主要先修：10.3 弱收敛、紧性与连续映射、10.4 特征函数与分布的唯一性、10.5 大数定律的证明与适用边界、10.6 中心极限定理及其推广、10.7 正则变化与重尾的矩条件
本节属于幂律与重尾专题路线；具体用途与证明范围见正文。
上一节用正则变化描述尾部，并用尾指数判断矩是否存在。现在固定一列独立同分布的观测，分别研究它们的最大值与和。两者都受到尾部影响，却保留不同的信息：最大值只取最大的观测，和则累积所有观测，并且可能包含正负抵消。下面凡讨论样本极限，均明确假设 \(X_1,X_2,\ldots\) 独立同分布；具有相同边缘分布的相关序列不能直接套用这些结论。
10.8.1 正则变化尾部与最大值
记 \(F\) 为 \(X_1\) 的分布函数，\(\overline F=1-F\)，并先假设 \(X_1\ge0\)。选择正数 \(a_n\)，使尺度上的期望超越次数趋于一：
这一选择可由尾部广义分位数给出。若尾部正则变化且无有限右端点，其渐近性质保证可选到上述 \(a_n\)；不需要 \(F\) 具有密度。对纯帕累托分布，归一化常数可以直接写出，稍后计算。
若 \(X_j\ge0\) 独立同分布，\(\overline F(t)=t^{-\alpha}L(t)\)，其中 \(\alpha>0\)，\(L\) 为最终正的慢变化函数，则上述归一化下
\(G_\alpha\) 称为 Fréchet 分布函数。本节始终用 \(\alpha\) 表示尾指数；极值理论中常用的极值指数为 \(\xi=1/\alpha\)。
证明。尾部无界和归一化条件推出 \(a_n\to\infty\)。固定 \(x>0\)，利用上一节的正则变化定义，有
置 \(u_n=\overline F(a_nx)\)，则 \(u_n\to0\)，而 \(nu_n\to x^{-\alpha}\)。独立性给出全部观测同时不超过阈值的概率，再用对数展开：
因为 \(nu_n^2=(nu_n)u_n\to0\)，取指数就得到所需极限。当 \(x<0\) 时概率恒为零；当 \(x=0\) 时，概率为 \(P(X_1=0)^n\)，它趋于零，因为无界尾部保证 \(P(X_1=0)<1\)。极限分布函数处处连续，因此得出弱收敛。证毕。
证明的主要步骤是把单次超越概率变为所有观测均未超越的概率，再计算后者的极限。相关样本中，第一步的乘积公式会失效；即使边缘尾指数相同，也可能需要另一个极限常数或不同条件。
10.8.2 帕累托最大值的精确分布与分位数
设 \(\overline F(t)=(x_{\min}/t)^\alpha\)，\(t\ge x_{\min}\)。取 \(a_n=x_{\min}n^{1/\alpha}\)，恰好有 \(n\overline F(a_n)=1\)。由独立性，归一化最大值在有限样本下的分布函数为
欲求最大值的 \(r\) 分位数，\(0<r<1\)，先令 \(P(M_n\le m)=r\)，对两边取 \(n\) 次方根，再解出阈值：
取 \(x_{\min}=1,\alpha=2,n=100,r=1/2\)。此时 \(a_n=10\)，而 \(2^{-1/100}\approx0.99309250\)，故精确中位数为 \((1-2^{-1/100})^{-1/2}\approx12.0320\)。Fréchet 近似为 \(10/\sqrt{\log2}\approx12.0112\)。这里求的是随机最大值的中位数，并非最大值的期望，也不是原分布的中位数。
10.8.3 和的稳定吸引域：条件与中心化
最大值的 Fréchet 极限适用于所有 \(\alpha>0\)。和的结论需要另外区分尾指数范围，并指定左右尾的比例。以下定理引用 Durrett《Probability: Theory and Examples》第五版定理 3.8.2 及其证明中的式（3.8.9）；本书保留同一截断中心，直接用指示函数形式写出补偿项。一般定理的长证明涉及截断项控制与极限跳跃测度，此处不把它省略成有限方差 CLT 的直接推论。
设 \(X_j\) 为实值独立同分布变量，\(0<\alpha<2\)，并且存在最终正的慢变化函数 \(L\) 以及 \(p,q\ge0\)、\(p+q=1\)，满足
选择 \(a_n>0\) 使 \(nP(|X_1|>a_n)\to1\)，令
