5.D 可对角化算子

例 1(对角算子)

定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^3)\) 为 \(T(x,y,z)=(6x,6y,7z)\)。\(T\) 在标准基下的矩阵为 \(\begin{pmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&7\end{pmatrix}\),是对角矩阵;这样的算子称为对角算子。容易看出它的特征值恰为对角元 \(6,7\),特征子空间的几何就是"沿坐标轴各自伸缩":\(T\) 把 \(x\)、\(y\) 两个方向都放大 \(6\) 倍,把 \(z\) 方向放大 \(7\) 倍。

例 2(换个基实现对角化)

定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{R}^2)\) 为 \(T(x,y)=(41x+7y,\,-20x+74y)\)。\(T\) 在标准基下的矩阵 \(\begin{pmatrix}41&7\\-20&74\end{pmatrix}\) 不是对角矩阵。但直接计算给出 \[ T(1,4)=(69,276)=69(1,4),\qquad T(7,5)=(322,230)=46(7,5), \] 即 \((1,4),(7,5)\) 都是特征向量。它们显然线性无关,故构成 \(\mathbf{R}^2\) 的基,而 \(T\) 在这组基下的矩阵是 \(\begin{pmatrix}69&0\\0&46\end{pmatrix}\)。于是 \(T\) 可对角化。这个例子说明:可对角化是算子本身的内在性质,与坐标的选取无关;"找一组使矩阵变对角的基",就是把坐标系掰到特征方向上去。

例 3(特征空间)

设 \(V\) 有基 \(v_1,v_2,v_3\),\(T\) 在此基下的矩阵为 \(\begin{pmatrix}8&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}\)。则 \[ E(8,T)=\operatorname{span}(v_1),\qquad E(5,T)=\operatorname{span}(v_2,v_3). \] 注意特征值 \(5\) 的特征空间是二维的:重根方向上"多出"的特征向量,正是可对角化得以发生的关键。

例 4(反例:幂零算子不可对角化)

定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^2)\) 为 \(T(x,y)=(y,0)\),它在标准基下的矩阵是 \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)。由 \(T^2=0\)(\(T\) 是幂零 (nilpotent) 算子)知 \(T\) 的唯一特征值是 \(0\),且 \[ E(0,T)=\operatorname{null}T=\{(x,0):x\in\mathbf{F}\}=\operatorname{span}\bigl((1,0)\bigr) \] 是一维的。于是 \(\dim E(0,T)=1<\dim\mathbf{F}^2=2\),5.55 的 (d)(从而 (a))不成立:\(T\) 不可对角化,且不论 \(\mathbf{F}=\mathbf{R}\) 或 \(\mathbf{C}\) 都如此。(其极小多项式是 \(z^2\),有重零点 \(0\),与下文的 5.62 相互印证;几何图像见图 2 右栏:整个平面被"剪切塌缩"到 \(x\) 轴上。)

例 5(反例:\(\mathbf{R}^2\) 上的旋转不可实对角化)

定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{R}^2)\) 为 \(T(x,y)=(-y,x)\),即绕原点逆时针旋转 \(90^\circ\)。若 \(Tv=\lambda v\) 且 \(v\neq 0\),则内积 \[ \langle Tv,v\rangle=\langle(-y,x),(x,y)\rangle=-yx+xy=0, \] 即 \(Tv\perp v\);而 \(\lambda v\perp v\) 当且仅当 \(\lambda=0\),此时又须 \(Tv=0\) 即 \(v=0\),矛盾。故 \(T\) 连一个(实)特征值都没有,遑论特征向量基:\(T\) 在 \(\mathbf{R}\) 上不可对角化。然而若把基域换成 \(\mathbf{C}\),则 \(\lambda^2=-1\) 给出特征值 \(\mathrm{i},-\mathrm{i}\),相应特征向量 \((1,-\mathrm{i}),(1,\mathrm{i})\),\(T\) 在 \(\mathbf{C}^2\) 上是可对角化的(练习 6)。可见可对角化依赖于基域 \(\mathbf{F}\):实向量空间上"转起来"的算子,到了复数域才摊得平。

例 6(用极小多项式判定不可对角化)

