在 9.2 节中，可测性保证了事件和分布有意义；本节进一步定义一般随机变量的期望。以下固定测度空间 \((\Omega,\mathcal F,\mu)\)，不要求 \(\mu\) 有限，也不要求它是 \(\sigma\) 有限测度。取 \(\mu=P\) 时，积分 \(\int X\,dP\) 就是期望 \(EX\)。一般测度下使用“几乎处处”，概率测度下也称“几乎必然”。
9.3.1 从简单函数构造积分
非负简单函数（nonnegative simple function）是只取有限多个非负实数值的可测函数。把各个取值对应的集合分开，可写成 \(s=\sum_{j=1}^m a_j\mathbf1_{A_j}\)，其中 \(a_j\ge0\)，集合 \(A_j\in\mathcal F\) 两两不交。定义
对任意非负可测函数 \(f:\Omega\to[0,\infty]\)，勒贝格积分（Lebesgue integral）定义为
定义允许积分为 \(+\infty\)。同一个简单函数可以有不同表示；把两种表示的集合取交集，得到共同的有限划分，再用测度的有限可加性，便得到相同的积分。这个做法也证明简单函数积分的可加性和单调性。由上确界定义，\(0\le f\le g\) 立即推出 \(\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu\)。
非负可测函数总能从下方用简单函数逼近。例如令
截断使每个 \(s_n\) 只有有限多个取值，取整使这些值落在二进网格上。网格逐次加密且截断高度上升，所以 \(s_n\le s_{n+1}\)。当 \(f(\omega)\) 有限时，最终截断不再起作用，误差小于 \(2^{-n}\)；当 \(f(\omega)=\infty\) 时，\(s_n(\omega)=n\)。因此 \(s_n\uparrow f\)。积分也随之收敛，需要下一条定理。
9.3.2 单调收敛：由下方逼近到积分极限
若 \(f_n,f\) 非负可测，且 \(f_n\uparrow f\) 几乎处处，则
不要求各项或极限函数可积；两边同时为 \(+\infty\) 也属于结论。
证明。先假设处处单调收敛。由积分单调性，\(L:=\lim_n\int f_n\,d\mu\) 存在且 \(L\le\int f\,d\mu\)。为证反向不等式，任取非负简单函数 \(s=\sum_j a_j\mathbf1_{A_j}\le f\) 和常数 \(0<c<1\)，令 \(B_n=\{f_n\ge cs\}\)。集合 \(B_n\) 递增；在 \(s=0\) 处它包含所有点，在 \(s>0\) 处，由 \(f_n\uparrow f\ge s>cs\)，每一点最终都属于 \(B_n\)。故 \(B_n\uparrow\Omega\)。于是
这里用的是测度对递增集合的下连续性，有限项中也允许出现无穷。得到 \(L\ge c\int s\,d\mu\) 后，先令 \(c\uparrow1\)，再对所有 \(s\le f\) 取上确界，就有 \(L\ge\int f\,d\mu\)。若假设仅几乎处处成立，在共同的可测零测集上把所有函数改为零即可；零测集上的改变不影响积分。证毕。
MCT 还把简单函数的运算性质推广到一般非负函数。取简单函数 \(s_n\uparrow u\)、\(t_n\uparrow v\)，对 \(s_n+t_n\uparrow u+v\) 使用 MCT，得到 \(\int(u+v)\,d\mu=\int u\,d\mu+\int v\,d\mu\)。同理可证明非负常数的齐次性。此处只有非负数相加，不涉及 \(\infty-\infty\)。
设 \(U\sim U(0,1)\)，令 \(s_n(U)=2^{-n}\lfloor2^nU\rfloor\)。它在长度为 \(2^{-n}\) 的各段分别取值 \(k2^{-n}\)，\(k=0,\ldots,2^n-1\)。因此
由于 \(s_n(U)\uparrow U\)，MCT 给出 \(EU=1/2\)。图 9.3-1 对应前两项：\(1/4\) 和 \(3/8\)。计算从有限求和出发，并由定理保证极限等于积分。
9.3.3 正负部、可积性与 Fatou 引理
对实值可测函数 \(f\)，定义正部 \(f^+=\max(f,0)\) 和负部 \(f^-=\max(-f,0)\)。它们满足 \(f=f^+-f^-\)、\(|f|=f^++f^-\)。若两个非负积分至少有一个有限，定义
这个积分可以是 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)；若正负部积分都为无穷，积分未定义。称 \(f\) 可积（integrable），当且仅当
可积函数才具有有限的勒贝格积分。对可积的 \(f,g\)，有 \(|f+g|\le|f|+|g|\)，故其和可积。把恒等式 \((f+g)^++f^-+g^-=(f+g)^-+f^++g^+\) 两边积分，利用非负可加性并移项，就得到一般的可加性。齐次性同理，因此有限线性组合可以逐项积分，并有 \(\left|\int f\,d\mu\right|\le\int|f|\,d\mu\)。正负无穷的“抵消”不属于这些运算。