极限 \(Y\) 的特征函数用下述约定唯一确定：
\(\nu\) 称为 Lévy 测度。上述表示没有额外的漂移项；这正对应式（10.8-8）中的截断中心，不能换中心后仍保留同一个特征函数。极限是非退化的 \(\alpha\) 稳定分布，但这一位置约定并不总让它成为严格稳定分布。
补偿积分在零点附近存在，因为 \(e^{itx}-1-itx=O(x^2)\)，而 \(\int_{|x|\le1}x^2\nu(dx)<\infty\) 恰好需要 \(\alpha<2\)。在远离零点处，\(\nu\) 的总质量有限，且 \(e^{itx}-1\) 有界。对于 \(\alpha\ge1\)，若在零点附近直接积分 \(e^{itx}-1\)，线性部分一般不能绝对积分。对称情形可以发生抵消，但它不能代替一般双尾模型中的补偿。
稳定的含义是：若若干独立变量都与 \(Y\) 同分布，它们的和经过确定的缩放与平移后，仍与 \(Y\) 同分布；严格稳定进一步要求平移为零。对 \(\alpha\ne1\)，可适当平移得到严格稳定版本。对 \(\alpha=1\) 且左右尾不平衡的分布，缩放还会引入对数位置项，不能仅靠一次固定平移消除。本文使用积分表示，就是为了避免不同参数化下的符号与位置混淆。
纯幂律给出 \(a_n\) 与 \(n^{1/\alpha}\) 成比例；一般正则变化还会带有慢变化因子，不能把所有重尾和都固定除以 \(n^{1/\alpha}\)。同样，双尾平衡条件是定理的一部分。只有 \(P(|X_1|>t)\) 的尾指数，并不足以确定极限的偏斜方向。
10.8.4 用均值中心化时，极限位置会改变
当 \(1<\alpha<2\) 时，绝对一阶矩有限，可令 \(\mu=EX_1\)。由尾积分和正则变化的积分渐近式，左右尾均值在尺度 \(a_n\) 之外的差，产生以下确定性位移：
均值中心化更便于解释样本均值的误差，但它对应的极限位置与截断中心不同。不能只因 \(b_n\sim n\mu\)，就认为二者在尺度 \(a_n\) 上没有差别；这里的差恰好与 \(a_n\) 同阶。
取 \(x_{\min}=1,\alpha=3/2\)，密度为 \((3/2)x^{-5/2}\)，\(x\ge1\)。先积分得到 \(\mu=3\)，二阶矩发散。尺度 \(a_n=n^{2/3}\)，而截断期望直接计算为
若 \(n=10^6\)，则 \(a_n=10^4\)，均值中心为 \(3\,000\,000\)，截断中心为 \(2\,970\,000\)。两者差 \(30\,000=3a_n\)。因此 \((S_n-3n)/a_n\Rightarrow Y-3\)，并且
强大数定律仍保证 \(\overline X_n\to3\) 几乎必然，因为一阶绝对矩有限。样本均值的随机误差却使用 \(n^{-1/3}\) 的尺度，其稳定极限不是通常有限方差 CLT 的正态极限。此例把“一致性”与“误差分布及尺度”分开计算。
当 \(\alpha=1\) 时，上述均值中心公式不适用：纯帕累托的均值发散，双尾对称变量的正负部分也可能都不可积。对单侧纯帕累托，\(x_{\min}=1\) 时有 \(a_n=n\)、\(b_n=n\log n\)，这些是合法的截断量，不能改写为不存在的 \(n\mu\)。若 \(0<\alpha<1\)，可以省去截断中心而得到另一个位置的稳定极限；省去中心不表示原来的 \(Y\) 完全不变。
10.8.5 柯西样本均值的精确分布
10.4节已用反演公式计算标准柯西分布的特征函数。这里沿用该结果，完整说明它对每个样本量的均值意味着什么。标准柯西密度和特征函数分别为
独立均值仍为柯西的证明。设 \(C_1,\ldots,C_n\) 独立且均为标准柯西变量。独立性和缩放规则给出
特征函数唯一性立即推出 \(\overline C_n\) 与 \(C\) 同分布。这是每个 \(n\) 的精确等式，不只是一条渐近结论。柯西分布函数为 \(1/2+\arctan(x)/\pi\)，所以 \(P(|\overline C_n|>1)=1/2\) 对所有 \(n\) 成立。样本均值不依概率收敛到零。另一方面，\(E|C|=\infty\)，且 \(EC^+\) 与 \(EC^-\) 均发散，因而不能把对称性解释成存在且等于零的均值。证毕。
