本节使用测度的连续性和勒贝格积分、单调收敛定理；混合与Cantor分布见9.2节。所有测度定义在同一可测空间 \((\Omega,\mathcal F)\) 上。“正测度”指非负测度，允许零测度。存在性证明先完整处理有限正测度，再给出 \(\sigma\) 有限的拼接步骤；辅助Hahn引理限于两个有限正测度之差。
9.6.1 绝对连续与互相奇异
若每个 \(A\in\mathcal F\) 都满足 \(\mu(A)=0\Rightarrow\nu(A)=0\)，称 \(\nu\) 关于 \(\mu\)绝对连续（absolutely continuous），记作 \(\nu\ll\mu\)。若存在 \(N\in\mathcal F\)，使 \(\mu(N)=0\)、\(\nu(N^c)=0\)，称两测度互相奇异（mutually singular），记作 \(\nu\perp\mu\)。若两方向均绝对连续，称它们等价（equivalent），记作 \(\nu\sim\mu\)。
绝对连续比较零测集，不要求测度值接近。例如 \(2\mu\ll\mu\)。奇异则允许某个对 \(\mu\) 完全无质量的集合承载全部 \(\nu\) 质量；点质量 \(\delta_0\) 与勒贝格测度 \(\lambda\) 奇异，Cantor分布也与 \(\lambda\) 奇异。后者的CDF却连续；对实分布，相对于 \(\lambda\) 的绝对连续比CDF连续更强。
若 \(\nu\ll\mu\) 且 \(\nu\perp\mu\)，则 \(\nu=0\)：取定义中的 \(N\)，绝对连续使 \(\nu(N)=0\)，奇异性使 \(\nu(N^c)=0\)。此外，若已有非负可测 \(f\) 满足 \(\nu(A)=\int_A f\,d\mu\)，就立即有 \(\nu\ll\mu\)。拉东—尼科迪姆定理处理反方向：零测集条件何时足以保证密度存在。
9.6.2 有限差测度的Hahn分解
证明中需要比较 \(\rho\) 与 \(\varepsilon\mu\)，其差可能为负。设 \(\eta=\alpha-\beta\)，其中 \(\alpha,\beta\) 是有限正测度。这样的有限有符号测度（finite signed measure）保持可数可加性，也保持集合单调极限下的连续性，因为两项分别具有这些性质。
存在不交可测集 \(H,N\)，使 \(\Omega=H\cup N\)，且 \(H\) 的每个可测子集 \(A\) 满足 \(\eta(A)\ge0\)，\(N\) 的每个可测子集 \(A\) 满足 \(\eta(A)\le0\)。它们分别称为正集与负集；仅有 \(\eta(H)\ge0\) 不足以成为正集。
证明。令 \(c=\inf_{A\in\mathcal F}\eta(A)\)。因为 \(-\beta(\Omega)\le\eta(A)\le\alpha(\Omega)\)，下确界有限。选 \(A_n\) 使 \(\eta(A_n)<c+2^{-n}\)。由
归纳得 \(\eta(\bigcup_{n=m}^kA_n)\le c+\sum_{n=m}^k2^{-n}\)。令 \(B_m=\bigcup_{n\ge m}A_n\)，先对 \(k\to\infty\) 用下连续性，再对 \(m\to\infty\) 用上连续性，得到
若某个可测 \(A\subseteq N\) 有 \(\eta(A)>0\)，则 \(\eta(N\setminus A)=c-\eta(A)<c\)，矛盾，故 \(N\) 为负集。若某个可测 \(A\subseteq N^c\) 有 \(\eta(A)<0\)，则 \(\eta(N\cup A)=c+\eta(A)<c\)，同样矛盾，故 \(H=N^c\) 为正集。证毕。
这里使用了两测度有限，以保证下确界有限且所有差值均有意义。一般有符号测度的Hahn分解需要另行处理无穷值；可查参考文献[1]附录A.4，本节后续只调用上述已证明的版本。
9.6.3 拉东—尼科迪姆导数的存在与唯一
设 \(\mu,\nu\) 均为 \(\sigma\) 有限正测度，且 \(\nu\ll\mu\)。则存在非负可测函数 \(f\)，满足
\(f\) 在 \(\mu\) 几乎处处意义下唯一，称为拉东—尼科迪姆导数（Radon–Nikodym derivative）。在这些假设下可取 \(f\) 处处有限；若 \(\nu\) 有限，则 \(f\in L^1(\mu)\)。