若 \(f_n\ge0\) 可测，则
证明。令 \(h_n=\inf_{k\ge n}f_k\)。可数个可测函数的下确界仍可测，且 \(0\le h_n\uparrow\liminf_k f_k\)。对每个 \(k\ge n\)，有 \(h_n\le f_k\)，所以 \(\int h_n\,d\mu\le\inf_{k\ge n}\int f_k\,d\mu\)。左边用 MCT 取极限，右边按下极限定义取极限，便得到结论。证毕。
Fatou 引理只需非负性，不需单调性，但一般只能给出不等式。若函数可取负值，却有共同的可积下界 \(h\le f_n\)，可以对 \(f_n-h\) 使用它，再加回 \(\int h\,d\mu\)。没有这样的下界时，原不等式可能失败，见习题 9.3-3。
9.3.4 控制收敛：用可积函数控制误差
设 \(f_n,f\) 是实值可测函数，且 \(f_n\to f\) 几乎处处。若存在同一个非负可积函数 \(g\)，使所有 \(n\) 都满足 \(|f_n|\le g\) 几乎处处，则 \(f\) 可积，且
证明。去掉可数个例外零测集的并后，所有界与收敛同时成立。取极限得 \(|f|\le g\)，所以 \(f\) 可积，且 \(|f_n-f|\le2g\)。对非负函数 \(2g-|f_n-f|\) 使用 Fatou 引理：
由于 \(\int g\,d\mu\) 有限，移项合法。非负数列 \(\int|f_n-f|\,d\mu\) 的上极限至多为零，故它趋于零。再用 \(\left|\int f_n\,d\mu-\int f\,d\mu\right|\le\int|f_n-f|\,d\mu\) 得到积分收敛。证毕。
当 \(\mu(\Omega)<\infty\) 时，常数函数 \(g=C\) 可积，DCT 因而包含有界收敛定理：若 \(f_n\to f\) 几乎处处且所有 \(n\) 都满足 \(|f_n|\le C\)，则积分收敛。这里的 \(C\) 必须与 \(n\) 无关；在无限测度空间上，常数界未必可积。
求 \(I_n=\int_0^\infty e^{-x}\cos(x/n)\,dx\) 的极限。对每个 \(x\)，被积函数趋于 \(e^{-x}\)，而绝对值不超过共同上界 \(e^{-x}\)，其积分为 \(1\)。DCT 立即给出 \(I_n\to1\)。
也可直接检验这个答案。记 \(a=1/n\)、\(J_n=\int_0^\infty e^{-x}\sin(ax)\,dx\)。两个积分都绝对收敛，分部积分得到 \(I_n=1-aJ_n\) 和 \(J_n=aI_n\)，于是
被积函数可取负值，且不构成逐点单调序列；支配条件允许处理这种振荡。
9.3.5 反例：点态极限不能单独决定积分
在概率空间 \((0,1)\) 上取勒贝格测度，令
每个固定 \(x>0\) 最终都落在区间外，所以收敛处处成立；然而高度与宽度的乘积始终为 \(1\)。这既说明 Fatou 的 \(0\le1\) 可以严格，也说明几乎必然收敛和 \(\sup_nE|f_n|=1\) 合在一起仍不保证期望收敛。若存在共同可积上界，DCT 会给出积分趋于零，因此这种上界不存在。9.5 节将用一致可积性进一步说明这一缺口。
另一个失败发生在无限测度空间：在 \(\mathbb R\) 上令 \(q_n=\mathbf1_{[n,n+1]}\)。它处处趋于零，满足统一常数界 \(|q_n|\le1\)，但 \(\int_{\mathbb R}q_n\,dx=1\)。常数 \(1\) 在 \(\mathbb R\) 上不可积，因此这里不满足 DCT，也不符合有限测度空间上的有界收敛定理。
| 结果 | 需要逐项检查的条件 | 积分结论 |
|---|---|---|
| MCT | 非负；几乎处处递增到极限 | 等式成立，允许无穷 |
| Fatou | 非负；无需点态极限存在 | 下极限的积分不超过积分的下极限 |
| DCT | 几乎处处收敛；同一个可积函数控制绝对值 | 绝对误差积分趋于零，积分均有限 |
9.3.6 尾积分公式：从概率计算期望
对任意非负随机变量 \(X\)，包括可能取 \(+\infty\) 的情形，
两边都允许为无穷。右边关于 \(t\) 使用勒贝格测度。
证明。先令 \(s=\sum_j a_j\mathbf1_{A_j}\) 为非负简单随机变量，集合两两不交。由有限求和，
再取简单函数 \(s_n\uparrow X\)。对每个 \(t\ge0\)，事件 \(\{s_n>t\}\) 递增到 \(\{X>t\}\)，所以其概率递增到 \(P(X>t)\)。这些尾概率是 \(t\) 的单调函数，因而可测。分别在概率空间和 \(t\) 的半轴上应用 MCT，得到公式。证毕。这个证明只用了本节结果；9.4 节将给出用 Tonelli 定理换序的写法。
设 \(X\ge1\)，参数 \(\alpha>0\)，且 \(P(X>t)=t^{-\alpha}\) 对 \(t\ge1\) 成立。在 \(0\le t<1\) 上尾概率等于 \(1\)。尾积分公式给出
