T^{-1})^{-1}=T\);并证明 \(T^{-1}\) 是同构。
解答由定义,\(T^{-1}T=I_V\) 且 \(TT^{-1}=I_W\)。把这两个等式从 \(T^{-1}\) 的角度看,正是“\(T\) 是 \(T^{-1}\) 的逆”的定义,故 \(T^{-1}\) 可逆且 \((T^{-1})^{-1}=T\)。再由命题 3.63,可逆等价于既单又满,故 \(T^{-1}\) 是从 \(W\) 到 \(V\) 的同构。
练习 3.D-2
设 \(V\) 是有限维空间,\(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 满足 \(ST=I_V\)。证明 \(S\) 与 \(T\) 都可逆,且 \(S=T^{-1}\)。举例说明 \(V\) 为无限维时结论可能失效。
解答\(T\) 单:若 \(Tu_1=Tu_2\),则 \(u_1=(ST)u_1=(ST)u_2=u_2\)。\(S\) 满:任取 \(v\in V\),\(v=(ST)v=S(Tv)\in\operatorname{range}S\)。由定理 3.65(\(V\) 有限维),\(T\) 单 ⟹ \(T\) 可逆;于是 \[ S=S\,I=S(TT^{-1})=(ST)T^{-1}=T^{-1}, \] 进而 \(TS=TT^{-1}=I_V\),故 \(S\) 也可逆。无限维反例:在 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 上取后移算子 \(S\) 与前移算子 \(T\),则 \(ST=I\) 但 \(TS\neq I\)(见例 3.64),两个算子都不可逆。
练习 3.D-3
求 \(A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\) 的逆矩阵,并验算。
解答\(\Delta=3\cdot 2-1\cdot 5=1\neq 0\),由二阶矩阵求逆公式, \[ A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix},\qquad AA^{-1}=\begin{pmatrix}3\cdot 2+1\cdot(-5)&3\cdot(-1)+1\cdot 3\\5\cdot 2+2\cdot(-5)&5\cdot(-1)+2\cdot 3\end{pmatrix}=I_2. \]
练习 3.D-4
设 \(U=\{(x,y,z)\in\mathbb{F}^3\colon x+y+z=0\}\)。证明 \(U\cong\mathbb{F}^2\),并写出一个显式同构。
解答定义 \(T\colon\mathbb{F}^2\to U\),\(T(a,b)=(a,\;b,\;-a-b)\)。\(T\) 线性显然;若三个分量均为零,则由前两个分量得 \(a=b=0\),故单;任取 \((x,y,z)\in U\),则 \(z=-x-y\),于是 \((x,y,z)=T(x,y)\),故满。因此 \(T\) 是同构。(另一解法:\(U\) 是 \(\mathbb{F}^3\) 的子空间且 \(\dim U=3-1=2\),由定理 3.70 的推论立得 \(U\cong\mathbb{F}^2\)。)
练习 3.D-5
判断下列命题真伪,并说明理由:(a) 存在从 \(\mathbb{R}^5\) 到 \(\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\) 的单线性映射;(b) 存在从 \(\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\) 到 \(\mathbb{R}^5\) 的单线性映射;(c) 存在 \(\mathbb{R}^3\) 上单而不满的算子;(d) \(\mathbb{F}^{\infty}\) 上的后移算子满而不单。
解答(a) 真:\(\dim\mathbb{R}^5=5\le 6=\dim\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\),由“单、满、可逆的集合观点”(b),单射存在。(b) 伪:\(\dim\mathcal{P}_5(\mathbb{R})=6\gt 5=\dim\mathbb{R}^5\),单射要求 \(\dim V\le\dim W\)。(c) 伪:由定理 3.65,有限维空间上的算子单、满、可逆三者等价。(d) 真:见例 3.64——后移算子把任意序列取为“去掉第一项”,故满;而 \((1,0,0,\dots)\) 与 \((0,0,0,\dots)\) 同像,故不单。
练习 3.D-6
设 \(V\)、\(W\) 是有限维空间,\(T\in\mathcal{L}(V,W)\)、\(S\in\mathcal{L}(W,V)\) 满足 \(ST=I_V\)。证明 \(\dim W\ge\dim V\),且 \(TS=I_W\) 当且仅当 \(\dim V=\dim W\)。
解答\(T\) 单(同练习 2 的论证),故 \(\dim V=\dim\operatorname{range}T\le\dim W\)。若 \(\dim V=\dim W\),由“单、满、可逆的集合观点”(a),\(T\) 单 ⟹ \(T\) 满 ⟹ \(T\) 是同构;对任意 \(w\in W\),写 \(w=Tv\),则 \((TS)w=T\bigl(S(Tv)\bigr)=T\bigl((ST)v\bigr)=Tv=w\),故 \(TS=I_W\)。反之,若 \(TS=I_W\),则同理 \(S\) 单,从而 \(\dim W\le\dim V\);结合已证的不等式即得 \(\dim V=\dim W\)。