本节只讨论离散时间 \(n=0,1,\ldots\)。固定滤过 \((\mathcal F_n)\) 和实值鞅 \((M_n)\)，即 \(M_n\) 适应、可积，且 \(\mathbb E[M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=M_n\)。需要条件期望的积分刻画、鞅与可预测过程，以及一致可积性和Vitali定理。连续时间中的路径正则性条件另见后续章节。
11.4.1 停时和停止时刻的信息
随机变量 \(T:\Omega\to\mathbb N_0\cup\{\infty\}\) 称为相对于 \((\mathcal F_n)\) 的停时，若
离散时间下，这等价于 \(\{T=n\}\in\mathcal F_n\)。它要求在时刻 \(n\) 能判断“是否已经停止”。约定空集上的首次到达时间为 \(\infty\)。
若 \((X_n)\) 适应，\(B\) 是 Borel 集，则 \(T=\inf\{n\geq0:X_n\in B\}\) 是停时，因为 \(\{T\leq n\}=\bigcup_{k=0}^n\{X_k\in B\}\)。而“最后一次到达”通常要查看未来，不能直接视为停时。
在母σ代数 \(\mathcal F\) 中定义
它描述停止时可以判定的事件。对补集和可数并逐项检查可知它确为σ代数。若停时 \(S\leq T\) 逐点成立，则 \(\mathcal F_S\subseteq\mathcal F_T\)，因为 \(A\cap\{T\leq n\}=(A\cap\{S\leq n\})\cap\{T\leq n\}\)。
当 \(P(T<\infty)=1\) 时，记 \(M_T(\omega)=M_{T(\omega)}(\omega)\)，在例外的无穷停时集合上取零。这个变量 \(\mathcal F_T\) 可测：对 Borel 集 \(D\)，\(\{M_T\in D\}\cap\{T\leq n\}\) 是 \(\{T=k\}\cap\{M_k\in D\}\)、\(0\leq k\leq n\) 的有限并。可测性本身不保证 \(\mathbb E|M_T|<\infty\)。
11.4.2 停止过程仍然是鞅
定义停止过程 \(M^T_n=M_{n\wedge T}\)。即使 \(T=\infty\) 有正概率，这个定义也无歧义，因为 \(n\wedge T\leq n\)。令 \(\Delta M_k=M_k-M_{k-1}\)，则逐点有
停止过程的鞅性质。指示量 \(\mathbf1_{\{T\geq k\}}=\mathbf1_{\{T>k-1\}}\) 是 \(\mathcal F_{k-1}\) 可测的，而且有界。因此每一项可积，条件期望为零；有限和也可积且适应。特别地，\(\mathbb E[M_{(n+1)\wedge T}-M_{n\wedge T}\mid\mathcal F_n]=\mathbf1_{\{T>n\}}\mathbb E[\Delta M_{n+1}\mid\mathcal F_n]=0\)。所以 \((M^T_n)\) 是鞅，且每个确定的 \(n\) 都满足 \(\mathbb EM_{n\wedge T}=\mathbb EM_0\)。这里没有假设 \(\mathbb ET<\infty\)。
11.4.3 有界停时的可选抽样
设 \(S,T\) 是停时，且逐点满足 \(0\leq S\leq T\leq N\)，其中 \(N\) 是确定的有限整数。则 \(M_S,M_T\) 可积，并有
完整证明。首先 \(|M_S|,|M_T|\leq\sum_{k=0}^N|M_k|\)，所以可积，且前面的可测性论证给出 \(M_S\) 为 \(\mathcal F_S\) 可测。对任意 \(A\in\mathcal F_S\)，写成有限增量和：
每一项为零，因为 \(A\cap\{S<k\leq T\}=(A\cap\{S\leq k-1\})\cap\{T\geq k\}\in\mathcal F_{k-1}\)，可将指示量提出条件期望，再使用 \(\mathbb E[\Delta M_k\mid\mathcal F_{k-1}]=0\)。这就是 \(\mathbb E[M_T\mid\mathcal F_S]=M_S\) 的积分刻画。取期望，并令较早停时为 \(0\)，得到全部等式。证毕。