当 \(\alpha>1\) 时，原函数 \(t^{1-\alpha}/(1-\alpha)\) 在无穷远处趋于零；当 \(\alpha=1\) 时对数发散，较小的 \(\alpha\) 也发散。例如 \(\alpha=3/2\) 时 \(EX=3\)，但有限均值不保证二阶矩有限，习题 9.3-4 将给出完整的矩条件。
9.3.7 习题与解答
习题 9.3-1 非负随机级数与独立性
题目。设 \(X_k\ge0\) 为任意随机变量，证明 \(E\sum_{k=1}^\infty X_k=\sum_{k=1}^\infty EX_k\)。再令 \(U\sim U(0,1)\)、\(X_k=\mathbf1_{\{U\le2^{-k}\}}\)，计算随机级数的期望，并说明是否使用独立性。
解答。部分和 \(S_n=\sum_{k=1}^nX_k\) 非负且递增到可测的扩展实值随机变量 \(S\)。由 MCT 和有限可加性，
等式允许两边为无穷。题中的事件相互嵌套，\(EX_k=P(U\le2^{-k})=2^{-k}\)，故 \(ES=\sum_{k\ge1}2^{-k}=1\)。这里没有使用独立性，且 \(X_1,X_2\) 确实不独立：同时为 \(1\) 的概率是 \(1/4\)，两个边缘概率之积是 \(1/8\)。
习题 9.3-2 带符号的极限与共同上界
题目。设 \(E|X|<\infty\)。证明 \(E[n\sin(X/n)]\to EX\)。指出支配函数，并说明为什么只知道每个 \(n\sin(X/n)\) 有界还不够。
解答。对每个有限 \(x\)，有 \(n\sin(x/n)\to x\)。由 \(|\sin u|\le|u|\)，得 \(|n\sin(X/n)|\le|X|\)，右边与 \(n\) 无关且可积。DCT 给出期望收敛，甚至有 \(E|n\sin(X/n)-X|\to0\)。单独的界 \(|n\sin(X/n)|\le n\) 随 \(n\) 增长，不提供共同可积上界；它只保证每一项的期望有限，不能据此交换极限与期望。
习题 9.3-3 去掉 Fatou 非负假设会怎样
题目。在 \((0,1)\) 的勒贝格测度下，考察 \(h_n(x)=-n\mathbf1_{(0,1/n)}(x)\)。计算 \(\int\liminf h_n\) 与 \(\liminf\int h_n\)，判断是否有共同的可积下界。再说明 \(\sup_n\int|h_n|<\infty\) 能否补救。
解答。每个固定 \(x>0\) 最终不在区间内，故 \(h_n(x)\to0\)，左边积分为 \(0\)。各项积分为 \(-1\)，右边下极限为 \(-1\)，所以 \(0\le-1\) 不成立。若有可积函数 \(h\le h_n\)，对非负函数 \(h_n-h\) 使用 Fatou 就会得到 \(-\int h\le-1-\int h\)，仍推出矛盾 \(0\le-1\)。因此共同可积下界不存在。尽管每个 \(\int|h_n|=1\)，积分依然不收敛到零，说明绝对积分一致有界不能替代支配条件。
习题 9.3-4 尾积分与 Pareto 的全部正阶矩
题目。对 \(X\ge0\)、\(r>0\)，证明 \(EX^r=\int_0^\infty r t^{r-1}P(X>t)\,dt\)，并求例 9.3.3 中 Pareto 随机变量的 \(r\) 阶矩。
解答。对非负随机变量 \(X^r\) 使用尾积分公式，再作变量代换 \(u=t^r\)，得到
可先在避开零点的有限区间上换元，再用 MCT 扩大区间，故不必预先假设矩有限。对 Pareto 分布，零到一的积分是 \(1\)，其余部分为 \(r\int_1^\infty t^{r-\alpha-1}\,dt\)。因此
临界点 \(r=\alpha\) 对应对数发散。因此 \(\alpha=3/2\) 时均值为 \(3\)，二阶矩无穷；平方可积性比可积性要求更强。
关键术语
- 简单函数：只取有限多个实数值的可测函数。
- 勒贝格积分：非负函数积分由简单函数积分的上确界定义。
- 可积性：绝对值的积分有限，排除正负无穷相减。
- 几乎处处：允许在一个可测零测集上例外。
- 单调收敛定理：非负递增逼近保持积分极限。
- Fatou 引理：非负函数下极限的积分满足单向不等式。
- 控制收敛定理：共同可积上界保证绝对误差的积分趋于零。
- 尾积分公式：由超过各个阈值的概率计算非负随机变量的期望。
参考文献
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed., §§1.4–1.6：积分的构造、积分性质与期望。作者提供的教材版本。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J, Lecture 7, Abstract Integration I：简单函数、非负积分与单调收敛。MIT OpenCourseWare 讲义页。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J, Lecture 8, Abstract Integration II：Fatou 引理、控制收敛与期望运算。MIT OpenCourseWare 讲义页。