12.5 泊松过程与到达时间

12.5.1 计数过程、独立平稳增量与速率

本节先修为指数分布、独立性与乘积测度及鞅的定义。计数过程（counting process）\(N=(N(t))_{t\ge0}\) 的路径右连续、非减、取非负整数值，且 \(N(0)=0\)。这里要求每次跳跃增加 \(1\)，并在有限时间内只有有限次跳跃；\(N(t)-N(s)\) 数的是区间 \((s,t]\) 内的到达。

由泊松分布，\(EN(t)=\operatorname{Var}N(t)=\lambda t\)。当 \(s\le t\) 时，把 \(N(t)\) 分成 \(N(s)\) 与独立的后续增量，便有 \(\operatorname{Cov}(N(s),N(t))=\lambda s\)。速率的单位是“次数／时间”，而 \(\lambda t\) 是无量纲参数。

反过来，对上述计数过程，独立平稳增量加上式 (12.5-2) 也确定了式 (12.5-1)。证明如下：固定 \(z\in[0,1]\)，令 \(g_h(z)=E[z^{N(h)}]\)，则 \(g_h(z)=1+\lambda h(z-1)+o(h)\)。将 \((0,t]\) 等分为 \(m\) 段，独立平稳增量给出 \(g_t(z)=g_{t/m}(z)^m\)；令 \(m\to\infty\)，得到 \(g_t(z)=\exp\{\lambda t(z-1)\}\)，这正是泊松分布的概率生成函数。只规定平均次数 \(EN(t)=\lambda t\)，不能确定增量独立，也不能确定泊松分布。[2]

12.5.2 指数等待与 Gamma 到达时间

定义第 \(n\) 次到达时刻（arrival time）\(T_n=\inf\{t:N(t)\ge n\}\)，约定 \(T_0=0\)、\(\inf\varnothing=\infty\)。当到达时刻有限时，相邻到达间隔（interarrival time）为 \(W_n=T_n-T_{n-1}\)。\(N(t)\) 是次数，\(T_n\) 与 \(W_n\) 是时间，基本对应关系为 \(\{T_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}\)。

相加 \(n\) 个指数间隔，或对 \(P(T_n>t)=P(N(t)\le n-1)\) 求导，都可求得 Erlang 分布，即形状为整数 \(n\)、速率为 \(\lambda\) 的 Gamma 分布：

这里 Gamma 的第二参数采用速率，若采用尺度参数，应写 \(1/\lambda\)。对确定时刻 \(s\)，到下次到达的剩余等待 \(R_s=T_{N(s)+1}-s\) 满足 \(P(R_s>h\mid\mathcal F_s^N)=e^{-\lambda h}\)，其中 \(\mathcal F_s^N=\sigma(N(u):u\le s)\)。这由未来增量独立于过去得到；它描述剩余等待，不能直接用来判断一个按其他规则挑选的完整间隔的分布。

12.5.3 给定次数后的均匀次序统计量

所以对 \(0\le s\le t\)，有 \(N(s)\mid N(t)=n\sim\operatorname{Bin}(n,s/t)\)。当 \(1\le k\le n\) 时，\(T_k/t\) 服从 \(\operatorname{Beta}(k,n+1-k)\)，从而 \(E[T_k\mid N(t)=n]=kt/(n+1)\)。当 \(n\ge2\) 时，排序后的 \(T_1,\ldots,T_n\) 相互依赖，各自也不服从同一个均匀分布。条件化以后，\(N(t)-N(s)=n-N(s)\)，两段次数的条件协方差为 \(-n(s/t)(1-s/t)\)；对 \(0<s<t\) 与 \(n\ge1\)，它严格为负。

