线性泛函
到目前为止,我们把向量视为"被计算的对象"。本节换一个视角:把向量当作"可以被测量的对象",而每一次"线性测量"就是一个线性泛函。对偶性的核心事实是:一个向量由它在足够多线性泛函下的取值完全确定(见本节零化子的对偶刻画定理),因此"用函数的视角看向量"并不损失任何信息,反而带来一套强大的工具。
定义 3.108(线性泛函, linear functional). 设 \(V\) 是 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间。\(V\) 上的线性泛函是从 \(V\) 到 \(\mathbb{F}\) 的线性映射;换言之,线性泛函就是 \(\mathcal{L}(V, \mathbb{F})\) 中的元素。
由于取值域 \(\mathbb{F}\) 是一维的,线性泛函是最简单的线性映射,但正因如此,它们能够充当"探针",探测任意维向量空间的结构。
例 3.109(线性泛函的例子).
(a) 定义 \(\varphi : \mathbb{F}^2 \to \mathbb{F}\) 为 \(\varphi(x, y) = 3x - 5y\)。容易验证 \(\varphi\) 保持加法与数乘,故它是 \(\mathbb{F}^2\) 上的线性泛函。事实上,\(\mathbb{F}^2\) 上的每个线性泛函都具有 \((x, y) \mapsto ax + by\) 的形式(比较练习 5 的超平面刻画)。
(b) 定义 \(\varphi : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\) 为 \(\varphi(p) = p(3)\),即"在 \(3\) 处求值"。因为求值与加法、数乘可交换,\(\varphi\) 是 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上的线性泛函。
(c) 定义 \(\varphi : \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\) 为 \(\varphi(p) = \int_0^1 p(t)\,dt\)。由积分的线性性,\(\varphi\) 是 \(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\) 上的线性泛函。
(d)(预告)元素取自 \(\mathbb{F}\) 的 \(n \times n\) 矩阵全体构成一个 \(n^2\) 维向量空间,其上最重要的线性泛函之一是迹 \(\operatorname{trace}\)(对角元之和)。迹与特征理论的深刻联系将在原书后续章节中展开;本节末尾我们先用对偶观点解决另一个经典问题——列秩与行秩的相等。
反例. \(\varphi(x, y) = xy\) 不是 \(\mathbb{F}^2\) 上的线性泛函:因为 \(\varphi\big((1, 0) + (0, 1)\big) = \varphi(1, 1) = 1\),而 \(\varphi(1, 0) + \varphi(0, 1) = 0 + 0 = 0\),两者不相等。线性泛函必须同时满足可加性与一次齐次性,缺一不可。
对偶空间与对偶基
定义 3.110(对偶空间, dual space). \(V\) 上全体线性泛函构成的集合称为 \(V\) 的对偶空间,记作 \[ V' = \mathcal{L}(V, \mathbb{F}). \] 由 3.A 中"\(\mathcal{L}(V, W)\) 在自然的加法与数乘下构成向量空间"的结论(取 \(W = \mathbb{F}\)),\(V'\) 是一个向量空间,其零元素是零泛函 \(0(v) = 0\)。
下面定理表明,在有限维情形,\(V'\) 与 \(V\) 的维数相同。证明的关键是构造一组特殊的泛函——它们随后被命名为对偶基。
定理 3.111. 设 \(V\) 有限维,则 \(\dim V' = \dim V\)。
证明. 设 \((v_1, \dots, v_n)\) 是 \(V\) 的一组基。对每个 \(j = 1, \dots, n\),定义 \(\varphi_j : V \to \mathbb{F}\) 如下:当 \(v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\) 时,令 \(\varphi_j(v) = a_j\)。由于基表示的唯一性,这个定义是良好的;并且若 \(v = \sum_i a_i v_i\),\(w = \sum_i b_i v_i\),\(\lambda \in \mathbb{F}\),则 \(v + \lambda w = \sum_i (a_i + \lambda b_i) v_i\),于是
\[ \varphi_j(v + \lambda w) = a_j + \lambda b_j = \varphi_j(v) + \lambda \varphi_j(w), \]故 \(\varphi_j \in V'\)。由构造立得
\[ \varphi_j(v_k) = \delta_{jk} \qquad (j, k = 1, \dots, n), \]其中 \(\delta_{jk}\) 是克罗内克符号 (\(j = k\) 时取 \(1\),否则取 \(0\))。
线性无关:设 \(c_1 \varphi_1 + \cdots + c_n \varphi_n = 0\)(零泛函)。在 \(v_k\) 处取值,得 \(c_k = 0\)(对每个 \(k\)),故 \((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 线性无关。
张成:任取 \(\varphi \in V'\),令 \(c_j = \varphi(v_j)\)。断言 \(\varphi = c_1 \varphi_1 + \cdots + c_n \varphi_n\):对任意 \(v = \sum_{k=1}^n a_k v_k\), \[ \Big(\sum_{j=1}^n c_j \varphi_j\Big)(v) = \sum_{j=1}^n c_j a_j = \sum_{j=1}^n a_j \varphi(v_j) = \varphi\Big(\sum_{j=1}^n a_j v_j\Big) = \varphi(v), \] 故两个泛函在所有 \(v\) 处取值相同,即相等。于是 \((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 是 \(V'\) 的基,从而 \(\dim V' = n = \dim V\)。∎
注. 当 \(V\) 无限维时,\(V\) 与其代数对偶空间之间不存在"自然的"同构,而且对偶空间在基数意义上严格更大;对偶性在无限维的恰当发展属于泛函分析。本教程如无特别说明,均设 \(V\)、\(W\) 有限维。
定义 3.112(对偶基, dual basis). 设 \((v_1, \dots, v_n)\) 是 \(V\) 的一组基。满足
\[ \varphi_j(v_k) = \delta_{jk} \qquad (j, k = 1, \dots, n) \]的泛函组 \((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 称为 \((v_1, \dots, v_n)\) 的对偶基。定理 3.111 的证明已给出其存在性;它也是唯一的:若 \((\psi_1, \dots, \psi_n)\) 满足同样的条件,则对任意 \(v = \sum_k a_k v_k\) 有 \(\psi_j(v) = a_j = \varphi_j(v)\),故 \(\psi_j = \varphi_j\)。对偶基把"取第 \(j\) 个坐标"这一操作推广到了任意基。
例 3.113(\(\mathbb{F}^3\) 的对偶基).
