4.5 采样与分辨率

接收机把射频信号转换到接收参考频率附近，记录的振荡频率是偏置 \(f=\nu-\nu_{\mathrm{rx}}\)，单位为Hz。把同相和相差四分之一周期的分量组成复数样本(complex sample)，可写为 \(s_n=I_n+iQ_n\)。符号 \(i\) 满足 \(i^2=-1\)，\(I_n\) 和 \(Q_n\) 是同一采样时刻的一对数值；它们不是两个不同时间点。正交检测(quadrature detection)利用这对分量区分正、负偏置（Keeler，2002，第5章）。

本节选取接收Q通道的符号，使正偏置信号写成 \(e^{+i2\pi ft}\)，并配合负指数的傅里叶变换。第4.4节的 \(M_+=M_x+iM_y\) 按几何磁化方向写成负相位演化；接收复信号若取其共轭，就得到这里的约定。改变Q通道符号时须同时换算变换符号和频率轴，不能只改一个负号。

这一口径必须先于代入公式。若文件把实部和虚部作为两个存储数计数，则总数可能为 \(2N\)。同一个“32768点”标签，既可能指32768个复数样本，也可能只相当于16384个复数样本。只看标签不能判断采集时间。Oxford的公开指南以其当地仪器的td、si约定说明过这一问题；移用时应先核对点数单位，而不能把其中的因子2当作普遍修正（Odell与Claridge，公开指南）。

这里的采集时间(acquisition time) \(T\) 采用包含 \(N\) 个采样间隔的记录长度约定。原始最后一个样本的时刻是 \((N-1)/SW\)，比 \(T\) 少一个间隔；这不构成公式冲突。离散变换把 \(N\) 点序列视为一个长度 \(N\Delta t\) 的周期，频率网格由这个长度确定。真实设备还可能有接收延迟、滤波群延迟或其他时间定义，应由文件说明确定，不把本节的零时刻当作全部仪器的触发时刻。

以下给出教学设定。某标称500MHz氢谱希望覆盖12ppm的窗口，以标称频率近似换算，所需总谱宽为 \(12\times500=6000\) Hz。接收参考置于窗口中心，偏置覆盖约 \(-3000\) 至 \(+3000\) Hz。选择 \(N=32768\) 个复数样本，则 \(\Delta t=1/6000\) s，即约166.667微秒；\(T=32768/6000\) s，约5.46133s。最后原始样本在 \(32767/6000=5.46117\) s。上述ppm到Hz换算使用标称频率，精确定标时仍应回到参考频率。

这两个调整针对不同问题。若把上例谱宽扩大为12000Hz而保持 \(N\)，间隔减半，记录时间也减半；更快的采样并未带来更长的观察。若同时把 \(N\) 增为65536，记录时间才回到约5.46133s。实际频率窗口通常还要留出边缘余量，避免把所需峰放在滤波滚降区域。理论采样区间并不保证设备在边缘具有完全平坦的响应。

混叠(aliasing)来自采样后的频率周期性。若相差整数倍谱宽的两个振荡以相同初始相位开始，则它们在全部整数采样时刻完全相同：

因此，复数采样保留符号并不意味着可以任意越过窗口。教学例令 \(SW=100\) Hz，允许区间为 \([-50,50)\) Hz，真实偏置 \(+75\) Hz与 \(-25\) Hz相差100Hz。每10毫秒采样一次，相位增量分别为 \(3\pi/2\) 和 \(-\pi/2\)，在单位圆上落在同一点。前四个复数样本依次是 \(1,-i,-1,i\)。若对数据直接变换，越界的 \(+75\) Hz便显示为 \(-25\) Hz，这种谱峰位置折回常称为折叠(folding)。

通用折回可写成 \(f_{\mathrm{alias}}=f-SW\lfloor(f+SW/2)/SW\rfloor\)，结果落入所选半开区间。这个等式是理想采样模型；实际接收滤波器可能在带外先削弱信号，越界峰不一定以原强度留下。发现可疑折叠时，应检查谱宽、中心频率和滤波设置，必要时扩大窗口重采。零填充不会改变式(4.5-2)中的等价关系，因而不能恢复丢失的频率归属。

窗口端点也需单独核对。偏置 \(+SW/2\) 与 \(-SW/2\) 在第 \(n\) 个时刻都给出 \((-1)^n\)，其正交分量恰好为零，因此两个端点不能同时作为不同频率保留。本节选择左闭右开区间，把正端点归到负端点。这个边界例不表示正交检测一般失去符号能力，而是采样周期性在端点处的具体结果。实际采集应把目标信号置于窗口内部。