若 \((M_n)\) 换成次鞅，同一证明中各增量的条件期望非负，结论变成 \(\mathbb E[M_T\mid\mathcal F_S]\geq M_S\)；上鞅则方向相反。这里双停时都受确定的 \(N\) 控制，无需讨论无穷级数或交换极限。
11.4.4 无界停时：哪一步需要额外条件
对任意停时 \(T\)，前面的证明只自动给出 \(\mathbb EM_{T\wedge n}=\mathbb EM_0\)。若 \(T<\infty\) 几乎必然，则 \(M_{T\wedge n}\to M_T\) 几乎必然，甚至逐条路径最终恒等；要让期望也收敛，仍须控制这族变量的尾部。
设 \(P(T<\infty)=1\)。若停止后的变量族 \(\{M_{T\wedge n}:n\geq0\}\) 一致可积，即
则 \(M_T\in L^1\)、\(M_{T\wedge n}\to M_T\) 于 \(L^1\)，并且 \(\mathbb EM_T=\mathbb EM_0\)。
证明。几乎必然收敛蕴含依概率收敛。由第9.5节的Vitali定理，UI给出 \(L^1\) 收敛和极限可积性。于是 \(|\mathbb EM_{T\wedge n}-\mathbb EM_T|\leq\mathbb E|M_{T\wedge n}-M_T|\to0\)，再用有界停时结论即可。证毕。
| 停时条件 | 过程条件 | 极限依据 |
|---|---|---|
| \(T<\infty\) 几乎必然 | \(\{M_{T\wedge n}\}\) 一致可积 | Vitali定理 |
| \(T<\infty\) 几乎必然 | 存在确定的 \(C<\infty\)，使所有 \(n\) 有 \(|M_{T\wedge n}|\leq C\) 几乎必然 | 常数控制，或直接验证UI |
| \(\mathbb ET<\infty\) | 存在确定的 \(c<\infty\)，使所有 \(k\geq1\) 有 \(|\Delta M_k|\leq c\) 几乎必然 | 可积控制变量 \(|M_0|+cT\) |
第二行更一般地可用统一可积上界 \(D\in L^1\)，满足 \(|M_{T\wedge n}|\leq D\)。对第三行，\(\mathbb ET<\infty\) 已蕴含 \(T<\infty\) 几乎必然，且式 (11.4-3) 给出
控制收敛定理便可直接完成期望极限。这里要求整个停止族的统一控制；每个 \(M_{T\wedge n}\) 都可积，甚至 \(\sup_n\mathbb E|M_{T\wedge n}|<\infty\)，都不足以替代UI。
11.4.5 赌徒破产：先控制退出时间，再求期望
设 \(S_n=i+\sum_{k=1}^n\xi_k\)，其中 \(\xi_k\) 独立，\(P(\xi_k=1)=P(\xi_k=-1)=1/2\)，\(N\geq2\) 与 \(1\leq i\leq N-1\) 均为整数。取自然滤过，令 \(\tau=\inf\{n\geq0:S_n\in\{0,N\}\}\)。
先证明 \(\tau\) 可积。只要还没有退出，接下来连续 \(N\) 步都向上就必然退出，这个事件的条件概率为 \(2^{-N}\)。利用未来增量与过去独立，逐块递推可得
这个估计未使用可选停止定理，同时保证 \(\tau<\infty\) 几乎必然。由于 \(0\leq S_{n\wedge\tau}\leq N\)，对鞅 \(S_n\) 使用表11.4-1第二行，令 \(h_i=P_i(S_\tau=N)\)，便有
再看二次鞅 \(Q_n=S_n^2-n\)。每个固定 \(n\) 下有 \(|S_n|\leq i+n\)，故 \(Q_n\) 可积；又因 \(Q_n-Q_{n-1}=2S_{n-1}\xi_n\)，其条件均值为零。只对有界停时 \(\tau\wedge n\) 使用定理11.4.3，得到
第一项由 \(N^2\) 控制而收敛，第二项由单调收敛定理趋于 \(\mathbb E_i\tau\)。因此
也可对 \(Q_{\tau\wedge n}\) 使用控制变量 \(N^2+\tau\)，其可积性已由式 (11.4-8) 确认。数值上，若 \(N=10,i=4\)，则到达上界的概率为 \(0.4\)，破产概率为 \(0.6\)，平均持续 \(24\) 步。