(a) 取 \(\mathbb{F}^3\) 的标准基 \(e_1, e_2, e_3\),其对偶基就是坐标泛函:\(\varphi_1(x, y, z) = x\)、\(\varphi_2(x, y, z) = y\)、\(\varphi_3(x, y, z) = z\)。此时 \((\mathbb{F}^3)'\) 的每个元素都可写成 \(a\varphi_1 + b\varphi_2 + c\varphi_3\),即 \((x, y, z) \mapsto ax + by + cz\)。
(b) 取 \(\mathbb{F}^3\) 的另一组基 \(v_1 = (1, 0, 0)\),\(v_2 = (1, 1, 0)\),\(v_3 = (1, 1, 1)\)。设 \(\varphi(x, y, z) = ax + by + cz\),解条件 \(\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}\):对 \(\varphi_1\),要求 \(a = 1\)、\(a + b = 0\)、\(a + b + c = 0\),解得 \((a, b, c) = (1, -1, 0)\);对 \(\varphi_2\) 解得 \((0, 1, -1)\);对 \(\varphi_3\) 解得 \((0, 0, 1)\)。故对偶基为
\[ \varphi_1(x, y, z) = x - y, \qquad \varphi_2(x, y, z) = y - z, \qquad \varphi_3(x, y, z) = z. \]可以直接验证 \(\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}\),例如 \(\varphi_1(v_2) = 1 - 1 = 0\)、\(\varphi_2(v_3) = 1 - 1 = 0\)。
对偶映射及其代数性质
线性映射 \(T : V \to W\) 诱导一个反方向的映射 \(T' : W' \to V'\):把 \(W\) 上的泛函"拉回"到 \(V\) 上。为便于表述,先引入配对 (pairing) 记号:对 \(\varphi \in V'\)、\(v \in V\),记
\[ \langle \varphi, v \rangle := \varphi(v). \]定义 3.118(对偶映射, dual map). 设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\)。定义 \(T'\) 为:对每个 \(\varphi \in W'\),
\[ T'(\varphi) = \varphi \circ T, \qquad \text{即} \qquad (T'\varphi)(v) = \varphi(Tv) \quad (v \in V). \]由于两个线性映射的复合仍线性,\(\varphi \circ T \in V'\),故 \(T'\) 把 \(W'\) 映入 \(V'\),称为 \(T\) 的对偶映射。注意方向恰好反转:\(T\) 从 \(V\) 到 \(W\),而 \(T'\) 从 \(W'\) 到 \(V'\)。
例(对偶映射的具体计算). 设 \(T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^3, \mathbb{F}^2)\) 由
\[ T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, \; 4x + 5y + 6z) \]给出。取 \(\mathbb{F}^2\) 的坐标泛函 \(\psi_1(u, v) = u\)、\(\psi_2(u, v) = v\),以及 \(\mathbb{F}^3\) 的坐标泛函 \(\varphi_1(x, y, z) = x\)、\(\varphi_2(x, y, z) = y\)、\(\varphi_3(x, y, z) = z\)。按定义 3.118,
\[ T'(\psi_1)(x, y, z) = \psi_1\big(T(x, y, z)\big) = x + 2y + 3z, \quad\text{即}\quad T'(\psi_1) = \varphi_1 + 2\varphi_2 + 3\varphi_3, \] \[ T'(\psi_2)(x, y, z) = 4x + 5y + 6z, \quad\text{即}\quad T'(\psi_2) = 4\varphi_1 + 5\varphi_2 + 6\varphi_3. \]注意系数的排列:若记 \(M(T)\) 为 \(T\) 在标准基下的 \(2 \times 3\) 矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\),则 \(T'\) 在对偶基下的矩阵恰是它的转置。这不是巧合,见定理 3.132。
例 3.119(微分算子的对偶). 考虑 \(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\) 上的微分算子 \(D \in \mathcal{L}\big(\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\big)\),\(Dp = p'\)。设 \(\varphi\) 是例 3.109(c) 中的积分泛函 \(\varphi(p) = \int_0^1 p(t)\,dt\)。由微积分基本定理,对每个 \(p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R})\),
