9.2 非均匀采样与谱重建

需要区分采样点、增量、扫描与相位循环。一个逻辑间接维点可能需要多个正交分量或扫描，采样比例应采用同一计数方式。若完整计划有二百五十六个逻辑增量，每增量四次扫描、每扫描二点五秒，理想采集时间为二千五百六十秒；取六十四个增量则为六百四十秒，约从 42.7 分钟降到 10.7 分钟。

这个四倍时间比忽略固定准备、稳定和传输开销，且假定扫描数不变。为了补足信噪比而增加扫描时，总节约会下降。若比较方案分别改变了最长演化时间和扫描数，应逐项记录，不能将所有改善归给一个“25% 采样”的数字。

采样表至少保存网格长度、时间步长、所选索引、各点扫描数与正交采集约定。只给比例不足以复现：同样六十四个点可以集中在早期，也可以分布到末端，它们对窄峰、弛豫和伪影的约束不同。随机生成时还要保存实际索引，种子可作为额外记录。

若把原来完整采样的最长演化时间缩短，也能减少增量，但会降低独立频率编码能力。NUS 的一个用途是保留较长时间范围而减少其间的采样数量。仅保留一个很晚的点并不保证高分辨率，因为该点可能已因弛豫接近噪声；需要考察整个安排对目标峰宽的支持。

用十六点的无衰减复指数说明一个极端情况。第 k 个频率格点的信号写为 exp(2πikn/16)。若只观察 n 为零、二、四直到十四的偶数点，k=3 与 k=11 的两个信号完全相同，因为差值八在这些时间产生整周相位。两个单峰都同样稀疏，因此仅凭稀疏假设也不能选择真峰。

在奇数点，两信号反号；例如 n=1 时差的模为二。本书复算偶数点差异仅有约九乘十的负十五次方的浮点舍入，数学上为零。补测一个有辨别力的奇数点就能区分这两个特定候选，但不能据此声称一个点足以恢复任意复杂谱。

随机或 Poisson gap 等安排可减少这种规律性，但不能保证每个谱都被正确恢复。采样表要兼顾早期信号利用、较长演化编码与较大空隙的风险。Hyberts 等研究采样安排与迭代软阈值重建的组合，强调相对强度、伪影和计算成本的共同评价。[1]

采集顺序与时间索引也应分开记录。间接演化时间的大小不一定等于实验发生的先后次序。若样品在采集过程中变化或发生漂移，同一采样表按不同顺序执行可能产生不同误差。解释这种数据时，需要采集时钟与稳定性记录，不能只让重建算法把变化吸收到谱线中。

一种教学目标函数把采样残差平方与频域系数绝对值之和组合。A 包含规定逆傅里叶变换与取样操作，x 为待估谱系数，y 为实际采样；λ 控制稀疏惩罚。它使数据吻合与稀疏性形成折中，但 λ 不是可以任意增大而不改变物理量的显示参数。

软阈值把较小系数向零收缩，较大系数的幅度也可能降低。迭代方法轮流利用数据残差更新和稀疏收缩；FISTA 是加速这类优化的一个方法。[3] 收敛表示程序接近规定目标的解，不表示该目标已完整描述真实实验。数据范围、归一化和噪声变化后，相同 λ 的实际强度也会改变。

稀疏先验能减少补零伪影，却可能将真实弱峰当成应压制的系数。过小惩罚又可能保留噪声与旁瓣。确定参数应使用独立校准或明确噪声模型，并检查位置、幅度和假峰；不能只选择“背景最白”的输出作为正确谱。

复数相位与正交信息是模型的一部分。本例使用复数系数的模进行收缩，保留系数相位；若先丢弃虚部或取信号绝对值，线性傅里叶关系就已改变。实验数据的相位校正、接收顺序和轴方向也必须匹配实际模型，不能在重建后通过随意翻转轴掩盖错误。

按上式运行复数软阈值的 FISTA。λ=0.001 时，强峰恢复为 0.994218，弱峰为 0.094218，分别约低 0.58% 与 5.78%；其他格点系数为零。即使无噪声，非零惩罚仍造成幅度收缩，弱峰的相对偏差更大。

保持同一采样与算法，λ 增至 0.05 后，强峰为 0.769679，弱峰被压成零。已采点残差 RMS 从约 0.000850 增到 0.027675。模型中的真值已知，所以能够明确识别漏峰；未知样品中仅看最后谱，无法知道那个零位置原来是否具有弱信号。

可下载教学重建包，其中包括脚本、固定索引、环境要求与预期报告。解压后运行 nus_demo.py，并比较报告中的系数和残差；本书已在独立解压目录复算。这里的 25% 成功案例不提供任意 NMR 谱的最低采样比例。

进一步练习可将信号移到格点之间，加入衰减或已知噪声，再比较不同采样表。一次只改变一个条件，以确定偏差来源。若模拟包含真实线宽，应采用适当评价方式，不能继续把一个非零格点当作一个完整共振。重建输出与真实位移、面积之间的转换也要重新定义。

训练数据往往来自模拟，可以精确知道真值并扩展噪声和峰数。模拟中的线形、耦合、相位、动态范围与采样分布仍可能不同于实验。测试要单独包含真实数据，并检查训练范围外输入；同一分子的重复或同源数据分散到训练测试部分也可能造成泄漏。

Jahangiri 与 Orekhov 的 MR-Ai 研究包括逐点信号强度不确定度和不依赖参考谱的质量评分，也研究了不完整正交检测的恢复。[5] 这些任务与普通 NUS 并不完全相同。质量分数来自模型评价，实际用途需要对应数据校准；不能把一个高分作为所有弱峰必然真实的证明。

重建置信度可以用独立验证、噪声重复、不同采样表与模型扰动检验。相同数据换几个算法都给同一峰，可能增加支持，也可能共享先验和偏差。若使用多个采样表，应区分独立重新采集与同一完整数据回溯删点，二者对仪器漂移和样品变化的验证能力不同。

逐点区间覆盖率、峰检出率和积分误差是不同指标。附近点误差相关时，不能把逐点不确定度简单当成独立噪声来求面积精度。报告应保存区间校准样本数量与条件，并检查区间是否包含系统偏差，尤其是弱峰被压制成零的区域。

也可以用有真值的峰列表直接计数。若二十个真实峰中恢复十六个，同时另外产生两个假峰，召回率为十六除二十，即 80%；检出列表的精确率为十六除十八，约 88.9%。这两个指标分别反映漏峰与假峰，不能由一个整体谱图相似度替代。计数前还要规定位置容差和强度下限。

从完整实验回溯删点是方便的基准，能保持样品与处理条件一致，却与重新独立采集不同。原完整谱与删点输入共享部分噪声，评价时应说明这种相关。若研究声称改善了长期测量稳定性，还需要独立采集、不同时间或重复样品的数据来支持，不能只用一次完整谱的多个删点版本。

本节实际运行了简化 FISTA 与精确混叠例，没有运行 FID-Net 或 MR-Ai。复现记录应包含输入数据、采样表、代码、参数、输出及失败条件。把这些材料保存完整，后续研究比较才可以区分采集收益、重建收益和评价方式带来的差异。