本节只讨论离散时间 \(n=0,1,\ldots\)，所有过程取实值。先修内容是条件期望的塔式性质、可测因子提出法则和条件 Jensen 不等式。以下条件期望的等式、不等式均按几乎必然理解；“可积”均指绝对可积。
11.3.1 信息、适应与可预测
在 \((\Omega,\mathcal F,P)\) 上，滤过（filtration）是一列递增的子 \(\sigma\) 代数，表示已经获得的信息：
过程 \(X=(X_n)_{n\ge0}\) 对该滤过适应（adapted），是指每个 \(X_n\) 都是 \(\mathcal F_n\) 可测的。序列 \(H=(H_n)_{n\ge1}\) 称为可预测（predictable），是指每个 \(H_n\) 已经是 \(\mathcal F_{n-1}\) 可测的。可预测性比同一时刻的适应性要求更强；本节不为 \(H_0\) 另设条件。
例如，独立抛公平硬币产生 \(\xi_n\in\{-1,1\}\)，自然滤过为 \(\mathcal F_n=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)\)，并取 \(\mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\}\)。累计和 \(S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k\) 适应；\(H_n=1_{\{S_{n-1}>0\}}\) 可预测；\(\xi_n\) 适应却不可预测。这里 \(\mathcal F_0\) 取平凡只是例子的选择，一般滤过可以从已有的随机信息开始。
| 对象 | 所需条件 | 可使用的信息 |
|---|---|---|
| 滤过 \((\mathcal F_n)\) | \(\mathcal F_{n-1}\subseteq\mathcal F_n\) | 过去的信息不会被删除 |
| 适应过程 \(X_n\) | \(X_n\) 是 \(\mathcal F_n\) 可测的 | 允许使用第 \(n\) 步结果 |
| 可预测系数 \(H_n\) | \(H_n\) 是 \(\mathcal F_{n-1}\) 可测的 | 第 \(n\) 步发生前已经确定 |
11.3.2 鞅、次鞅与上鞅
设 \(X\) 适应且对每个有限 \(n\)，\(E|X_n|<\infty\)。若对所有 \(n\ge1\) 分别满足下列条件，就分别称为鞅（martingale）、次鞅（submartingale）、上鞅（supermartingale）：
记 \(\Delta X_n=X_n-X_{n-1}\)。鞅要求 \(E[\Delta X_n\mid\mathcal F_{n-1}]=0\)，并不要求增量独立。反复使用塔式性质，对任意 \(m\le n\)，鞅满足 \(E[X_n\mid\mathcal F_m]=X_m\)；次鞅、上鞅对应保留同方向的不等号。因此鞅的期望恒定，次鞅的期望不减。不过这些无条件期望的关系不足以反推鞅性质，因为定义要在每份已知信息下成立。改变滤过也可能改变结论，见习题 11.3-1。
11.3.3 从三个构造检验定义
设 \(\xi_k\) 独立同分布，\(E\xi_k=0\)、\(E\xi_k^2=\sigma^2<\infty\)，取上述自然滤过，\(S_0=0\)。\(S\) 适应，且 \(E|S_n|\le nE|\xi_1|<\infty\)。独立性给出 \(E[\xi_n\mid\mathcal F_{n-1}]=0\)，故 \(S_n\) 是鞅。又由独立中心化增量的交叉项期望为零，\(ES_n^2=n\sigma^2\)，所以平方过程也逐时可积。展开后取条件期望：