\[ (D'\varphi)(p) = \varphi(Dp) = \int_0^1 p'(t)\,dt = p(1) - p(0). \]记 \(\varepsilon_a(p) = p(a)\)(在 \(a\) 处求值),则上式即 \(D'(\varphi) = \varepsilon_1 - \varepsilon_0\):求导的对偶把"积分"变成"端点求值之差"。类似地,\(D'(\varepsilon_a)(p) = \varepsilon_a(p') = p'(a)\),即求导的对偶把"求值"变成"先求导再求值"。这两个恒等式是分析学中"求导的伴随算子"的雏形。
编号说明. 本页条目编号与原书第 4 版 3.F 节一致:线性泛函与对偶基为 3.108–3.113,对偶映射为 3.118–3.120,零化子为 3.121、3.123–3.125,对偶映射的零空间与值域为 3.128–3.131,转置公式与列秩为 3.132、3.133;因本页先述值域后述满射等价,3.130 出现在 3.129 之前。原书另有若干编号未在本页单列:3.114(对偶基给出展开系数)与 3.116(对偶基是对偶空间的基)已含于定理 3.111 的证明及定义 3.112 之后的讨论;3.115、3.117 与 3.126 是原书证明中的公式编号,不予占用;3.122 与 3.127(判定零化子何时为 {0}、何时为全空间)已并入例 3.123 与定理 3.129、3.131 的证明。原书将 (S+T)′、(λT)′、(ST)′ 三条代数性质合并为定理 3.120,本页拆为数条,仅 (S+T)′ = S′ + T′ 沿用编号 3.120,其余各条不再编号;原书定理 3.130 还包含维数等式 (a),本页将其列为紧随其后的推论。原书 3.F 并无“矩阵的迹”的定义(迹在原书后续章节结合特征值理论专门讨论),故本节仅在例 3.109(d) 作了预告。编号的取舍不影响数学内容。
定理. 设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),则 \(T' \in \mathcal{L}(W', V')\);即对偶映射是线性映射。
证明. 设 \(\varphi, \psi \in W'\),\(\lambda \in \mathbb{F}\)。对每个 \(v \in V\),
\[ \big(T'(\varphi + \lambda \psi)\big)(v) = (\varphi + \lambda \psi)(Tv) = \varphi(Tv) + \lambda\, \psi(Tv) = \big(T'\varphi + \lambda\, T'\psi\big)(v). \]两个泛函在所有 \(v\) 处取值相同,故 \(T'(\varphi + \lambda\psi) = T'\varphi + \lambda\, T'\psi\),即 \(T'\) 线性。∎
定理 3.120. 设 \(S, T \in \mathcal{L}(V, W)\),则 \((S + T)' = S' + T'\)(两边都是 \(W'\) 到 \(V'\) 的线性映射)。
证明. 对任意 \(\varphi \in W'\) 与 \(v \in V\),
\[ \big((S + T)'\varphi\big)(v) = \varphi\big((S + T)v\big) = \varphi(Sv + Tv) = \varphi(Sv) + \varphi(Tv) = \big(S'\varphi\big)(v) + \big(T'\varphi\big)(v) = \big((S' + T')\varphi\big)(v). \]故 \((S + T)' = S' + T'\)。∎
定理. 设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),\(\lambda \in \mathbb{F}\),则 \((\lambda T)' = \lambda\, T'\)。
证明. 对任意 \(\varphi \in W'\) 与 \(v \in V\),
\[ \big((\lambda T)'\varphi\big)(v) = \varphi\big((\lambda T)(v)\big) = \varphi(\lambda\, Tv) = \lambda\, \varphi(Tv) = \big(\lambda\, T'\varphi\big)(v), \]其中第三个等号用了 \(\varphi\) 的线性。故 \((\lambda T)' = \lambda\, T'\)。∎
定理. 设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),\(S \in \mathcal{L}(W, U)\),则 \((ST)' = T' S'\)(注意次序反转)。
证明. 两边都是 \(U'\) 到 \(V'\) 的线性映射。对任意 \(\varphi \in U'\) 与 \(v \in V\),
\[ \big((ST)'\varphi\big)(v) = \varphi\big((ST)v\big) = \varphi\big(S(Tv)\big) = \big(S'\varphi\big)(Tv) = \big(T'(S'\varphi)\big)(v) = \big((T'S')\varphi\big)(v). \]故 \((ST)' = T'S'\)。∎
注. \(T \mapsto T'\) 保持加法与数乘,但反转复合的次序——用代数的语言说,这是一个"反变" (contravariant) 的构造。这与矩阵转置的规律 \((AB)^t = B^t A^t\) 完全呼应(见前文“对偶映射的具体计算”一例与定理 3.132)。
零化子
定义 3.121(零化子, annihilator). 设 \(U\) 是 \(V\) 的子空间。定义
\[ U^0 = \{\varphi \in V' : \varphi(u) = 0 \ \forall\, u \in U\}, \]称为 \(U\) 的零化子。直观地说,\(U^0\) 收集了所有"对 \(U\) 视而不见"的线性观测:用这些泛函去测量,恰好测不到 \(U\) 中的任何非零信息。
例 3.123(零化子的计算).