这也不意味着柯西样本的一切统计量都失去正态极限。例如，样本中位数估计的是分布中位数零。由 19.5节的样本分位数理论，因为 \(f_C(0)=1/\pi>0\)，在常规中位数定义下有 \(\sqrt n\,\widehat m_n\Rightarrow N(0,\pi^2/4)\)。这是后续统计内容的联系，阅读本节无需先学19.5节。正态近似的成立与否需要结合所用统计量检查。
10.8.6 尾指数等于二：无限方差也可有高斯极限
非高斯稳定吸引域定理只覆盖 \(0<\alpha<2\)。在边界 \(\alpha=2\) 处，不能由二阶矩无限推断极限必为非高斯。正态吸引域的经典判据是截断二阶矩的慢变化性；可参见参考文献[3]的第2.1节所述判据。具体地，对非退化变量，若 \(H(t)=E[X_1^2\mathbf1_{\{|X_1|\le t\}}]\) 最终正且慢变化，则独立同分布和经合适中心与尺度可有高斯极限。均值有限时，可用 \(n\mu\) 为中心，但标准正态尺度应按中心化截断矩 \(H_\mu(t)=E[(X_1-\mu)^2\mathbf1_{\{|X_1-\mu|\le t\}}]\) 选择，使 \(nH_\mu(c_n)/c_n^2\to1\)。在以下无限方差例中，\(H_\mu(t)\sim H(t)\)，因而可用同一渐近主项计算。若方差有限，则应恢复方差常数，不能用未中心化的二阶矩代替方差。
设 \(P(X_1>x)=x^{-2}\)，\(x\ge1\)，故密度 \(f(x)=2x^{-3}\)。直接积分得
\(H\) 是慢变化函数。取 \(c_n=\sqrt{n\log n}\)，有
因此分母没有额外的 \(\sqrt2\)。截断二阶矩中的系数二，恰与 \(\log c_n\sim(\log n)/2\) 配合。若改用中心化变量 \(X_1-2\) 的截断二阶矩，主项仍是 \(2\log t\)，不改变这一常数。
对此帕累托例的截断证明。为直接核对极限，取 \(d_n=\sqrt n\log\log n\)（只考虑充分大的 \(n\)），令 \(Z_{n,j}=X_j\mathbf1_{\{X_j\le d_n\}}\)。并集界给出删掉任何一项的概率不超过 \(nd_n^{-2}=(\log\log n)^{-2}\to0\)。积分又给出 \(EZ_{n,1}=2-2/d_n\)，以及 \(\operatorname{Var}(Z_{n,1})=2\log d_n-(2-2/d_n)^2\sim\log n\)。
每个中心化截断项的绝对值不超过 \(d_n+2\)，而 \((d_n+2)/c_n\to0\)，故任意固定正阈值下，Lindeberg 尾项最终为零。结合 \(n\operatorname{Var}(Z_{n,1})/c_n^2\to1\)，10.6节的三角阵 CLT 给出截断和的正态极限。最后，中心差除以 \(c_n\) 为 \(2n/(d_nc_n)=2/(\log\log n\sqrt{\log n})\to0\)；截断和与原和相等的概率趋于一，用 Slutsky 定理即可恢复原和。证毕。
对于绝对值尾概率具有尾指数 \(\alpha>2\) 的正则变化实值变量，二阶矩有限，方差非零时回到10.6节的经典独立同分布 CLT。对于一般绝对值尾指数恰等于二的正则变化变量，慢变化因子决定二阶矩是否有限；不能把纯帕累托的 \(\sqrt{n\log n}\) 归一化当作整个边界类的统一公式。
10.8.7 习题与详解
习题 10.8.1 最大值的中位数如何随样本量增长？
独立帕累托样本的 \(x_{\min}=2,\alpha=1\)。求 \(n=10\) 时最大值中位数的精确值，给出大样本近似，并解释两者分别使用什么分布。
最大值的分布函数为 \((1-2/m)^{10}\)，其中 \(m\ge2\)。令其等于二分之一，先开十次方根，再反解阈值，得 \(m=2/(1-2^{-1/10})\approx29.8655\)。Fréchet 近似是 \(2n/\log2\approx28.8539\)。前一个值由有限样本分布精确计算，后一个值来自归一化最大值的极限分布；把原帕累托的中位数四代入，会漏掉取最大值这一操作。近似误差在这里可以直接由两种显式公式比较。