保持两边界和初值，改为 \(P(\xi_k=1)=p\)、\(P(\xi_k=-1)=q=1-p\)，其中 \(0<p<1\)、\(p\ne1/2\)。连续 \(N\) 步向上的概率为 \(p^N>0\)，同一分块证明给出 \(\mathbb E_i\tau\leq Np^{-N}<\infty\)。令 \(r=q/p\)，则
都是鞅：\(\mathbb E[r^{\xi_k}]=pr+q/r=1\)，而 \(\mathbb E\xi_k=p-q\)。停止后的 \(R_n\) 被 \(\max(1,r^N)\) 控制；\(L_n\) 的增量绝对值不超过 \(2\)，并且 \(\mathbb E\tau<\infty\)。分别应用表中的两种条件，得 \(r^i=1-h_i+r^Nh_i\)、\(i=Nh_i-(p-q)\mathbb E_i\tau\)，即
例如 \(p=0.6,N=10,i=4\) 时，\(h_i\approx0.8166\)、\(\mathbb E_i\tau\approx20.832\)。上行概率提高改变了两个量；持续时间仍必须单独计算，不能由成功概率直接读出。
11.4.6 反例：公平随机游走首次击中1
设 \(W_0=0\)，\(W_n\) 为简单对称随机游走，\(T=\inf\{n\geq0:W_n=1\}\)。为了确认停止与可积性，先对整数 \(m\geq1\) 定义 \(\tau_m=\inf\{n:W_n\in\{-m,1\}\}\)。平移例11.4-1，取区间长度 \(m+1\)、起点 \(m\)，可得
因此 \(P(T<\infty)\geq m/(m+1)\) 对所有 \(m\) 成立，令 \(m\to\infty\) 得 \(T<\infty\) 几乎必然。但 \(\mathbb ET\geq m\) 对所有 \(m\) 成立，故 \(\mathbb ET=\infty\)。这两个结论均由已验证可积的有限区间退出问题推出。
因为 \(W_T=1\) 几乎必然，所以 \(\mathbb EW_T=1\)，而每个 \(n\) 都有 \(\mathbb EW_{T\wedge n}=0\)。此外，\(W_{T\wedge n}\leq1\)，因此
停止过程几乎必然趋于 \(1\)，却不在 \(L^1\) 中收敛，故由Vitali定理可知停止族不一致可积。它甚至 \(L^1\) 有界；所缺的是尾部的统一控制。增量虽有界，但停时的期望无限；停止过程虽有上界，但没有统一的绝对值界。
11.4.7 习题与完整解答
习题 11.4-1 有界的随机选择未必是停时
设 \(\xi_k\) 独立且都等概率取 \(\pm1\)，\(\mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\}\)、\(\mathcal F_n=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)\)，\(W_n=\sum_{k=1}^n\xi_k\)。令 \(S=1\) 当 \(\xi_1=1\)，否则 \(S=2\)；令 \(U=1\) 当 \(\xi_2=-1\)，否则 \(U=2\)。判断是否为停时，并计算 \(\mathbb EW_S,\mathbb EW_U\)。
\(\{S\leq1\}=\{\xi_1=1\}\in\mathcal F_1\)，且 \(S\leq2\)，所以 \(S\) 是停时。\(U\) 的事件 \(\{U\leq1\}=\{\xi_2=-1\}\) 不属于 \(\mathcal F_1\)：在相同的 \(\xi_1\) 取值下，两个 \(\xi_2\) 值都会发生且给出不同决定。因此 \(U\) 不是停时。直接写出
\(U\) 使用了未来增量的信息；虽然它有界，却不满足可选抽样的停时前提。
习题 11.4-2 破产之前向上走了多少步？
例11.4-2中取 \(N=4,i=2,p=2/3\)。求到达 \(4\) 的概率、平均退出时长以及退出前向上步数 \(U_\tau\) 的期望。
分块尾界先保证 \(\mathbb E\tau<\infty\)，故所有步数计数都可积。取 \(r=q/p=1/2\)，可得