交叉项可积由 Cauchy–Schwarz 不等式保证，因此提出 \(S_{n-1}\) 合法。令 \(Q_n=S_n^2-n\sigma^2\)，则 \(E|Q_n|\le2n\sigma^2\)，且 \(E[Q_n\mid\mathcal F_{n-1}]=Q_{n-1}\)。所以 \(S_n^2\) 是次鞅，减去累计方差才得到鞅。公平的正负一步随机游走中 \(\sigma^2=1\)；第二步 \(Q_2\) 以各 \(1/2\) 的概率取 \(2,-2\)，期望确为零。
取任意 \(Z\in L^1\)，定义 \(M_n=E[Z\mid\mathcal F_n]\)。它适应，且 \(E|M_n|\le E|Z|\)。塔式性质直接给出
这样的过程称为由 \(Z\) 闭合的鞅（closed martingale）。具体地，独立抛两次公平硬币，以 H、T 记正反面，取 \(Z=1_{\{\mathrm{HH}\}}\)。尚未观察时 \(M_0=1/4\)；第一次为 H 时 \(M_1=1/2\)，为 T 时 \(M_1=0\)；观察两次后 \(M_2=Z\)。在 H 分支上，\(E[M_2\mid\mathcal F_1]=(1+0)/2=1/2\)；在 T 分支上则为零，而 \(E M_1=(1/2+0)/2=1/4\)。取 \(n\ge2\) 时 \(\mathcal F_n=\mathcal F_2\)，即可把它延伸为无限时间的鞅。
指数鞅（exponential martingale）。另设 \(\xi_k\) 独立同分布，仍取其自然滤过与从零开始的部分和 \(S_n\)。对某个固定实数 \(\theta\)，假设 \(m(\theta)=E e^{\theta\xi_1}<\infty\)；此处不要求 \(E\xi_1=0\)。由于 \(0<m(\theta)<\infty\)，可定义
独立性同时给出 \(EL_n=1\)，故可积性已经核对。公平正负一步增量有 \(m(\theta)=\cosh\theta\)，于是 \(e^{\theta S_n}/(\cosh\theta)^n\) 是鞅。一般分布的矩母函数可能不在任何非零 \(\theta\) 处有限，构造必须逐个参数核实。
11.3.4 凸函数怎样产生次鞅
若 \(M\) 是鞅，\(\varphi:\mathbb R\to\mathbb R\) 是有限值凸函数，且每个 \(\varphi(M_n)\) 可积，则 \(\varphi(M_n)\) 是次鞅。若把 \(M\) 换成一般次鞅，还须要求 \(\varphi\) 单调不减。
证明。有限值凸函数连续，故变换后仍适应；可积性是明确假设。由条件 Jensen，
若 \(M\) 只是次鞅，单调性把最后的等号改为“\(\ge\)”。这也解释了为什么鞅情形不必要求凸函数单调。特别地，\(|M_n|\) 总是次鞅；\(M_n^2\) 则需另有 \(M_n\in L^2\)。
11.3.5 Doob 分解的存在与唯一性
每个可积适应过程 \(X\) 都唯一地写成 \(X_n=M_n+A_n\)，其中 \(M\) 是鞅，\(A\) 可积、可预测且 \(A_0=0\)。这里对 \(n\ge1\) 要求 \(A_n\) 是 \(\mathcal F_{n-1}\) 可测的。具体公式是
\(X\) 为次鞅当且仅当这个 \(A\) 几乎必然逐步不减；为上鞅时对应逐步不增。\(A\) 称为可预测补偿过程（predictable compensator）。
存在性。每个求和项是 \(\mathcal F_{k-1}\) 可测的；当 \(k\le n\) 时，它也是 \(\mathcal F_{n-1}\) 可测的。条件期望的 \(L^1\) 收缩性给出
所以 \(A\) 可预测且可积，\(M\) 适应且可积。又因 \(\Delta A_n\) 已经由过去信息确定，
这证明 \(M\) 是鞅。若 \(X\) 是次鞅，则 \(\Delta A_n\ge0\)；反过来，该不等式和分解公式给出 \(E[\Delta X_n\mid\mathcal F_{n-1}]\ge0\)。上鞅情形同理。