有限情形：构造候选函数。暂设 \(\mu,\nu\) 有限。考虑所有不会在任何可测集上超过 \(\nu\) 的密度：
零函数属于 \(\mathcal G\)，且 \(0\le M\le\nu(\Omega)<\infty\)。若 \(g,h\in\mathcal G\)，将 \(A\) 分成 \(A\cap\{g\ge h\}\) 与其余部分，分别应用控制条件，就得 \(\int_A\max(g,h)\,d\mu\le\nu(A)\)。所以 \(\mathcal G\) 对有限最大值封闭。
选 \(g_n\in\mathcal G\) 使 \(\int g_n\,d\mu>M-1/n\)，令 \(h_n=\max(g_1,\ldots,g_n)\)、\(h=\lim_nh_n\)。单调收敛定理对每个 \(A\) 给出 \(\int_Ah\,d\mu\le\nu(A)\)，并给出 \(\int h\,d\mu=M\)。因积分有限，可把 \(h=\infty\) 的 \(\mu\) 零测集上的值改为0。剩余部分
是有限正测度：非负性来自控制条件，可数可加性来自两个有限测度相减。这一构造到此尚未用到 \(\nu\ll\mu\)。
消除剩余质量。现在使用绝对连续性，得到 \(\rho\ll\mu\)。若 \(\rho(\Omega)>0\)，可选 \(\varepsilon>0\) 使 \(\rho(\Omega)>\varepsilon\mu(\Omega)\)。对 \(\eta=\rho-\varepsilon\mu\) 应用引理，取正集 \(H\)。因负集上的差值非正，\(\eta(H)\ge\eta(\Omega)>0\)，从而 \(\rho(H)>0\)，绝对连续性又保证 \(\mu(H)>0\)。对每个可测 \(A\)，正集性质给出
因此 \(h+\varepsilon\mathbf1_H\in\mathcal G\)，其积分为 \(M+\varepsilon\mu(H)>M\)，矛盾。故 \(\rho=0\)，\(h\) 就是所求密度。
唯一性。若 \(f,h\) 均表示同一个有限 \(\nu\)，则两者可积。在 \(A_n=\{f\ge h+1/n\}\) 上，\(0=\int_{A_n}(f-h)\,d\mu\ge\mu(A_n)/n\)。取可数并得 \(\mu(f>h)=0\)，交换两者即得 \(\mu(f\ne h)=0\)。有限情形证毕。
\(\sigma\) 有限推广。先将 \(\mu\) 的有限测度覆盖与 \(\nu\) 的有限测度覆盖两两取交，再枚举、依次扣除先前集合，得到不交分割 \(\Omega=\bigcup_kE_k\)，且每个 \(E_k\) 对两测度都有限。在各 \(E_k\) 上应用已证明的定理，得到 \(f_k\)。令 \(f=\sum_k\mathbf1_{E_k}f_k\)，则 \(\int_Af\,d\mu=\sum_k\nu(A\cap E_k)=\nu(A)\)；唯一性也逐块成立。每块上 \(f_k\) 几乎处处有限，可合并可数个例外集后统一改为0。习题9.6-3说明不能任意删去参照测度的 \(\sigma\) 有限假设。
9.6.4 勒贝格分解与混合分布
任意两个 \(\sigma\) 有限正测度 \(\mu,\nu\) 都存在唯一分解
两部分称为绝对连续部分与奇异部分；它们是测度，通常不各自归一化为概率测度。
有限情形的存在性。重新使用上节构造，取积分最大的 \(h\) 与剩余正测度 \(\rho\)，不假设 \(\nu\ll\mu\)。对每个 \(n\)，令 \(H_n\) 是 \(\rho-\mu/n\) 的Hahn正集。式(9.6-6)仍说明 \(h+\mathbf1_{H_n}/n\in\mathcal G\)，最大性迫使 \(\mu(H_n)=0\)。令 \(N=\bigcup_nH_n\)，便有 \(\mu(N)=0\)。又因 \(N^c\subseteq H_n^c\)，负集性质给出 \(0\le\rho(N^c)\le\mu(N^c)/n\)。\(\mu\) 有限，令 \(n\to\infty\) 得 \(\rho(N^c)=0\)，即 \(\rho\perp\mu\)。取 \(\nu_{\mathrm{s}}=\rho\) 即成。
