分枝过程研究一个群体怎样逐代产生后代。这里的“灭绝”指某一有限代人数变为零，此后一直为零。本节结合条件期望鞅与非负鞅收敛，区分三个问题：群体最终是否存活、平均人数如何变化、归一化人数是否保留原来的均值。
11.6.1 Galton–Watson 过程的构造
设 \(\{\xi_{n,i}:n,i\ge1\}\) 是独立同分布的非负整数值随机变量，\(p_k=P(\xi_{n,i}=k)\)。从一个祖先出发，定义 Galton–Watson 分枝过程：
空和规定为零。\(Z_n\) 是第 \(n\) 代人数，\(\xi_{n+1,i}\) 是其中第 \(i\) 个个体的后代数。每个后代数有限，所以归纳可知各有限代人数都有限；不同个体、不同代的繁殖随机性均独立。
取 \(\mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\}\)、\(\mathcal F_n=\sigma(\xi_{r,i}:1\le r\le n,\ i\ge1)\)。于是 \(Z_n\) 适应，第 \(n+1\) 行繁殖变量独立于 \(\mathcal F_n\)。本节假设后代均值 \(m=E\xi<\infty\)，讨论二阶矩时再加 \(\sigma^2=\operatorname{Var}(\xi)<\infty\)。若 \(m=0\)，则 \(\xi=0\) 几乎必然，第一代便灭绝；这种情形不定义 \(Z_n/m^n\)。
分枝性质（branching property）是后续推导的依据：给定某代有 \(z\) 个个体，这些个体的后代族群是相互独立、各自从一个祖先开始的同分布副本。原因是每个个体只使用自身及其后代的独立繁殖变量，且这些变量具有同一分布。
11.6.2 母函数迭代与最小不动点
后代分布的概率母函数（probability generating function）以及第 \(n\) 代的母函数分别为
约定 \(0^0=1\)，所以 \(F_n(0)=P(Z_n=0)\)，而 \(F_0(s)=s\)。在事件 \(\{Z_n=z\}\) 上，下一代是 \(z\) 个独立后代数之和，故由乘积的期望公式，
当 \(Z_n=0\) 时，空乘积为一，这与左边一致。再取期望并归纳：
\(f^{\circ n}\) 表示复合 \(n\) 次，不是 \(f(s)^n\)。各代人数通常相互依赖；这里的乘法来自同一代各个个体的条件独立繁殖。
令 \(\mathcal E=\bigcup_{n\ge0}\{Z_n=0\}\)，\(q=P(\mathcal E)\)。则 \(q\) 是方程 \(f(s)=s\) 在 \([0,1]\) 内的最小解。它可以从零开始迭代得到：
证明。零是吸收状态，因此事件 \(\{Z_n=0\}\) 递增。概率测度的下连续性给出 \(q_n\uparrow P(\mathcal E)\)。母函数迭代给出递推关系，而 \(f\) 在 \([0,1]\) 上连续：若 \(s_j\to s\)，则 \(s_j^\xi\to s^\xi\)，且绝对值不超过一，可用控制收敛定理。因此取极限得 \(q=f(q)\)。
现在取任意不动点 \(r\in[0,1]\)。从 \(q_0=0\le r\) 开始，利用 \(f\) 单调不减，若 \(q_n\le r\)，则 \(q_{n+1}=f(q_n)\le f(r)=r\)。归纳并取极限得 \(q\le r\)。这一步说明为什么不能只解出方程就任意挑选一个根；\(1\) 总是根，却未必是灭绝概率。
11.6.3 临界分类及其退化例外
母函数在 \([0,1)\) 内可以逐项求导，且单调收敛给出 \(f'(1-)=\sum_{k\ge1}kp_k=m\)。它是凸函数；当 \(P(\xi\ge2)>0\) 时严格凸。
若 \(p_1<1\)，则次临界（subcritical，\(m<1\)）和临界（critical，\(m=1\)）过程都满足 \(q=1\)；超临界（supercritical，\(m>1\)）过程满足 \(q<1\)，且 \(q\) 是 \([0,1)\) 内唯一不动点。超临界情形下 \(q=0\) 当且仅当 \(p_0=0\)。