(a) 设 \(U = \{(x, y, 0) : x, y \in \mathbb{F}\} \subseteq \mathbb{F}^3\),并设 \(\varphi(x, y, z) = ax + by + cz\)。则 \(\varphi \in U^0\) 当且仅当 \(ax + by = 0\) 对一切 \(x, y\) 成立,当且仅当 \(a = b = 0\)。故
\[ U^0 = \operatorname{span}(\psi), \qquad \psi(x, y, z) = z, \]是一维的;与 \(\dim U = 2\) 相加恰为 \(3 = \dim \mathbb{F}^3\),与下面的定理 3.125 相符。
(b) 设 \(V = \mathcal{P}_3(\mathbb{R})\),\(U = \{p \in \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) : p(3) = 0\}\)。记 \(\varepsilon_3(p) = p(3)\)。显然 \(\operatorname{span}(\varepsilon_3) \subseteq U^0\)。反之,设 \(\varphi \in U^0\)。每个 \(p \in \mathcal{P}_3(\mathbb{R})\) 可写成 \(p = (x - 3)q + p(3)\),其中 \(q \in \mathcal{P}_2(\mathbb{R})\) 由多项式除法得到,且 \((x - 3)q \in U\)。于是
\[ \varphi(p) = \varphi\big((x-3)q\big) + \varphi\big(p(3)\big) = 0 + p(3)\,\varphi(1) = \varphi(1)\, \varepsilon_3(p), \]即 \(\varphi \in \operatorname{span}(\varepsilon_3)\)。故 \(U^0 = \operatorname{span}(\varepsilon_3)\)。
定理 3.124. 设 \(U\) 是 \(V\) 的子空间,则 \(U^0\) 是 \(V'\) 的子空间。
证明. 零泛函在每点取值为 \(0\),故 \(0 \in U^0\)。设 \(\varphi, \psi \in U^0\),\(\lambda \in \mathbb{F}\)。对每个 \(u \in U\),
\[ (\varphi + \lambda \psi)(u) = \varphi(u) + \lambda\, \psi(u) = 0 + \lambda \cdot 0 = 0, \]故 \(\varphi + \lambda\psi \in U^0\)。因此 \(U^0\) 对加法与数乘封闭,是 \(V'\) 的子空间。∎
定理 3.125. 设 \(V\) 有限维,\(U\) 是 \(V\) 的子空间(实或复向量空间均可),则
\[ \dim U + \dim U^0 = \dim V. \]证明. 设 \(\dim V = n\),\(\dim U = m\)。取 \(U\) 的基 \((v_1, \dots, v_m)\),将其扩充为 \(V\) 的基 \((v_1, \dots, v_m, v_{m+1}, \dots, v_n)\)。设 \((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 是后者的对偶基。断言:\((\varphi_{m+1}, \dots, \varphi_n)\) 是 \(U^0\) 的基。
属于 \(U^0\):对 \(j \gt m\) 与任意 \(u = \sum_{k=1}^m a_k v_k \in U\),有 \(\varphi_j(u) = \sum_{k=1}^m a_k \varphi_j(v_k) = 0\),故 \(\varphi_j \in U^0\)。
线性无关:\((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 是 \(V'\) 的基(定理 3.111),其子组当然线性无关。
张成:设 \(\varphi \in U^0\)。由定理 3.111 的证明,\(\varphi = \sum_{j=1}^n c_j \varphi_j\),其中 \(c_j = \varphi(v_j)\)。对 \(k \le m\) 有 \(v_k \in U\),故 \(c_k = \varphi(v_k) = 0\)。于是 \(\varphi = \sum_{j=m+1}^n c_j \varphi_j\) 属于 \(\operatorname{span}(\varphi_{m+1}, \dots, \varphi_n)\)。
因此 \(\dim U^0 = n - m\),从而 \(\dim U + \dim U^0 = m + (n - m) = n = \dim V\)。∎
注(关于矩阵的迹). 原书 3.F 的末尾并未给出"矩阵的迹"的定义;迹 \(\operatorname{trace}\) 作为线性泛函的重要性(例如 \(\operatorname{trace}(AB) = \operatorname{trace}(BA)\) 的对偶证明)要等到特征值理论就绪之后才展开,故本教程遵循原书安排,此处不作定义,仅在例 3.109(d) 中预告。
定理(零化子的对偶刻画). 设 \(V\) 有限维,\(U\) 是 \(V\) 的子空间,则
\[ U = \{\, v \in V : \varphi(v) = 0 \ \forall\, \varphi \in U^0 \,\}. \]换言之,\(U\) 恰由所有被 \(U^0\) 的全体泛函同时零化的向量组成:零化子忘掉的信息不多不少,正好是 \(U\) 之外的部分。
证明. 记右端集合为 \(R\)。若 \(u \in U\),则由 \(U^0\) 的定义,每个 \(\varphi \in U^0\) 都满足 \(\varphi(u) = 0\),故 \(u \in R\),即 \(U \subseteq R\)。
