全谱拟合需要模型和参数都受检验
拟合过程比较模型与数据，结果可信还需要残差和可辨识性检查。
读图时保留这项条件：遗漏弱峰可造成结构化残差，小数位数不能代表实际置信程度。
遗漏一个弱峰，会留下怎样的残差
调节单峰中心和宽度，再切换包含弱峰的已知模型。
8.4.1 参数反演需要确定观察模型
前向模拟从参数生成谱，参数反演则在给定模型下寻找与观察相容的参数。全谱拟合利用连续谱中许多位置、强度和峰形信息，避免只依赖人工挑出的峰顶。但它仍以指定的自旋体系、组分与线形为前提，不能靠增加拟合点数自动解决错误结构或遗漏组分。
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拟合前写清目标：需要位移与耦合、组分面积、线宽，还是动力学参数。未知量不同，需要的观察模型也不同。一个任意洛伦兹峰叠加模型可描述局部形状，却未必遵守自旋能级与耦合关系；若目标是 J，应让参数通过自旋模型共同决定各条跃迁。
位移、J和线宽是谱参数，基线、相位、参照偏移及总体尺度属于其他必要参数。把它们混在一起而不说明，会使模型用基线掩盖遗漏信号，或用大线宽补偿错误裂分。先检查采集和处理，再用适当参数描述剩余可解释的差异。
拟合结果是在输入谱、处理方式、模型、约束与误差假设下的估计。优化收敛表示数值搜索结束；参数唯一、结构正确和不确定度可信还需另外检查。
8.4.2 目标函数必须匹配误差
令观察强度为 y，模型为 m，残差为观察减模型。简单最小二乘累加各点残差平方；若不同点有已知不同噪声尺度，则按各自标准差加权。权重描述数据可靠性，不能为了提高某候选排名而任意增加符合预期区域的权重。
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在独立高斯误差、正确模型及相应正则条件下，加权平方和与似然有关。实际处理谱可因加窗、插值和滤波而具有相关噪声，不能把补零后的每个点都当作新的独立观察。否则点数增多会让误差估计看似越来越小，却没有增加原始实验信息。
若噪声协方差已知，可以按其相关结构建立目标函数；也可根据原始采样和处理设计适当的重采样。仅对强峰附近选择数据，可能提高某些参数敏感性，却失去检查其他峰和基线的机会。报告实际窗口和排除区，说明排除水或溶剂的依据。
稳健损失能减轻少数异常点的影响，但不是移除不合模型证据的许可。若一整段峰形都被当成异常点，应检查模型是否遗漏组分。选择损失函数后保留有符号残差，使读者看到优化到底忽略或牺牲了哪部分观察。
8.4.3 初值、约束与局部解
非线性参数通过迭代搜索，可能停在局部解。位移接近的核、重叠组分和复杂耦合使目标函数出现多个相容区域。使用不同合理初值、比较最终目标函数与残差，比只启动一次并接受“成功”标志更有说服力。
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参数尺度需要处理：ppm位移、Hz耦合、任意面积和小基线项的数值差异很大。缩放或使用合适单位可改善搜索。线宽和面积通常设置物理合理边界，核编号置换则需要根据具体任务整理，避免把同一解的不同标签排列误算成独立解。
约束可以来自已知对称性、可信指认或独立实验。固定一个参数能让其他参数更稳定，但结果的不确定度以该固定假设为条件。若把并未测出的耦合强行固定为惯用值，应标明假设并检查敏感性，不能随后将其报告为拟合测量值。
某些参数在给定非线性参数后呈线性，例如适当模型中的总体尺度与低阶基线，可以利用线性求解减少搜索维数。是否能这样处理取决于参数化；组分响应、相位或交换模型不一定保持线性。计算便利不能改变原模型的物理含义。
保存初值、边界、缩放、损失、停止条件和全部相容结果。先检查边界解与局部残差，再比较不同起点。只有目标函数较小而没有其他检查，不能认定反演完成。
8.4.4 一个可复算的遗漏峰例题
下面为本书独立构造的数值谱，不对应真实样品。频率轴从−4到4 Hz，共1001点；主峰中心0 Hz、半高全宽1 Hz、面积1，弱峰中心2 Hz、宽0.5 Hz、面积0.1；常数基线0.02。两峰均使用上一节的单位面积洛伦兹表达式。