乘 \(\Delta t\) 是本节便于对应连续积分的幅度约定，不改变频率位置。未移位的 \(k\) 从0到 \(N-1\)；达到或超过半谱宽的频率减去 \(SW\) 后放到负半轴。图示采用由负到正的偏置轴，与常见氢谱从大ppm到小ppm的绘图方向分别说明。所谓数字频率网格(digital frequency grid)，指这些计算位置的间距，不直接等于两条谱线能够分开的最小距离。

上例6000Hz谱宽与32768个复数样本给出 \(6000/32768=0.183105\) Hz的原始网格。它说明变换在哪里评价谱，而线形还取决于衰减、匀场、交换、相位和处理。若两条真实谱线本来各宽10Hz，网格从0.18Hz变成0.09Hz并不能据此判定相隔1Hz的两条线可分。反过来，单个高信噪比峰经合理线形拟合，其中心位置不必局限于某一个网格点。网格、峰位估计误差与谱线分辨率应分别报告。

更长观察为何可能有帮助，可以直接从相位差核验。教学设定两条线相隔0.4Hz，初始相位相同；经过1s，相对相位积累为 \(2\pi\times0.4\times1=0.8\pi\)，经过4s则为 \(3.2\pi\)。晚时刻的演化提供了区分两种频率的额外约束。可是，若信号早已衰减到噪声中，这个理论相位差就无法可靠测量。把 \(1/T\) 解释为一个必然可分开的阈值，会略去振幅、衰减、噪声及所用估计模型；本节用它表示网格间距。

有限时间也会改变线形。把尚未衰减的FID在 \(T\) 处停止，等价于乘一个矩形时间窗，频域出现截断相关的振荡旁瓣。延长真实采集时间能够观测更晚的相位演化，并减弱尚有信号时的截断；但若后段已经只有噪声，继续采集的收益有限（Keeler，2002，第4章）。因此，“采得更久”和“网格更细”虽经式(4.5-3)联系，仍需以FID尾部是否含可信信号作实验判断。

这可以理解为在原有有限序列定义的频率函数上增加评价位置，是傅里叶插值，不是对屏幕折线作任意平滑。取上例 \(z=4\)，总点数为131072，显示网格约0.0457764Hz。原始数据仍只有32768个复数样本，最后实测时刻仍约5.46117s。若把 \(N_{\mathrm{zf}}/SW\) 得到的约21.8453s写成实测采集时间，就错误地把补零区段算入了观察。

比较处理结果时，应把原始样本数和变换总点数分开保存。两幅谱图的点数不同，可能来自真实采集时间不同，也可能只来自填零设置；只报告最终“128K点谱”无法区分二者。nmrglue官方文档的zf_size以填零后的目标数组大小为参数；这种参数描述的是处理数组，而非仪器已经观察到的时间长度。本文没有运行该软件，引用其文档用于说明参数含义。

\(LB\) 的单位为Hz，非负范围用于额外衰减；窗必须写为 \(e^{-\pi LBt}\)。nmrglue的em文档给出离散指数窗及 \(LB/SW\) 的换算，与此约定一致。图中显示 \(\operatorname{Re}F_T\)，即零相位教学FID的实部响应，保留有限截断造成的振荡；没有显示模值谱 \(|F_T|\)。当 \(T\) 趋于无限大时，实部成为吸收Lorentz线，其半高全宽为 \(a/\pi=1/(\pi T_2)+LB\)。该宽度是模型的无限时间极限，不能直接当作有限曲线的测量宽度。

可先固定 \(LB=0\)，把 \(T\) 从0.05s增到2s，观察截断边界的包络与旁瓣变化；再固定较短的 \(T\)，逐步增大 \(LB\)。加窗让边界振幅下降，同时使无限时间参考线变宽。这里没有加入噪声，故不能从图上宣称信噪比提高。实际加窗对噪声和信号的共同影响，以及相位和基线处理，需要在下一节对真实处理步骤分别讨论。

对于已经记录的FID，可先比较不同填零倍数，确认峰顶和小裂分是否只受网格稀疏影响。若改变填零后只使曲线平顺，而宽峰仍重叠，下一步应查看线宽、匀场、样品交换或更有区分力的补充实验。若短FID的末端仍有明显振荡，应考虑延长真实采集或评估截断与加窗；不能把大量补零当成同等处理。

保存可复核记录时，至少列出接收参考位置、SW的Hz值、复数样本数 \(N\)、采样间隔、按声明约定计算的 \(T\)、填零后总点数与窗参数。若同时保存仪器原字段，则注明字段采用实数还是复数计数。将这些参数与原始FID一起提供，读者才有条件重算网格、判断混叠可能性，并比较处理前后的证据。