反之,设 \(v \notin U\),要证 \(v \notin R\)。取 \(U\) 的基 \((u_1, \dots, u_m)\)。列表 \((u_1, \dots, u_m, v)\) 线性无关:若 \(a v + \sum_i a_i u_i = 0\) 且 \(a \ne 0\),则 \(v = -\frac{1}{a} \sum_i a_i u_i \in U\),矛盾;故 \(a = 0\),进而由 \(U\) 基的无关性得所有 \(a_i = 0\)。将该列表扩充为 \(V\) 的基并取对偶基,则其中与 \(v\) 配对的对偶泛函 \(\varphi\) 满足 \(\varphi(v) = 1 \ne 0\),同时 \(\varphi\) 在 \(u_1, \dots, u_m\) 上取零、从而在 \(U\) 上恒为零,即 \(\varphi \in U^0\)。于是存在 \(\varphi \in U^0\) 使 \(\varphi(v) \ne 0\),故 \(v \notin R\)。综上 \(U = R\)。∎
注(双对偶). 把上述思想形式化:定义赋值映射 \(\mathrm{ev} : V \to V''\)(\(V'' = (V')'\) 称为双对偶空间),\(\mathrm{ev}(v)\) 是"\(v\) 作为求值器":\(\mathrm{ev}(v)(\varphi) = \varphi(v)\)。容易验证 \(\mathrm{ev}\) 线性;上一定理(取 \(U = \operatorname{span}(v)\) 的论证)表明 \(\mathrm{ev}\) 单射,而 \(\dim V'' = \dim V' = \dim V\),故 \(\mathrm{ev}\) 是自然同构。在这个同构下,\(U\) 恰对应 \((U^0)^0\):对偶操作做两次,回到了出发点。
对偶映射的零空间、值域与秩
本小节的主线可以浓缩为一句话:\(T\) 的几何性质可以从 \(T'\) "反读"出来。四个定理 3.128、3.130、3.129、3.131 分别对照:零空间对值域、值域对零空间、满射对单射、单射对满射。
定理 3.128. 设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),则
\[ \operatorname{null} T' = (\operatorname{range} T)^0. \]证明. 设 \(\varphi \in W'\)。则
\[ \varphi \in \operatorname{null} T' \iff T'\varphi = 0 \iff (T'\varphi)(v) = 0 \ \forall\, v \in V \iff \varphi(Tv) = 0 \ \forall\, v \in V \iff \varphi \in (\operatorname{range} T)^0. \]最后一个等价是因为 \(\{Tv : v \in V\} = \operatorname{range} T\)。(注意此证明完全未用到有限维性。)∎
定理 3.130. 设 \(V\)、\(W\) 有限维且 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),则
\[ \operatorname{range} T' = (\operatorname{null} T)^0. \]证明. 分两步。
第一步(包含 \(\operatorname{range} T' \subseteq (\operatorname{null} T)^0\)):设 \(\varphi \in W'\),\(v \in \operatorname{null} T\)。则 \((T'\varphi)(v) = \varphi(Tv) = \varphi(0) = 0\),故 \(T'\varphi \in (\operatorname{null} T)^0\)。
第二步(维数相等):对 \(T' \in \mathcal{L}(W', V')\) 用秩–零化度维数公式(3.B;注意 \(\dim W' = \dim W\) 有限),并依次代入定理 3.128 与定理 3.125(应用于 \(W\) 的子空间 \(\operatorname{range} T\)):
\[ \dim \operatorname{range} T' = \dim W' - \dim \operatorname{null} T' = \dim W - \dim (\operatorname{range} T)^0 = \dim W - \big(\dim W - \dim \operatorname{range} T\big) = \dim \operatorname{range} T. \]另一方面,对 \(V\) 的子空间 \(\operatorname{null} T\) 用定理 3.125 以及 \(T\) 本身的秩–零化度维数公式:
\[ \dim (\operatorname{null} T)^0 = \dim V - \dim \operatorname{null} T = \dim \operatorname{range} T. \]于是 \(\dim \operatorname{range} T' = \dim (\operatorname{null} T)^0\),结合第一步的包含关系(有限维空间中维数相等的包含必为相等),得 \(\operatorname{range} T' = (\operatorname{null} T)^0\)。∎
推论. 设 \(V\)、\(W\) 有限维且 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),则 \(\dim \operatorname{range} T' = \dim \operatorname{range} T\);即 \(T\) 与 \(T'\) 有相同的秩 (rank)。
证明. 这正是定理 3.130 证明第二步中得到的第一个等式链:
\[ \dim \operatorname{range} T' = \dim W' - \dim \operatorname{null} T' = \dim W - \dim (\operatorname{range} T)^0 = \dim \operatorname{range} T. \]∎
定理 3.129. 设 \(V\)、\(W\) 有限维且 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),则 \(T\) 满射当且仅当 \(T'\) 单射。