唯一性。若有两种分解，将两奇异部分各自集中的 \(\mu\) 零测集取并为 \(N\)。两绝对连续部分在 \(N\) 上都为0，在 \(N^c\) 上都等于 \(\nu\)，故作为测度相等；剩下的奇异部分也相等。\(\sigma\) 有限情形用上一节的共同有限分割逐块构造与比较，所有零测集可数并仍为零测集。这也完成了推广。
在 \([0,1]\) 上取 \(\mu=\lambda|_{[0,1]}\)，令 \(\gamma\) 为9.2节的Cantor概率测度，\(K\) 为Cantor集。考虑
因为 \(\mu(K)=0\)、\(\gamma(K)=1\)、\(0\in K\)，奇异部分确实集中在 \(K\)，总质量为 \(1/2\)。它包含一个原子和一个奇异连续成分。整个 \(\nu\) 不存在关于 \(\mu\) 的密度，因为 \(\nu(\{0\})=1/4\)，而 \(\mu(\{0\})=0\)。
若改取有限参照测度 \(\kappa=\mu+\delta_0+\gamma\)，则 \(\nu\ll\kappa\)，且可取 \(d\nu/d\kappa=1/2\) 于 \(K^c\)、\(1/4\) 于 \(K\)。例如对任意可测 \(A\)，把积分按 \(A\cap K^c\) 与 \(A\cap K\) 分开，恰得 \(\mu(A)/2+\delta_0(A)/4+\gamma(A)/4\)。这里 \(\kappa(\Omega)=3\)，但密度的积分仍为1。
对于实分布，普通概率密度是 \(dP_X/d\lambda\)。一般分布若含非零奇异部分，这个整体导数就不存在；只能给绝对连续部分写出相对于 \(\lambda\) 的密度。CDF连续并不能排除奇异部分。
9.6.5 换测度恒等式与似然比
设 \(\nu\ll\mu\)，且 \(f=d\nu/d\mu\)。对非负可测 \(g\)，下式允许两端为 \(+\infty\)，乘积采用 \(0\cdot\infty=0\) 的约定；对有正负号的 \(g\)，若 \(\int|g|\,d\nu<\infty\)，两端均为有限值：
证明。当 \(g=\mathbf1_A\) 时就是密度的定义；有限非负线性组合给出简单函数情形。对一般非负 \(g\)，取简单函数 \(g_n\uparrow g\)，则 \(g_nf\uparrow gf\)，两次单调收敛即得等式。应用于 \(|g|\) 得可积性等价；再分别积分正部与负部，得到可积有符号情形。证毕。
对概率测度 \(Q\ll P\)，记似然比（likelihood ratio）\(L=dQ/dP\)，则 \(E_P[L]=1\)，且 \(E_Q[X]=E_P[XL]\) 对非负 \(X\) 或 \(Q\) 可积的 \(X\) 成立。反过来，任何非负可测 \(L\) 满足 \(E_P[L]=1\)，都由 \(Q(A)=E_P[L\mathbf1_A]\) 定义概率测度。事件、随机变量保持原样，改变的是赋予事件的概率。
有 \(Q\sim P\) 当且仅当 \(L>0\) 在 \(P\) 几乎必然意义下成立：若 \(L>0\)，\(\int_A L\,dP=0\) 迫使 \(P(A)=0\)；反向看集合 \(\{L=0\}\)。在等价情形，可取 \(dP/dQ=1/L\) 于 \(\{L>0\}\)，其余处任取非负有限值，因为对每个 \(A\)，\(\int_A L^{-1}\,dQ=P(A\cap\{L>0\})=P(A)\)。单向绝对连续时不能直接取倒数。
在 \([0,\infty)\) 上，令 \(P\) 是率为1的指数分布，\(Q\) 是率为2的指数分布，坐标随机变量为 \(X(x)=x\)。它们的勒贝格密度分别为 \(p(x)=e^{-x}\)、\(q(x)=2e^{-2x}\)，所以
换测度后，对于 \(t\ge0\)，\(Q(X>t)=E_P[L\mathbf1_{\{X>t\}}]=\int_t^\infty2e^{-2x}\,dx=e^{-2t}\)。同样，\(E_Q[X]=E_P[XL]=2\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx=1/2\)。两测度等价，故反向导数为 \(e^x/2\)，在 \(Q\) 下积分为1。\(L(x)>1\) 当 \(x<\log2\)，这不违反概率上界，因为 \(L\) 是密度比。
9.6.6 习题与解答
习题 9.6-1 从零测集条件到一致的小集控制