证明。由 \(s^k\ge1-k(1-s)\)（\(k\) 为非负整数，\(0\le s\le1\)），取期望得到
当 \(m<1\) 时，右边在 \(s<1\) 处严格为正，故只能有根 \(1\)。当 \(m=1\)、\(p_1<1\) 时，必有 \(P(\xi\ge2)>0\)；对这些 \(k\)，上述幂函数不等式在 \(s<1\) 处严格成立，因此仍有 \(f(s)>s\)。
当 \(m>1\) 时，\(f(1-h)=1-mh+o(h)<1-h\) 对充分小的 \(h>0\) 成立，而 \(f(0)\ge0\)。连续性保证在 \([0,1)\) 中存在一个根。此时 \(P(\xi\ge2)>0\)，所以 \(f(s)-s\) 严格凸，不可能有三个不同的零点：中间零点应严格低于两端零点的连线。由于 \(1\) 已是根，另一个根唯一。最后，\(f(0)=p_0\)，故零为不动点恰当且仅当 \(p_0=0\)。
若 \(p_1=1\)，则每个个体恒有一个后代，\(Z_n=1\)、\(m=1\)、\(q=0\)。此时 \(f(s)=s\)，整个区间都是不动点，最小根仍为零。因此“临界必灭绝”必须排除这一退化分布。超临界也不等于必然存活：只有 \(p_0=0\) 时，灭绝概率才为零。
设 \(p_0=1/4,\ p_2=3/4\)。则 \(m=3/2>1\)，但解 \(f(s)=s\) 得 \((3s-1)(s-1)=0\)，最小根为 \(q=1/3\)，最终存活概率为 \(2/3\)。迭代计算 \(q_1=1/4\)、\(q_2=1/4+(3/4)(1/4)^2=19/64\)。所以第二代尚未灭绝的概率是 \(45/64\)，大于最终存活概率。
后代二阶矩为 \(E\xi^2=3\)，方差为 \(\sigma^2=3-(3/2)^2=3/4\)。这组参数稍后会给出可显式计算的均方收敛速度。均值 \(m>1\) 保证的是存活具有正概率，不能排除早期连续产生零后代。
11.6.4 归一化鞅与方差递推
现在假设 \(0<m<\infty\)。在 \(\{Z_n=z\}\) 上对独立和取条件期望，得到
期望公式由 \(EZ_0=1\) 归纳得到，同时保证逐时可积。故 \(W_n\) 是均值恒为一的非负归一化鞅（normalized martingale）。由非负鞅收敛定理，存在有限随机变量 \(W\ge0\)，使 \(W_n\to W\) 几乎必然；Fatou 引理目前只能保证 \(EW\le1\)，还不能写成等号。
再假设 \(\sigma^2<\infty\)，令 \(v_n=\operatorname{Var}(Z_n)\)。先对给定人数的独立和计算，再应用全方差公式：
这个递推也逐步证明 \(Z_n\in L^2\)。从 \(n=0\) 起求和可得，当 \(n\ge1\) 时，
分母 \(m-1\) 在次临界时为负，分子 \(m^n-1\) 也为负，所得方差仍非负。临界值必须单独写出，不能直接把 \(m=1\) 代入有零分母的表达式。
11.6.5 超临界有限方差：均方极限与存活
若 \(1<m<\infty\)、\(\sigma^2<\infty\)，则 \(W_n\to W\) 几乎必然且在 \(L^2\) 中收敛，并有
此外 \(P(W=0)=q\)，且事件 \(\{W=0\}\) 与灭绝事件 \(\mathcal E\) 只相差零概率集合。因此在存活事件上，\(Z_n/m^n\) 收敛到严格正的随机变量。
第一步：完整证明 \(L^2\) 收敛。由上一节的二阶矩递推，\(W_n\in L^2\)。记 \(D_{j+1}=W_{j+1}-W_j\)，对其条件平方均值计算得
不同的鞅增量正交：若 \(i<j\)，则 \(D_{i+1}\) 是 \(\mathcal F_j\) 可测的，且两个增量的乘积可积，故 \(E[D_{i+1}D_{j+1}]=E[D_{i+1}E(D_{j+1}\mid\mathcal F_j)]=0\)。所以对 \(N>n\)，
已经知道 \(W_N\to W\) 几乎必然。固定 \(n\)，对左边使用 Fatou 引理，得到 \(E[(W-W_n)^2]\le \sigma^2m^{-n}/[m(m-1)]\)。右边趋于零，因此直接得到 \(L^2\) 收敛，也得到 \(L^1\) 收敛和 \(EW=\lim EW_n=1\)。再由 \(L^2\) 范数连续性，令上式 \(N\to\infty\)，便得定理中的精确均方误差；取 \(n=0\)、\(W_0=1\)，即得极限方差。