若 \(D_\tau\) 为向下步数，则 \(U_\tau+D_\tau=\tau\)、\(U_\tau-D_\tau=S_\tau-2\)。所以 \(U_\tau=(\tau+S_\tau-2)/2\)，取期望得 \(\mathbb EU_\tau=(18/5+16/5-2)/2=12/5\)，同时 \(\mathbb ED_\tau=6/5\)。
习题 11.4-3 Wald等式与绝对可积性
设 \(\xi_k\) 独立同分布，\(\mathbb E|\xi_1|<\infty\)、\(\mathbb E\xi_1=\mu\)，\(T\) 是相对于自然滤过的停时，且 \(\mathbb ET<\infty\)。证明 \(\sum_{k=1}^T\xi_k\) 可积，并证明其期望为 \(\mu\mathbb ET\)。不假设增量有界。
\(\{T\geq k\}\in\mathcal F_{k-1}\) 与 \(\xi_k\) 独立。Tonelli定理和尾和公式给出
所以停止和绝对可积，而且可由Fubini定理交换有符号求和与期望。逐项使用同一独立性，得到 \(\mathbb E\sum_{k=1}^T\xi_k=\sum_{k\geq1}\mu P(T\geq k)=\mu\mathbb ET\)。这里先证明了绝对可积性，整个论证没有预设停止和已能交换期望。
习题 11.4-4 有限期望停时仍可能改变鞅的期望
令 \(\eta_k\) 为独立公平的 \(0,1\) 变量，\(M_0=1\)、\(M_n=2^n\mathbf1_{\{\eta_1=\cdots=\eta_n=1\}}\)，取自然滤过。令 \(T=\inf\{n\geq1:\eta_n=0\}\)。证明 \(M_n\) 是鞅、\(\mathbb ET=2\)，但 \(\mathbb EM_T\ne\mathbb EM_0\)。指出表11.4-1中哪些条件不满足。
有 \(M_{n+1}=2M_n\eta_{n+1}\)，故条件均值为 \(M_n\)，且 \(\mathbb EM_n=2^n2^{-n}=1\)。又 \(P(T>n)=2^{-n}\)，所以 \(T<\infty\) 几乎必然、\(\mathbb ET=\sum_{n\geq0}2^{-n}=2\)。停止时 \(M_T=0\)，其期望为零。首次出现零后过程一直为零，因此 \(M_{T\wedge n}=M_n\)。对任意 \(K\)，选 \(2^n>K\) 就有
停止族不UI，也没有统一绝对值界；尚未停止时的增量绝对值可达 \(2^n\)，不满足统一有界增量条件。故单独知道 \(\mathbb ET<\infty\) 不足以推出保期望。
关键术语
- 停时：在每个时刻都能根据当时信息判断是否已经停止。
- 停止σ代数：\(\mathcal F_T\) 表示停止时刻可辨认的事件。
- 停止过程：\(M^T_n=M_{n\wedge T}\)，在 \(T\) 后保持停止值。
- 可选抽样：在明确条件下比较两个有序停时的条件期望。
- 可选停止：在明确条件下把鞅的保期望性质延伸到随机时刻。
- 一致可积停止族：对 \(\{M_{T\wedge n}\}\) 的大值尾部作统一控制。
- 退出时间：过程首次离开给定区域或到达指定边界的停时。
- Wald等式：可积独立同分布增量在有限期望停时处的和，期望为单步均值乘以平均时长。
参考文献
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed., §4.8，尤其Theorems 4.8.2、4.8.5–4.8.9：可选停止的可积性条件、Wald等式与随机游走退出。双停时推广另见该节习题4.8.1；本节完整证明的双停时版本限于共同确定上界。作者公开版本。
- MIT OpenCourseWare, 6.436J / 15.085J Fundamentals of Probability, Fall 2018, Lecture 25, “Martingales I”，第3部分：停止过程与可选停止。原始讲义。
- 同课程Lecture 26, “Martingales II”，第2部分：公平和偏置赌徒破产、首次命中与UI失效。本节在应用停止结论前先给出退出时间的几何尾界，并分别说明二次项和时间项的极限依据。原始讲义。