设 \(\mu,\nu\) 有限且 \(\nu\ll\mu\)。证明对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使 \(\mu(A)<\delta\Rightarrow\nu(A)<\varepsilon\)。
由RN定理，\(\nu=f\mu\) 且 \(f\in L^1(\mu)\)。因 \(f\mathbf1_{\{f\le K\}}\uparrow f\) 几乎处处，单调收敛及 \(\int f\,d\mu<\infty\) 使尾部积分趋于0。故可取 \(K\ge1\) 使 \(\int_{\{f>K\}}f\,d\mu<\varepsilon/2\)。令 \(\delta=\varepsilon/(2K)\)，则
\(\delta\) 与 \(A\) 无关。反过来，这种控制也蕴含绝对连续：若 \(\mu(A)=0\)，则 \(\nu(A)<\varepsilon\) 对每个正 \(\varepsilon\) 成立，故 \(\nu(A)=0\)。
习题 9.6-2 正态分布的指数倾斜
在 \(P\) 下 \(X\sim N(0,1)\)。固定 \(\theta\in\mathbb R\)，用权重 \(e^{\theta X}\) 构造概率测度 \(Q\)。求归一化常数、\(X\) 在 \(Q\) 下的分布和 \(Q(X>\theta)\)。
配方给出 \(\theta x-x^2/2=-(x-\theta)^2/2+\theta^2/2\)。对标准正态密度积分得 \(E_P[e^{\theta X}]=e^{\theta^2/2}\)，因此
所以 \(X\) 在 \(Q\) 下服从 \(N(\theta,1)\)，\(E_Q[X]=\theta\)，\(Q(X>\theta)=1/2\)。\(L>0\) 处处成立，故两测度等价；改变的是 \(X\) 的分布而非坐标函数本身。
习题 9.6-3 参照测度非σ有限时
在 \([0,1]\) 的博雷尔事件族上，令 \(\mu\) 为计数测度、\(\nu\) 为勒贝格测度。证明 \(\nu\ll\mu\)，但不存在非负可测 \(f\) 使 \(\nu(A)=\int_A f\,d\mu\) 对所有博雷尔集成立。
计数测度唯一的零测集是空集，所以绝对连续成立。若存在 \(f\)，对每个 \(x\in[0,1]\) 取 \(A=\{x\}\)，便有 \(0=\nu(\{x\})=f(x)\)。于是 \(f\) 处处为0，无法给出 \(\nu([0,1])=1\)。\(\mu\) 的有限测度集只能是有限集，可数个此类集合的并仍可数，不能覆盖 \([0,1]\)；故它不 \(\sigma\) 有限，定理假设确实被破坏。
习题 9.6-4 为何似然比不能总取倒数
令 \(P=U(0,1)\)，\(L=2\mathbf1_{(0,1/2)}\)，由 \(Q(A)=E_P[L\mathbf1_A]\) 定义 \(Q\)。求 \(Q\)，判断两方向的绝对连续性，并检验 \(1/L\) 能否表示 \(dP/dQ\)。
\(E_P[L]=1\)，且 \(Q=U(0,1/2)\)，所以 \(Q\ll P\)。但是 \(Q((1/2,1))=0\)，\(P((1/2,1))=1/2\)，故 \(P\not\ll Q\)。在 \(L>0\) 上取倒数 \(1/2\)，在其余处任取有限值，都只得到 \(\int (1/L)\,dQ=1/2\)，不等于 \(P(\Omega)=1\)。这种积分只能恢复 \(P\) 在 \((0,1/2)\) 上的限制，无法恢复被 \(Q\) 赋予零质量的另一半。
关键术语
- 绝对连续 \(\nu\ll\mu\)
- 参照测度的每个零测集也为目标测度的零测集。
- 互相奇异 \(\nu\perp\mu\)
- 目标测度可以集中在参照测度的一个零测集上。
- 等价测度
- 具有相同零测集的两种测度。
- Hahn正集与负集
- 要求其中所有可测子集的差测度值分别非负、非正。
- 拉东—尼科迪姆导数
- 通过对全部可测集的积分来表示另一测度的密度，只有几乎处处唯一性。
- 勒贝格分解
- 相对于固定参照，将测度唯一拆为绝对连续部分与奇异部分。
- 似然比
- 概率测度之间的RN导数，其在参照概率下的期望为1。
- 换测度恒等式
- 把目标测度下的积分改写成参照测度下乘以RN导数的积分。