第二步：识别极限为零的事件。由分枝性质，第一代的 \(\xi=Z_1\) 个后代各自建立独立同分布族群。设其归一化过程为 \(W_n^{(i)}\)，则
这里的 \(W^{(i)}\) 相互独立、与 \(\xi\) 独立，且均与 \(W\) 同分布；在族群树的构造中上式逐样本成立。取极限合法，因为 \(\xi\) 有限几乎必然，每次只需对有限个收敛的族群求和。记 \(r=P(W=0)\)，利用各项非负，
由于 \(EW=1\)，有 \(r<1\)。由超临界不动点的唯一性，\(r=q\)。在灭绝事件上 \(W_n\) 最终恒为零，故 \(\mathcal E\subseteq\{W=0\}\)；两个事件概率相同，便得到几乎必然意义下的事件相等。
代入例 11.6.1 的 \(m=3/2,\ \sigma^2=3/4\)，可得 \(\operatorname{Var}(W)=1\)，\(\operatorname{Var}(W_n)=1-(2/3)^n\)，而均方误差是 \((2/3)^n\)。第六代的均方误差为 \(64/729\)，约 \(0.0878\)。归一化人数的方差趋于一，同时它与随机极限的距离趋于零；这两种变化并不矛盾。
11.6.6 几乎必然收敛不保证极限均值
改取 \(p_0=p_2=1/2\)。这时 \(m=1,\ \sigma^2=1\)，母函数为 \(f(s)=(1+s^2)/2\)。不动点方程等价于 \((s-1)^2=0\)，所以 \(q=1\)：几乎每个族群在某一有限代灭绝，\(W_n=Z_n\to0\) 几乎必然。
第二代的分布可以直接计算：第一代为零的概率是 \(1/2\)；第一代为二时，两个个体各自以相等概率产生零或二个后代。因此
于是 \(EZ_2=2(1/4)+4(1/8)=1\)，\(EZ_2^2=3\)，方差为二，符合 \(v_n=n\)。更一般地，每个 \(EW_n=1\)，极限却满足 \(EW=0\)。
这里缺少一致可积性。对任意固定 \(K>0\)，
左端同时不超过 \(EZ_n=1\)，因此尾部期望确实趋于一。不论先把阈值 \(K\) 取多大，都有足够大的代数使尾部期望接近一。由此直接验证 \((Z_n)\) 不一致可积，而不只是引用一个失败的极限等式。
只要 \(0<m<\infty\)，非负鞅方法保证 \(W_n\to W\) 几乎必然及 \(EW\le1\)。本节把结论加强为 \(L^2\) 收敛、\(EW=1\) 和 \(P(W=0)=q\) 时，使用了超临界与后代有限方差。不能把这一证明直接用于只有一阶矩的超临界分布；有限方差之外的极限分类不在本节展开。
11.6.7 习题与完整解答
习题 11.6-1 · 从多个祖先出发
题目。若 \(Z_0=z\ge1\) 为确定整数，求第 \(n\) 代母函数、灭绝概率、均值与方差。另求例 11.6.1 从三个祖先出发的灭绝概率。
解答。由分枝性质，可写 \(Z_n=\sum_{i=1}^z Z_n^{(i)}\)，各项是从单个祖先出发的独立副本。故母函数为 \([F_n(s)]^z=[f^{\circ n}(s)]^z\)。整个群体灭绝等价于这 \(z\) 个族群全部灭绝：每个族群的灭绝时刻有限，而有限个时刻的最大值仍有限。因此灭绝概率为 \(q^z\)。
若 \(m=0\)，各 \(n\ge1\) 代人数恒为零。若 \(m>0\)，独立和的期望与方差给出 \(EZ_n=zm^n\)、\(\operatorname{Var}(Z_n)=zv_n\)，其中 \(v_n\) 是正文的单祖先方差，方差公式要求 \(\sigma^2<\infty\)。归一化鞅的均值变为 \(z\)，不能仍写一。例 11.6.1 的答案是 \((1/3)^3=1/27\)。
习题 11.6-2 · 几何后代分布的灭绝与极限方差
题目。设 \(P(\xi=k)=p(1-p)^k\)，\(k\ge0,\ 0<p<1\)。求 \(f,m,\sigma^2,q\)。当 \(p=1/3\) 时，求 \(P(Z_2=0)\)、\(EW\) 与 \(\operatorname{Var}(W)\)。