唯一性。若还有 \(X=M'+A'\)，满足相同条件，令 \(B=A-A'=M'-M\)。则 \(B\) 既可预测又是鞅，而且 \(B_0=0\)。\(\Delta B_n\) 是 \(\mathcal F_{n-1}\) 可测的，因此
归纳得每个 \(B_n=0\) 几乎必然，因时间指标可数，可选同一概率为一的事件，使所有时刻的等式同时成立。故 \(A=A'\)、\(M=M'\)。上述单调性也可在这样的共同事件上理解。
初值归一化与可预测性共同保证唯一性：若不固定 \(A_0\)，任意可积 \(\mathcal F_0\) 可测变量都能在两部分之间转移；若只要求 \(A\) 适应，则对 \(S_0=0\) 的非平凡随机游走，\(S=S+0=0+S\) 已给出两种分解。平方游走的公式是 \(S_n^2=(S_n^2-n\sigma^2)+n\sigma^2\)，正好对应定理中的两部分。
11.3.6 可预测变换及可积性
若 \(M\) 是鞅，\(H_k\) 可预测，并且 \(E|H_k\Delta M_k|<\infty\) 对每个 \(k\ge1\) 成立，则下列过程也是鞅：
一个常用充分条件是：每个 \(H_k\) 有确定的有限上界 \(|H_k|\le C_k\) 几乎必然。对每个有限 \(n\) 而言，不必要求 \(\sup_k C_k<\infty\)，也不要求 \(H_k\ge0\)。
证明。各乘积均为 \(\mathcal F_k\) 可测，有限和适应。若系数有界，
这就证明有界情形。对一般的可预测 \(H_k\)，令 \(H_k^{(r)}=(-r)\vee(H_k\wedge r)\)。它有界且可预测，而 \(|H_k^{(r)}\Delta M_k|\le|H_k\Delta M_k|\)。由控制收敛定理，截断乘积在 \(L^1\) 中收敛到原乘积；再用条件期望的收缩性，
所以原乘积的条件期望仍为零。有限和的可积性来自定理假设，故变换后的过程满足全部鞅条件。
令 \(M=S\) 为公平正负一步随机游走，取 \(H_k=\xi_k\)。虽然 \(|H_k|=1\) 且适应，乘积也可积，但 \(H_k\) 使用了当步结果，因而不可预测。此时 \((H\mathbin{\cdot}S)_n=\sum_{k=1}^n\xi_k^2=n\)，显然不是鞅。另一方面，可预测而无可积性也会失败，见习题 11.3-4。对于次鞅或上鞅，保持相应不等号还需 \(H_k\ge0\)；负系数会反转不等号。
11.3.7 习题与完整解答
习题 11.3-1 · 提前知道下一步后还是鞅吗？
题目。设 \(S_n\) 为公平正负一步随机游走，自然滤过为 \(\mathcal F_n\)。改用 \(\mathcal G_n=\mathcal F_{n+1}\)。验证 \(\mathcal G\) 是滤过，判定 \(S\) 是否仍为鞅，并说明恒定期望为何不够。
解答。\(\mathcal G_n\subseteq\mathcal G_{n+1}\)，故是滤过；\(S_n\) 是 \(\mathcal G_n\) 可测且可积。然而下一步值已经包含在当前信息中，所以 \(E[S_{n+1}\mid\mathcal G_n]=S_{n+1}\)，与 \(S_n\) 相差 \(\xi_{n+1}=\pm1\)，几乎必然不相等。故不是 \(\mathcal G\) 鞅。尽管每个 \(ES_n=0\)，它仅给无条件平均，无法排除已知信息对下一步增量的预测。
习题 11.3-2 · 条件方差随过去变化时的平方补偿
题目。设 \(\xi_n\) 是 \(\mathcal F_n\) 可测的，\(E\xi_n^2<\infty\)，且 \(E[\xi_n\mid\mathcal F_{n-1}]=0\)，不要求独立或同分布。取 \(S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k\)。求 \(S_n^2\) 的 Doob 分解，并计算 \(ES_n^2\)。