设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^3)\) 在某基下的矩阵为 \[ A=\begin{pmatrix}6&3&4\\0&6&2\\0&0&7\end{pmatrix}. \] 这是上三角矩阵,故特征值是对角元 \(6,7\)(5.41)。由上述第四条回顾事实,\((T-6I)^2(T-7I)=0\);又极小多项式 \(q\) 的次数不超过 \(\dim\mathbf{F}^3=3\) 且零点集恰为 \(\{6,7\}\),故 \(q\) 只可能是 \((z-6)(z-7)\) 或 \((z-6)^2(z-7)\)。直接计算: \[ (A-6I)(A-7I) =\begin{pmatrix}0&3&4\\0&0&2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&3&4\\0&-1&2\\0&0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&-3&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq 0. \] 于是 \(q=(z-6)^2(z-7)\),零点 \(6\) 是二重的。由 5.62,\(T\) 不可对角化。这与特征空间的账目吻合:\(E(6,T)=\operatorname{span}((1,0,0))\),\(E(7,T)=\operatorname{span}((10,2,1))\),两者维数之和 \(2<3\)。

例 7(完整演算)

设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^3)\) 在标准基 \(e_1,e_2,e_3\) 下的矩阵为 \[ A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&2&1\\0&0&3\end{pmatrix}. \] 我们按"特征值 → 特征空间 → 判定 → 对角化"四步完整处理。

第一步:特征值。\(A\) 是上三角矩阵,故特征值恰为对角元(5.41): \[ \lambda=1,\;2,\;3, \] 三者互异,共 \(3=\dim\mathbf{F}^3\) 个。

第二步:特征空间。逐个解齐次方程组 \((A-\lambda I)v=0\)。

对 \(\lambda=1\): \[ A-I=\begin{pmatrix}0&2&1\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}\;\Rightarrow\; z=0,\; y=0,\; x\ \text{自由},\qquad E(1,T)=\operatorname{span}\bigl((1,0,0)\bigr). \] 对 \(\lambda=2\): \[ A-2I=\begin{pmatrix}-1&2&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\;\Rightarrow\; z=0,\; x=2y,\qquad E(2,T)=\operatorname{span}\bigl((2,1,0)\bigr). \] 对 \(\lambda=3\): \[ A-3I=\begin{pmatrix}-2&2&1\\0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\; z=y,\; x=\tfrac32y,\qquad E(3,T)=\operatorname{span}\bigl((3,2,2)\bigr). \] (验算:\(A(2,1,0)=(4,2,0)=2(2,1,0)\),\(A(3,2,2)=(9,6,6)=3(3,2,2)\)。)

第三步:判定。两种判据都可以用:其一,三个互异特征值的个数等于 \(\dim\mathbf{F}^3\),由 5.58 直接断定可对角化;其二,\(\dim E(1,T)+\dim E(2,T)+\dim E(3,T)=1+1+1=3=\dim\mathbf{F}^3\),由 5.55(d) 同样断定。此外其极小多项式为 \((z-1)(z-2)(z-3)\),无重零点,与 5.62 一致。

第四步:写出对角化。取特征向量 \(v_1=(1,0,0)\),\(v_2=(2,1,0)\),\(v_3=(3,2,2)\) 作列组成过渡矩阵 \[ P=(v_1\ v_2\ v_3)=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad \det P=2\neq 0, \] 故 \(P\) 可逆、\(v_1,v_2,v_3\) 构成基(也可由 5.11 直接看出线性无关)。逐列验证 \(AP=PD\): \[ AP=\bigl(Av_1\ Av_2\ Av_3\bigr)=\begin{pmatrix}1&4&9\\0&2&6\\0&0&6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}=PD, \] 其中 \(D=\operatorname{diag}(1,2,3)\)。具体求逆可得 \[ P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&\tfrac12\\0&1&-1\\0&0&\tfrac12\end{pmatrix}, \] 于是 \[ P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}. \] 用算子的语言说:在基 \((1,0,0),(2,1,0),(3,2,2)\) 下,\(T\) 的矩阵就是对角矩阵 \(D\)。

例 8(高次幂的计算)

沿用例 7 的矩阵 \(A\)。先把 \(e_3=(0,0,1)\) 按特征向量基分解:解 \[ e_3=a\,v_1+b\,v_2+c\,v_3, \] 比较第三个坐标得 \(2c=1\),即 \(c=\tfrac12\);第二个坐标得 \(b+2c=0\),即 \(b=-1\);第一个坐标得 \(a+2b+3c=0\),即 \(a=\tfrac12\)。于是 \[ e_3=\tfrac12v_1-v_2+\tfrac12v_3. \] 由上述命题 (iii)(或直接由 \(T^rv=\lambda^rv\)), \[ A^{50}e_3=\tfrac12\cdot 1^{50}\,v_1-2^{50}\,v_2+\tfrac12\cdot 3^{50}\,v_3 =\Bigl(\tfrac12-2^{51}+\tfrac{3^{51}}{2},\; -2^{50}+3^{50},\; 3^{50}\Bigr), \] 一次乘法都不用做矩阵乘。这正是"在特征坐标系里,算子的幂就是标量的幂"。