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另添加标准差0.003的独立高斯噪声，随机生成器采用固定种子84。先用单峰加常数基线拟合，再用双峰加常数基线拟合；两者都估计中心、宽度和面积。已知构造值只用于核验，优化仍从明确初值出发。
构造拟合练习包保存脚本、完整环境锁定文件、数值曲线与预期报告。先在相同环境复算，再改变噪声或弱峰面积，观察何时残差难以支持额外组分。每次保留新构造真值，避免把教学随机结果当成实验测量。
单峰模型残差均方根约0.025369，基线被抬高至约0.035616。弱峰附近仍有连续正残差，其他区域出现补偿差异。优化器已经结束，但它无法用一个峰正确表示两峰数据；继续收紧停止阈值不能修复模型中没有弱峰的问题。
双峰结果的主峰中心约−0.000814 Hz、宽0.998450 Hz、面积0.998893；弱峰中心约2.001508 Hz、宽0.499104 Hz、面积0.100172，基线约0.020021。残差均方根约0.002985，接近已知构造噪声。这说明该构造例中较完整模型恢复了预期参数。
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若用已知噪声标准差计算 Q，并除以相应自由度，单峰约71.798、双峰约0.997。接近1在这里与正确构造相容，因为噪声和采样假设已知；在实测相关噪声谱中，不能照搬此数字作为普适验收阈值。
增加峰会减少或维持最小残差，但多出来的峰也可能只是拟合噪声。该例能确认弱峰，是因为已知构造真值；真实任务还需要峰形、重复观察和化学依据。比较其他窗口或独立采集，有助于检查复杂模型是否能预测新的观察。
习题 8.4-1 · 同样的收敛标志
单峰与双峰优化都显示成功，但前者弱峰区有连续正残差。为什么不能宣布两模型同样有效？
参考解答成功只表示优化停止。连续残差提示单峰模型遗漏了谱信息；应检查模型、采集与处理，不能只继续迭代。双峰更符合该已知构造，但真实谱还需独立依据限制过拟合。
8.4.5 参数相关与不可识别性
两个参数可相互补偿：峰面积增大而基线降低，或两个重叠组分面积一增一减，都可能保持相似谱。此时单个参数估计不稳定，而某种参数组合仍稳定。应同时报告相关关系，不能只摘录每个数字的小数位数。
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一个严格例子是两组分具有完全相同单位谱形 L，模型为两个面积系数乘同一曲线。数据只能确定面积和；若总面积为1，任何非负系数对且和为1，都给完全相同谱。提高信噪比、补零或换优化器，均不能从这一观察恢复各自面积。
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这类在理想无噪声下仍存在的连续多解，属于模型与观察关系中的结构性不可识别。实际不可识别则可能由有限噪声、重叠、采样范围不足引起：理论上谱略有不同，现有数据却无法可靠区分。后者有时能通过改善实验解决，前者需要增加不同类型观察或改变参数化。
自旋拟合也有类似边界。本书另读取 GISSMO 乙醇公开参数，在五自旋模型中保持甲基组三核与亚甲基组两核严格等价，采用非选择性总氢检测。改变组内的教学耦合值，模拟总谱只在浮点舍入量级变化；改变两组之间的耦合则产生可见差异。
这项计算说明，在指定等价与检测模型下，某些组内耦合不能由该总谱独立估计。它没有重新运行 GISSMO，也没有重现原始优化或实验噪声。公开参数表中的数字因此不能一律当作同等可测的独立信息，物理值与模型中可识别值要分别判断。
习题 8.4-2 · 同谱组分
两个同谱组分总面积拟合为1.00，程序给 a=0.60、b=0.40。它们的单独面积已确定吗？
参考解答没有；0.20与0.80等同和组合也给相同谱。现有观察只确定和。需要区别性信号、分离或其他独立响应，才能给单独面积。
8.4.6 置信范围不能只来自小数位数
在解附近计算谱对参数的导数，可以观察哪些方向改变谱明显，哪些方向变化很小。导数矩阵的列近似相关，常提示参数补偿；由它建立的局部协方差依赖近似线性、噪声模型和独立性。严重非线性或边界解时，简单对称误差条可能误导。
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一种更直接的检查是固定某个参数的一系列值，每次重拟合其余参数，观察最佳目标函数如何增加。这称为剖面方法。若目标函数在很宽范围都近乎不变，该参数缺少约束；若上升明显，范围仍需按适当误差模型和统计条件解释。
