第10章收敛、特征函数与极限定理

本章导言

同一随机变量序列可以在一种意义下收敛，却在另一种意义下不收敛。本章先区分逐条样本路径、偏离概率、Lp距离和分布测度这四种对象，再用反例和蕴含关系说明它们之间的联系。

Borel—Cantelli引理把无穷次发生的问题转成概率级数问题。弱收敛和紧性研究分布序列的极限；特征函数将独立和转成乘积，使中心极限定理的证明能够化为局部展开与极限运算。

本章重新证明第8章的核心结论，并说明为什么某些矩条件不可省略。大数定律着重截断与尾部控制；中心极限定理着重方差归一化及单项贡献的限制。多元与非同分布版本均单独列出条件，不能直接套用最初的独立同分布表述。

在有限方差CLT之后，10.7用正则变化分析尾部与矩，10.8分别研究独立和与最大值。方差无限时需要重新确定归一化；尾指数的临界值仍可能出现正态极限。一般稳定吸引域的长证明按节内文献引用，帕累托与柯西例子直接推导。查看专题路线。

先修知识与阅读方式

第9章的可测性、积分收敛定理和Lp空间；已有第8章大数定律与中心极限定理的计算经验。

先按顺序读定义和证明，再独立完成练习。若直接从本章进入，可回到全书学习路线检查先修知识；遇到技术性证明思路，应结合节末文献补读对应论证。