证明. 先证:\(T\) 满射 \(\iff (\operatorname{range} T)^0 = \{0\}\)。若 \(\operatorname{range} T = W\),则 \(W\) 上处处为零的泛函只有零泛函。若 \(\operatorname{range} T \subsetneq W\),则由定理 3.125,\(\dim (\operatorname{range} T)^0 = \dim W - \dim \operatorname{range} T \ge 1\),故 \((\operatorname{range} T)^0 \ne \{0\}\)。
于是,由定理 3.128,
\[ T \text{ 满射} \iff (\operatorname{range} T)^0 = \{0\} \iff \operatorname{null} T' = \{0\} \iff T' \text{ 单射}, \]最后一个等价用了"线性映射单射当且仅当零空间平凡"。∎
定理 3.131. 设 \(V\)、\(W\) 有限维且 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),则 \(T\) 单射当且仅当 \(T'\) 满射。
证明. 由定理 3.125 与 \(\dim V' = \dim V\)(定理 3.111):
\[ T \text{ 单射} \iff \operatorname{null} T = \{0\} \iff \dim (\operatorname{null} T)^0 = \dim V = \dim V' \iff (\operatorname{null} T)^0 = V', \]其中最后一个等价是因为 \((\operatorname{null} T)^0\) 是 \(V'\) 的子空间,而 \(V'\) 中维数等于 \(\dim V'\) 的子空间只能是 \(V'\) 本身。再由定理 3.130,\((\operatorname{null} T)^0 = \operatorname{range} T'\),故上述条件等价于 \(\operatorname{range} T' = V'\),即 \(T'\) 满射。∎
补充例(验证 3.129 与 3.131). 设 \(T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^3, \mathbb{F}^2)\),\(T(x, y, z) = (x + y,\, y + z)\)。任给 \((a, b) \in \mathbb{F}^2\),取 \((x, y, z) = (a, 0, b)\) 得 \(T(x, y, z) = (a, b)\),故 \(T\) 满射,从而由 3.129 应有 \(T'\) 单射。直接验证:设 \(\psi(u, v) = au + bv\),则
\[ T'(\psi)(x, y, z) = a(x + y) + b(y + z) = ax + (a + b)y + bz, \]即 \(T'(\psi) = a\varphi_1 + (a + b)\varphi_2 + b\varphi_3\)(坐标泛函 \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\) 线性无关),上式为零当且仅当 \(a = b = 0\),确为单射。另一方面 \(T(1, -1, 1) = (0, 0)\),\(T\) 不是单射;相应地 \(\dim \operatorname{range} T' = \dim \operatorname{range} T = 2 \lt 3 = \dim V'\),故 \(T'\) 不是满射,与 3.131 相符。
作为本节的压轴,我们用对偶性给出"列秩等于行秩"的干净证明。先回忆 3.C 中的事实:对 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\) 及其基下的矩阵 \(M(T)\),把 \(\operatorname{range} T\) 中向量的坐标逐列排出便得 \(M(T)\) 的列空间,故 \(M(T)\) 的列秩 (column rank) 等于 \(\dim \operatorname{range} T\)。
定理 3.132(对偶基下的转置公式). 设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\),\((v_1, \dots, v_n)\) 与 \((w_1, \dots, w_m)\) 分别是 \(V\) 与 \(W\) 的基,\((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 与 \((\psi_1, \dots, \psi_m)\) 是相应的对偶基。若 \(A = M(T)\)(基 \((v_k)\) 与 \((w_i)\) 下),\(B = M(T')\)(基 \((\psi_i)\) 与 \((\varphi_k)\) 下),则 \(B = A^t\)。
证明. 记 \(A\) 的元素为 \(A_{i,k}\),即 \(T v_k = \sum_{i=1}^m A_{i,k} w_i\)(\(A\) 的第 \(k\) 列是 \(T v_k\) 的坐标)。\(B\) 的第 \(i\) 列是 \(T'(\psi_i)\) 在基 \((\varphi_1, \dots, \varphi_n)\) 下的坐标,其第 \(k\) 个分量为
\[ B_{k,i} = (T'\psi_i)(v_k) = \psi_i(T v_k) = \psi_i\Big(\sum_{j=1}^m A_{j,k} w_j\Big) = \sum_{j=1}^m A_{j,k}\, \psi_i(w_j) = A_{i,k}, \]最后一步用了 \(\psi_i(w_j) = \delta_{ij}\)。故 \(B_{k,i} = A_{i,k}\),即 \(B = A^t\)。∎
引理. 任意矩阵 \(A\) 的行秩 (row rank) 等于 \(A^t\) 的列秩。
证明. \(A\) 的第 \(k\) 行(作为 \(\mathbb{F}^n\) 中的行向量)恰好是 \(A^t\) 的第 \(k\) 列,故二者的行空间与列空间是同一个子空间,维数相等。∎
定理 3.133(列秩等于行秩). 任意矩阵的行秩等于列秩。因此矩阵的秩 (rank) 良定义。