重采样可用于检查噪声传播，但要保持相关结构和实际采样单位。重复采集或制样的变异也不同于一张谱上随机抽点。若系统参照、基线或模型错误未纳入，重采样会反复复制同一种偏差，从而得到很窄却不准确的范围。
打印许多位数字是计算输出精度；小置信范围是指定模型下的不确定度；与真实物理量一致还需检查模型、校准和实验响应。不能用任意一个代替另外两个。
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报告相容解范围时，区分连续平坦方向和离散的标签置换。即使所有参数各有有限局部范围，也可能在其他区域存在另一个解。多起点、剖面、参数敏感性与独立观察结合，才更接近任务所需的可识别性判断。
8.4.7 把拟合结果转成证据
残差形态给出检验方向：整体位移式差异提示参照或频率，峰翼反号可能提示相位，持续宽背景提示线形或基线，局部新峰提示遗漏信号。它们不是一一对应的诊断标签，应通过改变单一处理项或补充实验核对。
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HiFSA 与 GISSMO 研究展示了利用完整自旋参数组织氢谱的价值，也要求保留位移、耦合和条件的精度。这里的精度要求不能机械套到噪声不足的数据。为了使别人复算，应保存未过早舍入的参数；为了使别人解释，应给出可识别性和不确定度。
最后提交输入谱、处理历史、模型、参数表、残差、多个初值结果和范围判断。若拟合只覆盖一个局部片段，就按该片段报告结论；若结构仍有候选，则用拟合约束候选并选择区分实验。下一节将进一步讨论如何把相关证据组织成计算机辅助结构解析。
习题 8.4-3 · 补零与置信范围
同一 FID 补零后拟合点数翻倍，按独立点计算的置信范围缩小。可以宣布实验精度提高了吗？
参考解答不能。补零没有新增采集信息，相邻插值点相关。应按采样与处理的真实误差结构估计范围，检查独立采集、模型与参照，而非把所有格点当成独立数据。
关键术语
- 参数反演
- 在给定模型下由观察估计参数。
- 目标函数
- 用于比较模型与数据差异的函数。
- 残差
- 观察减模型预测的有符号差。
- 局部解
- 在附近参数范围无法继续改善的解。
- 参数相关
- 参数相互补偿或估计共同变化的关系。
- 结构性不可识别
- 理想观察也不能唯一确定参数的情形。
- 实际不可识别
- 现有噪声和实验范围不足以约束参数。
- 剖面
- 固定某参数后重拟合其余参数的结果。
- 协方差
- 描述估计量共同变异的量。
参考文献与计算资源
- Pauli GF, Chen SN, Lankin DC, et al. 2014. Essential Parameters for Structural Analysis and Dereplication by ¹H NMR Spectroscopy. Journal of Natural Products 77, 1473–1487. HiFSA 与参数报告研究。
- Dashti H, Westler WM, Tonelli M, Wedell JR, Markley JL, Eghbalnia HR. 2017. Spin System Modeling of Nuclear Magnetic Resonance Spectra for Applications in Metabolomics and Small Molecule Screening. Analytical Chemistry. GISSMO 原始研究。
- GISSMO / BMRB. 乙醇自旋参数记录；本节对已保存参数另做等价模型敏感性计算，未重跑平台优化。
- Kreutz C. 2018. An easy and efficient approach for testing identifiability. Bioinformatics 34, 1913–1921. 可识别性与剖面方法背景；原研究主要为动力学模型，本节只采用通用数学概念。
- SciPy 项目. least_squares 官方 API；本节构造例实际运行于固定环境。