解答。对几何级数求和得 \(f(s)=p/[1-(1-p)s]\)。由 \(m=f'(1)\)、\(\sigma^2=f''(1)+f'(1)-f'(1)^2\)，得到
若 \(p\ge1/2\)，则 \(m\le1\)，且 \(p_1=p(1-p)<1\)，故 \(q=1\)。若 \(p<1/2\)，则较小的根为 \(q=p/(1-p)\)。取 \(p=1/3\)，有 \(m=2,\sigma^2=6,q=1/2\)。第二代灭绝概率为 \(f(f(0))=f(1/3)=3/7\)。由于超临界且方差有限，定理给出 \(EW=1\)、\(\operatorname{Var}(W)=6/[2(2-1)]=3\)，以及 \(P(W=0)=1/2\)。
习题 11.6-3 · 灭绝概率自身构成的闭合鞅
题目。假设 \(0<q<1\)。证明 \(q^{Z_n}=P(\mathcal E\mid\mathcal F_n)\)，并由此说明它是有界鞅。再用母函数独立验证其一步条件期望。
解答。给定 \(\mathcal F_n\)，若 \(Z_n=z\)，未来是 \(z\) 个独立族群。它们全灭绝的条件概率为 \(q^z\)；对 \(z=0\)，该值为一。故 \(q^{Z_n}=E[1_{\mathcal E}\mid\mathcal F_n]\)，这是由可积终值 \(1_{\mathcal E}\) 闭合的鞅，且 \(0\le q^{Z_n}\le1\)、\(E[q^{Z_n}]=q\)。直接代入条件母函数公式也得
这一鞅不需要后代二阶矩。其可积性来自有界性，不能与 \(Z_n/m^n\) 的一致可积性混为一谈。
习题 11.6-4 · 比较后代分布：同一均值不足以求灭绝概率
题目。两个后代母函数满足 \(f(s)\ge g(s)\) 对所有 \(s\in[0,1]\) 成立。证明对应的灭绝概率满足 \(q_f\ge q_g\)。再举出均值同为二、灭绝概率不同的两种后代分布。
解答。令 \(a_0=b_0=0\)，\(a_{n+1}=f(a_n)\)、\(b_{n+1}=g(b_n)\)。若 \(a_n\ge b_n\)，则由单调性 \(f(a_n)\ge f(b_n)\ge g(b_n)\)。归纳得 \(a_n\ge b_n\)，取极限即得 \(q_f\ge q_g\)。
取确定后代数 \(\xi\equiv2\)，则 \(g(s)=s^2\)，\(Z_n=2^n\)，灭绝概率为零。另取上一题的几何分布 \(p=1/3\)，其均值也是二，却有 \(q_f=1/2\)。还可核实 \(f(s)-g(s)=(1-s)^2(1+2s)/(3-2s)\ge0\)，与比较结论一致。后代均值决定临界类型，不能单独决定超临界灭绝概率的数值。
关键术语
- 后代分布：单个个体产生的后代数的概率分布。
- Galton–Watson 过程：各个体以相同分布独立繁殖的离散代数模型。
- 分枝性质：给定当前人数，未来由独立的单祖先族群组成。
- 概率母函数：\(f(s)=E[s^\xi]\)，把独立和转化为乘积。
- 灭绝概率：有限代内到达零的概率，是母函数的最小不动点。
- 临界分类：后代均值与一比较；临界灭绝须排除恒一后代。
- 归一化鞅：在 \(m>0\) 时定义的 \(W_n=Z_n/m^n\)。
- 均方收敛：\(E[(W_n-W)^2]\to0\)，足以传递一阶矩。
参考文献与进一步阅读
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed. 作者公开版本，§4.3.4（分枝过程与灭绝分类）、例 4.4.9（二阶矩方法）、习题 4.3.11（极限为零与灭绝的关系）。
- Etheridge, A. B10a: Martingales through Measure Theory，Oxford 大学讲义，§0.2（分枝过程、母函数复合及不动点迭代）。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J / 15.085J, Lecture 26: Martingales II，§3（本节所用的鞅收敛背景）。