证明. 设 \(A\) 是 \(m \times n\) 矩阵,元素属于 \(\mathbb{F}\)。取标准基下的线性映射 \(T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)\) 使 \(M(T) = A\)(即 \(T\) 由 \(A\) 乘列向量给出)。于是
\[ \operatorname{rowrank}(A) = \operatorname{colrank}(A^t) = \operatorname{colrank}\big(M(T')\big) = \dim \operatorname{range} T' = \dim \operatorname{range} T = \operatorname{colrank}\big(M(T)\big) = \operatorname{colrank}(A), \]其中第一个等号是上面的引理;第二个等号是定理 3.132(标准基的对偶基正是坐标泛函);第三个等号是 3.C 中“列秩 = 值域维数”应用于 \(T'\);第四个等号是前面的推论;最后一个等号是同一事实应用于 \(T\)。∎
小结与展望
对偶性的思想内核,是"用函数的视角看向量":不再把向量只当作被计算的对象,而把向量 \(v\) 看作作用于泛函的求值器 \(\varphi \mapsto \varphi(v)\)。零化子的对偶刻画定理保证这种视角无损——子空间 \(U\) 的全部信息都储存在 \(U^0\) 中,而维数公式 \(\dim U + \dim U^0 = \dim V\) 展现了完美的此消彼长。对偶映射反转变量的方向,复合的反序规律 \((ST)' = T'S'\) 与矩阵转置公式遥相呼应;3.128–3.131 则说明,\(T\) 的零空间、值域、单射性与满射性都可以从 \(T'\) 反读出来。
这一构造还有深远的后续。在第 6 章的内积空间中,每个向量 \(w\) 通过内积诱导线性泛函 \(v \mapsto \langle v, w \rangle\),零化子的角色由正交补 \(U^\bot\) 接替,公式 \(\dim U + \dim U^\bot = \dim V\) 与本节 3.125 完全平行;6.C 将用正交补处理最小化问题(例如最佳逼近),其论证结构与本节的对偶论证一一对应——这正是本节埋下的伏笔。更进一步,对偶空间是泛函分析中的弱收敛与分布理论、表示理论以及线性规划对偶定理的共同起点。
练习
练习 3.F-1
设 \(V\) 有限维,\(U_1\)、\(U_2\) 是 \(V\) 的子空间。证明 \((U_1 + U_2)^0 = U_1^0 \cap U_2^0\),并在 \(V = \mathbb{R}^3\)、\(U_1 = \{(x, y, 0) : x, y \in \mathbb{R}\}\)、\(U_2 = \operatorname{span}\big((0, 1, 1)\big)\) 时具体描述等式两边。
解答/提示设 \(\varphi \in V'\)。则 \(\varphi \in (U_1 + U_2)^0\) 当且仅当 \(\varphi\) 在所有形如 \(u_1 + u_2\)(\(u_i \in U_i\))的向量上为零。分别取 \(u_2 = 0\) 与 \(u_1 = 0\) 可得 \(\varphi\) 在 \(U_1\) 与 \(U_2\) 上分别恒为零,即 \(\varphi \in U_1^0 \cap U_2^0\)。反之,若 \(\varphi \in U_1^0 \cap U_2^0\),则 \(\varphi(u_1 + u_2) = 0 + 0 = 0\),故 \(\varphi \in (U_1 + U_2)^0\)。
具体验证:由例 3.123(a),\(U_1^0 = \operatorname{span}(\psi)\),\(\psi(x, y, z) = z\)。而 \(\varphi = ax + by + cz \in U_2^0\) 当且仅当 \(b + c = 0\),故 \(U_2^0 = \operatorname{span}(\alpha, \beta)\),其中 \(\alpha(x, y, z) = x\)、\(\beta(x, y, z) = y - z\)。于是 \(U_1^0 \cap U_2^0\) 中只剩 \(c\psi\) 且 \(b + c = 0\) 与 \(b = 0\) 联立得 \(c = 0\),即交为 \(\{0\}\)。另一边,\((0, 0, 1) = (0, 1, 1) - (0, 1, 0) \in U_1 + U_2\),结合 \(e_1, e_2 \in U_1\) 得 \(U_1 + U_2 = \mathbb{R}^3\),故 \((U_1 + U_2)^0 = \{0\}\),两边一致(这也与 3.125 相符:\(\dim(U_1^0 \cap U_2^0) = \dim V - \dim(U_1 + U_2) = 0\))。
练习 3.F-2
在 \(\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\) 中取基 \(p_1 = 1 + x\)、\(p_2 = 1 - x\)、\(p_3 = x^2\)。求其对偶基 \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\),并用"在 \(0\) 处求值与求导"把它们写成显式公式,最后验证 \(\varphi_j(p_k) = \delta_{jk}\)。
解答/提示设 \(p = \alpha p_1 + \beta p_2 + \gamma p_3\)。比较两边:常数项 \(p(0) = \alpha + \beta\),一次项系数 \(p'(0) = \alpha - \beta\)(因 \(p' = \alpha - \beta + 2\gamma x\)),二次项系数 \(\gamma = p''(0)/2\)(因 \(p'' = 2\gamma\))。于是