习题 10.8.2 截断中心能否直接改成均值中心？
纯帕累托的 \(x_{\min}=1,\alpha=4/3\)。求 \(a_n,\mu,b_n\)，并用定理10.8.2中的 \(Y\) 表示均值中心下的极限。
尾概率为 \(x^{-4/3}\)，故 \(a_n=n^{3/4}\)，均值为四。截断积分为 \(4(1-a_n^{-1/3})\)，乘以 \(n\) 得 \(b_n=4n-4a_n\)。所以 \((S_n-4n)/a_n=(S_n-b_n)/a_n-4\Rightarrow Y-4\)。虽然两个中心除以 \(n\) 都趋于四，其差除以用于极限的尺度却恒为四。因此替换中心必须同时平移极限变量，不能在保留补偿积分约定的同时声称极限仍是同一个 \(Y\)。
习题 10.8.3 柯西平均值为何不能估计“均值零”？
对独立标准柯西变量，求 \(P(|\overline C_n|>2)\)。说明它能否依概率趋于零，并解释“对称”与“均值存在”的关系。
由特征函数乘积，任何样本量下平均值仍是标准柯西变量，故所求概率为 \(1-2\arctan(2)/\pi\approx0.295167\)。该正数与样本量无关，因此不满足依概率收敛到零的定义。密度的对称性保证中位数为零，却不能保证一阶绝对矩有限。柯西的正负部分期望均无限，通常期望没有定义；将一个对称主值积分的结果称为均值，会把两个不同积分概念混在一起。
习题 10.8.4 核对高斯边界的尺度常数
设 \(P(X_1>x)=(2/x)^2\)，\(x\ge2\)，且样本独立同分布。求均值、截断二阶矩，以及使中心化和趋于标准正态的一个尺度。
密度为 \(8x^{-3}\)，直接积分得到均值四，截断二阶矩为 \(H(t)=8\log(t/2)\)，\(t\ge2\)。取 \(c_n=2\sqrt{n\log n}\)，则 \(nH(c_n)/c_n^2=2\log(c_n/2)/\log n\to1\)。所以 \((S_n-4n)/(2\sqrt{n\log n})\Rightarrow N(0,1)\)。也可以令 \(X_j=2V_j\)，其中 \(V_j\) 是下界一的帕累托，直接对本节边界结论做线性变换。两种方法得到相同常数，检查了尺度参数应保留在分母中。
关键术语与阅读出口
Fréchet 极限：正则变化右尾的独立最大值经尾部分位数归一化后的极限。稳定吸引域：独立同分布和经适当中心与尺度后收敛到稳定分布的分布类。双尾平衡：左右尾各自在绝对值尾概率中所占比例的极限。截断中心：只对不超过当前尺度的观测取期望，再乘以样本量。Lévy 测度：在补偿积分中决定极限跳跃大小与方向的测度。正态吸引域：允许比平方根样本量更一般的尺度，极限仍为高斯的分布类。
本节建立尾部性质与样本极限的联系。统计部分可继续阅读 顺序统计量、分位数与极值，再沿 幂律模型的拟合、检验与比较、尾指数估计与阈值选择、阈值超越与极端分位数估计进入尾部推断。估计尾指数需要处理阈值、偏差和有效尾部样本量；概率极限定理本身不会替数据选择阈值。
参考文献与证明范围
- Durrett, R. Probability: Theory and Examples, 5th ed., Cambridge University Press, 2019，§3.8，定理3.8.2及式（3.8.9），并参见例3.4.13的无限方差高斯极限。作者公开版本。本节引用一般稳定吸引域定理，保留与截断中心匹配的指示函数补偿形式。
- Resnick, S. I. Heavy-Tail Phenomena: Probabilistic and Statistical Modeling. Springer, 2007。参见正则变化、弱收敛及其重尾应用。出版社页面与目录。最大值极限、帕累托算例、中心位移及边界截断证明均在本节展开。
- Heiny, J., and Mikosch, T. Almost Sure Convergence of the Largest and Smallest Eigenvalues of High-Dimensional Sample Correlation Matrices，作者稿，2017，§2.1。该节说明正态吸引域与截断二阶矩慢变化的等价条件；本节仅使用这一概率判据，不引用其随机矩阵结论。作者公开稿。