解答。有限和属于 \(L^2\)，且 \(S\) 是鞅。由 Cauchy–Schwarz，\(S_{n-1}\xi_n\) 可积，所以
因此唯一补偿过程为 \(A_n=\sum_{k=1}^n E[\xi_k^2\mid\mathcal F_{k-1}]\)，鞅部分为 \(S_n^2-A_n\)，初值为零。\(A\) 可预测、不减且逐时可积，通常是随机过程而非常数列。取期望得 \(ES_n^2=EA_n=\sum_{k=1}^n E\xi_k^2\)。这说明平方补偿依靠的是零条件均值，不必依靠独立性。
习题 11.3-3 · 次鞅的平方未必仍是次鞅
题目。有人由 \(x^2\) 为凸函数断言：“平方可积的次鞅平方后仍是次鞅。”给出反例，并解释为什么鞅平方后的结论不受影响。
解答。取确定性过程 \(X_0=-2\)，\(X_n=-1\)（\(n\ge1\)），以及任意滤过。它适应、平方可积、逐步不减，故为次鞅。但 \(E[X_1^2\mid\mathcal F_0]=1<4=X_0^2\)，平方过程不是次鞅。问题在于 \(x^2\) 在负半轴单调递减，不能把 \(E[X_n\mid\mathcal F_{n-1}]\ge X_{n-1}\) 直接代入平方得到同向不等式。若原过程是鞅，条件均值恰好相等，条件 Jensen 已经足够，无需这一单调步骤。
习题 11.3-4 · 可预测且处处有限，为什么仍不够？
题目。令 \(A\) 满足 \(P(A=2^j)=2^{-j}\)，\(j=1,2,\ldots\)，并令 \(\xi\) 为独立于 \(A\) 的公平正负变量。取 \(\mathcal F_0=\sigma(A)\)、\(\mathcal F_1=\sigma(A,\xi)\)，\(M_0=0,M_1=\xi\)。检验 \(M\) 的鞅性质，以及用 \(H_1=A\) 变换后的过程。
解答。\(\sum_{j\ge1}2^{-j}=1\)，所以 \(A\) 有限几乎必然，但 \(EA=\sum_{j\ge1}2^j2^{-j}=\infty\)。独立性给出 \(E[M_1\mid\mathcal F_0]=E\xi=0=M_0\)，而 \(|M_1|=1\)，故 \(M\) 是两时刻鞅。\(H_1\) 确为 \(\mathcal F_0\) 可测，但 \(E|H_1\Delta M_1|=EA=\infty\)，变换后不满足可积性。其正、负部分期望均为 \(\infty\)，不能凭对称性把 \(E[A\xi]\) 写成零。“每条样本上取有限值”并不等于存在确定的有限界。
关键术语
- 滤过：一列随时间递增的子 \(\sigma\) 代数。
- 适应：当步过程值对当步信息可测。
- 离散时间可预测：第 \(n\) 步所用的系数对 \(\mathcal F_{n-1}\) 可测。
- 鞅：可积适应过程，下一步的条件均值等于当前值。
- 次鞅与上鞅：条件均值分别不小于、不大于当前值。
- 闭合鞅：由同一可积变量 \(Z\) 的逐步条件期望构成的鞅。
- Doob 分解：可积适应过程的鞅部分与可预测补偿部分之和。
- 可预测变换：以可预测系数乘鞅增量后累加，并核对各乘积可积。
参考文献与进一步阅读
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed. 作者公开版本，§4.2（鞅定义、条件 Jensen 与可预测变换），§4.3 定理 4.3.2（Doob 分解）。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J / 15.085J, Lecture 25: Martingales I，§0–1（滤过、适应性及条件期望鞅）。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J / 15.085J, Lecture 26: Martingales II，§1–2（鞅性质及随机游走的平方、指数构造）。本节证明针对有限离散时刻；停时与鞅收敛分别在11.4 节、11.5 节展开。