\[ \alpha = \frac{p(0) + p'(0)}{2}, \qquad \beta = \frac{p(0) - p'(0)}{2}, \qquad \gamma = \frac{p''(0)}{2}, \]而对偶基恰是"取坐标":\(\varphi_1(p) = \alpha\)、\(\varphi_2(p) = \beta\)、\(\varphi_3(p) = \gamma\)。验证:\(\varphi_1(p_1) = (1 + 1)/2 = 1\)、\(\varphi_1(p_2) = (1 - 1)/2 = 0\)、\(\varphi_1(p_3) = (0 + 0)/2 = 0\);同理 \(\varphi_2(p_2) = (1 + 1)/2 = 1\) 且 \(\varphi_2(p_1) = 0\)、\(\varphi_2(p_3) = 0\);\(\varphi_3(p_3) = 2/2 = 1\) 且 \(\varphi_3(p_1) = \varphi_3(p_2) = 0\)。故 \(\varphi_j(p_k) = \delta_{jk}\)。
练习 3.F-3
设 \(V\) 有限维,\(T \in \mathcal{L}(V)\)。证明:\(T\) 可逆当且仅当 \(T'\) 可逆,且此时 \((T')^{-1} = (T^{-1})'\)。
解答/提示设 \(T\) 可逆。由定理 3.120(c)(取 \(S = T^{-1}\)),\((T^{-1})' T' = (T T^{-1})' = (I_V)'\) 且 \(T' (T^{-1})' = (T^{-1} T)' = (I_V)'\)。又对任意 \(\varphi \in V'\) 与 \(v \in V\) 有 \((I_V)'(\varphi)(v) = \varphi(I_V v) = \varphi(v)\),故 \((I_V)' = I_{V'}\)。于是 \(T'\) 可逆且 \((T')^{-1} = (T^{-1})'\)。
反之,设 \(T'\) 可逆,则 \(T'\) 既单射又满射。由定理 3.129,\(T\) 满射;由定理 3.131,\(T\) 单射。有限维空间上的双射线性映射可逆(3.D),故 \(T\) 可逆。
练习 3.F-4
设 \(V\) 有限维,\(\varphi_1, \dots, \varphi_m \in V'\) 线性无关。证明:存在 \(v_1, \dots, v_m \in V\),使得 \(\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}\) 对所有 \(j, k\) 成立。(提示:考虑 \(E : V \to \mathbb{F}^m\),\(E(v) = \big(\varphi_1(v), \dots, \varphi_m(v)\big)\),先证 \(E\) 满射。)
解答/提示易见 \(E\) 线性。若 \(E\) 不满射,则 \(\operatorname{range} E\) 是 \(\mathbb{F}^m\) 的真子空间;由定理 3.125,\(\dim (\operatorname{range} E)^0 = m - \dim \operatorname{range} E \ge 1\),故存在非零 \(c = (c_1, \dots, c_m) \in \mathbb{F}^m\) 使 \(\sum_{j=1}^m c_j y_j = 0\) 对一切 \(y \in \operatorname{range} E\) 成立。取 \(y = E(v)\) 得 \(\sum_j c_j \varphi_j(v) = 0\) 对一切 \(v \in V\) 成立,即 \(\sum_j c_j \varphi_j = 0\),与线性无关矛盾。故 \(E\) 满射。
于是可取 \(v_k \in V\) 使 \(E(v_k) = e_k\)(第 \(k\) 个标准基向量),即 \(\varphi_j(v_k) = \delta_{jk}\)。
练习 3.F-5
设 \(V\) 有限维,\(\varphi \in V'\) 非零。(a) 证明 \(\dim \operatorname{null} \varphi = \dim V - 1\)(即 \(\operatorname{null} \varphi\) 是一个超平面 (hyperplane)),且对任意满足 \(\varphi(v_0) = 1\) 的 \(v_0\),有直和分解 \(V = \operatorname{null} \varphi \oplus \operatorname{span}(v_0)\)。(b) 反之证明:若子空间 \(U \subsetneq V\) 满足 \(\dim U = \dim V - 1\),则存在非零 \(\varphi \in V'\) 使 \(U = \operatorname{null} \varphi\)。
解答/提示(a) 因 \(\varphi \ne 0\),可取 \(v_1\) 使 \(\varphi(v_1) \ne 0\),缩放后记为 \(v_0\)(\(\varphi(v_0) = 1\))。由秩–零化度维数公式,\(\dim V = \dim \operatorname{null} \varphi + \dim \operatorname{range} \varphi = \dim \operatorname{null} \varphi + 1\),故 \(\dim \operatorname{null} \varphi = \dim V - 1\)。直和:任取 \(v \in V\),写 \(v = \big(v - \varphi(v) v_0\big) + \varphi(v) v_0\),第一项在 \(\operatorname{null} \varphi\) 中,第二项在 \(\operatorname{span}(v_0)\) 中;又若 \(a v_0 \in \operatorname{null} \varphi\),则 \(0 = \varphi(a v_0) = a\),交为零。故分解成立。
(b) 取 \(U\) 的基 \((u_1, \dots, u_{n-1})\)(\(n = \dim V\)),扩充为 \(V\) 的基 \((u_1, \dots, u_{n-1}, u_n)\)。定义 \(\varphi \in V'\):在这组基上取 \(\varphi(u_i) = 0\)(\(i \le n - 1\))、\(\varphi(u_n) = 1\)(即 \(\varphi\) 是与 \(u_n\) 配对的对偶基向量)。则 \(\varphi \ne 0\) 且 \(U \subseteq \operatorname{null} \varphi\);又 \(\dim \operatorname{null} \varphi = n - 1 = \dim U\),故 \(U = \operatorname{null} \varphi\)。