12.5.4 叠加与独立稀疏化

若 \(N_1,\ldots,N_r\) 是相互独立、速率分别为 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_r\) 的泊松过程，则 \(N=\sum_jN_j\) 是速率 \(\sum_j\lambda_j\) 的泊松过程。每个区间内，独立泊松变量相加仍为泊松变量；不同区间内所使用的全部输入增量相互独立。不同输入过程的任意一对到达时刻独立且有连续分布，相等的概率为零，对可数个到达时刻对取并仍为零，所以叠加后的跳跃仍为单位跳跃。若输入不独立，例如把同一个过程加两次得到 \(2N_1\)，每次跳跃为 \(2\)，结论便失效。[3]

保留某一类别称为稀疏化（thinning）。当每次以概率 \(p\) 独立保留时，保留与删除的计数过程分别有速率 \(\lambda p\) 与 \(\lambda(1-p)\)，并且独立。若 \(0<p<1\)，给定原过程在某段内的总数为 \(n\ge1\)，两类次数之和被固定，其条件协方差为 \(-np(1-p)<0\)，因而不再条件独立；这与无条件独立没有矛盾。

12.5.5 复合泊松过程与补偿鞅

一次到达可能携带批量、金额或位移。设 \(Y_1,Y_2,\ldots\) 独立同分布，并独立于 \(N\)，定义复合泊松过程（compound Poisson process）\(S(t)=\sum_{j=1}^{N(t)}Y_j\)，空和取零。对 \(N(t)\) 条件化，其特征函数为

不同区间使用独立的到达增量及独立标记，作与稀疏化证明相同的条件计算，可知 \(S\) 也具有独立平稳增量。若 \(E|Y_1|<\infty\)，则 \(ES(t)=\lambda t\,EY_1\)。若还有 \(EY_1^2<\infty\)，全方差公式给出 \(\operatorname{Var}S(t)=\lambda t\operatorname{Var}Y_1+\lambda t(EY_1)^2=\lambda t\,EY_1^2\)。这里随机到达次数也贡献方差，不能只保留第一项。复合泊松过程通常不再是取单位跳跃的计数过程。

类似地，在只记录已发生的到达及其标记的滤过下，若 \(E|Y_1|<\infty\)，则 \(S(t)-\lambda tEY_1\) 是鞅。原因是未来的标记增量独立于已观察的历史，条件均值为 \(\lambda(t-s)EY_1\)。这些结论依赖所指定的滤过；若提前加入未来到达信息，条件均值等式未必保持。

12.5.6 非齐次过程必须使用累计强度

设确定函数 \(\lambda(u)\ge0\) 可测且局部可积，定义累计强度（cumulative intensity）\(\Lambda(t)=\int_0^t\lambda(u)\,du\)。非齐次泊松过程具有独立增量，且 \(N(t)-N(s)\sim\operatorname{Poi}(\Lambda(t)-\Lambda(s))\)。它可由速率为 \(1\) 的齐次过程 \(\Pi\) 作时间变换 \(N(t)=\Pi(\Lambda(t))\) 构造。局部可积保证有限时间内的累计强度有限；增量一般不平稳。[1，§3.7.2]

后一式针对确定时刻 \(s\)，显示剩余等待通常不再服从常速率指数分布。若 \(\Lambda(\infty)<\infty\)，某些 \(T_n\) 还可能为无穷大；不能无条件把所有到达时刻说成有限的 Gamma 变量。补偿鞅相应改为 \(N(t)-\Lambda(t)\)，其证明仍由独立增量与增量均值得到。

当 \(\Lambda(t)>0\) 且 \(n\ge1\) 时，给定 \(N(t)=n\)，未排序的到达位置可表示为独立样本，其密度为 \(\lambda(u)/\Lambda(t)\)，\(0<u<t\)。因此 \(N(s)\mid N(t)=n\sim\operatorname{Bin}(n,\Lambda(s)/\Lambda(t))\)。这也可从时间变换及齐次过程的条件均匀位置得到：将均匀的累计强度坐标用 \(\Lambda\) 的广义逆变回时间，分布函数就是 \(\Lambda(s)/\Lambda(t)\)。只有在强度于该区间几乎处处为常数时，这些位置才均匀分布于时间区间。

12.5.7 习题与详解