第13章布朗运动与随机分析基础

本章导言

指定每个时刻的分布，并不足以指定一个随机过程；即使给定一致的有限维分布，也还需要研究路径是否连续。本章先区分分布层面的构造与路径层面的正则性，再以布朗运动为主要对象。

布朗运动的独立增量和缩放性质使许多分布可以直接计算，但其路径不具有通常微积分所需的光滑性。二次变差解释了伊藤积分与普通积分的差别，也是伊藤公式中二阶修正项的来源。

最后一节研究随机微分方程的积分含义、存在唯一性条件和两个可显式求解的模型。与偏微分方程的联系在光滑、有界等可验证条件下推导；局部鞅的一般理论、一般半鞅积分及随机偏微分方程留作进一步专题。

先修知识与阅读方式

第9–11章的测度、积分、收敛和鞅；第12章的过程语言；需要多元微积分与常微分方程基础。

先按顺序读定义和证明，再独立完成练习。若直接从本章进入，可回到全书学习路线检查先修知识；遇到技术性证明思路，应结合节末文献补读对应论证。