本节使用 9.1 节的生成族与测度唯一性、9.2 节的可测映射与分布和 9.3 节的单调收敛定理。除明确指出的反例外，因子测度均为 \(\sigma\) 有限。对非负扩展实数采用 \(0\cdot\infty=0\)，这与零集上的积分约定一致。
9.4.1 乘积事件与可测截面
给定两个可测空间 \((S,\mathcal S)\)、\((T,\mathcal T)\)，联合结果是有序对 \((x,y)\)。集合 \(A\times B\) 表示两个坐标分别落在 \(A,B\) 中，但一般事件还可以是三角形、对角线等非矩形集合。
这是乘积 \(\sigma\) 代数（product sigma-algebra），也是使两个坐标投影可测的最小 \(\sigma\) 代数。对 \(E\subseteq S\times T\)，定义截面（section）\(E_x=\{y:(x,y)\in E\}\)、\(E^y=\{x:(x,y)\in E\}\)。
若 \(E\in\mathcal S\otimes\mathcal T\)，则每个 \(E_x\in\mathcal T\)。证明只需固定 \(x\)：具有这一性质的集合族对补集和可数并封闭，而矩形的截面是 \(B\) 或空集，故它包含全部乘积事件。由逆像 \(\{y:f(x,y)\in C\}=\{f\in C\}_x\)，乘积可测函数的每个截面函数也可测。
在欧氏空间中，\(\mathcal B(\mathbb R)\otimes\mathcal B(\mathbb R)=\mathcal B(\mathbb R^2)\)：矩形是博雷尔集，而每个平面开集是其中有理端点开矩形的可数并。以下均在未完备化的乘积事件族上陈述。即使两个因子测度完备，乘积测度仍未必完备；在两个因子均完备的前提下，再作乘积测度的完备化，截面可测性一般只能在几乎处处意义下保证。
若 \((S,\mathcal S,\mu)\)、\((T,\mathcal T,\nu)\) 都是 \(\sigma\) 有限测度空间，则在 \(\mathcal S\otimes\mathcal T\) 上存在唯一的乘积测度（product measure）\(\mu\otimes\nu\)，满足
若两个因子都是概率测度，乘积测度也是概率测度。矩形族是生成乘积事件族的 \(\pi\) 系统，唯一性由 9.1 节的有限测度唯一性及有限质量覆盖的局部化得到。下一部分同时证明存在性和积分公式。
9.4.2 Tonelli与Fubini：先检查哪一个条件
Tonelli 定理：若 \(f:S\times T\to[0,\infty]\) 关于 \(\mathcal S\otimes\mathcal T\) 可测，则截面积分是非负可测函数，且
三个值可以同时为 \(\infty\)，无需预先证明有限。
Fubini 定理：若 \(f:S\times T\to\mathbb R\) 乘积可测且 \(\int|f|\,d(\mu\otimes\nu)<\infty\)，则几乎每个截面绝对可积，式 (9.4-3) 仍成立，三个积分均有限。内层积分未定义的零测异常集上可赋值零，再作外层积分。
先证明 \(g_E(x)=\nu(E_x)\) 可测。若 \(\nu(T)<\infty\)，使 \(g_E\) 可测的乘积事件构成 \(\lambda\) 系统：全集对应常数；补集对应 \(\nu(T)-g_E\)；可数不交并对应 \(\sum_n g_{E_n}\)。矩形对应 \(\mathbf1_A(x)\nu(B)\)，所以 \(\pi\)–\(\lambda\) 定理给出所有乘积事件的结论。一般 \(\sigma\) 有限的 \(\nu\) 可取 \(T_n\uparrow T\)、\(\nu(T_n)<\infty\)，对有限测度 \(\nu(\,\cdot\,\cap T_n)\) 应用刚才的结论，再令 \(n\to\infty\)。
现在定义 \(\rho(E)=\int_S g_E\,d\mu\)。空集取零；不交 \(E_n\) 的截面仍不交，单调收敛定理给出 \(\rho(\bigcup_nE_n)=\sum_n\rho(E_n)\)。故 \(\rho\) 是测度，且在矩形上等于 \(\mu(A)\nu(B)\)。取两个因子的递增有限质量覆盖 \(S_n,T_n\)，矩形 \(S_n\times T_n\) 覆盖全空间，使唯一性论证成立。交换两个因子构造的测度在矩形上一致，因此也等于 \(\rho=\mu\otimes\nu\)。这证明了式 (9.4-3) 对指标函数成立。
线性相加得到非负简单函数的公式。对任意非负可测 \(f\)，取简单函数 \(f_n\uparrow f\)，分别在截面、外层和乘积空间上用单调收敛定理，即得到 Tonelli 公式及截面积分的可测性。
最后对 \(|f|\) 用 Tonelli。其积分有限，故 \(\int_T|f(x,y)|\,d\nu<\infty\) 对 \(\mu\) 几乎处处的 \(x\) 成立，另一方向同理。对 \(f^+,f^-\) 分别应用非负公式后相减，因两者总积分都有限，不会出现 \(\infty-\infty\)，从而得到 Fubini 定理。
实际计算中，可先对 \(|f|\) 用 Tonelli，只要任一累次积分有限，就已验证 Fubini 所需条件。若两个内层带符号积分碰巧都存在，则尚不能据此换序。官方表述及证明可对照 MIT 讲义 9。
9.4.3 二维密度与换序失败的计算
在 \(\mathbb R^2\) 上定义 \(p(x,y)=2\mathbf1_{\{x>0,\ y>0,\ x+y<1\}}\)。Tonelli 给出 \(\int p\,dx\,dy=\int_0^1 2(1-x)\,dx=1\)，所以 \(P(E)=\int_Ep\,dx\,dy\) 是概率测度。坐标变量的边缘密度为
因 \(XY\) 在支持集上有界，相关积分绝对可积。先固定 \(x\) 积分，得到
换成先固定 \(y\)，外层为 \(\int_0^1y(1-y)^2\,dy\)，得到同一答案。另有 \(\mathbb EX=\mathbb EY=1/3\)，故 \(\mathbb E[XY]\neq\mathbb EX\,\mathbb EY\)，两变量不独立。乘积空间提供联合结果的定义域，选择的联合概率仍可表达依赖。
在 \((0,1)^2\) 的勒贝格乘积空间上取 \(f(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2\)。它在域内连续。利用 \(y/(x^2+y^2)\) 对 \(y\) 的导数，以及 \(-x/(x^2+y^2)\) 对 \(x\) 的导数，分别得到
问题发生在原点附近。若 \(0<y<x/2\)，则 \(f(x,y)\geq12/(25x^2)\)，因此 \(\int f^+\geq(6/25)\int_0^1dx/x=\infty\)。交换 \(x,y\) 使函数变号，故 \(\int f^-=\infty\) 也成立。这个函数没有勒贝格积分，两个累次积分不能被认作同一个二重积分；在原点随意补一个值也无法修复发散。
9.4.4 独立性的测度与函数判据
同一概率空间上的子 \(\sigma\) 代数族 \((\mathcal G_i)_{i\in I}\) 称为相互独立（mutually independent），若任意有限个不同指标 \(i_1,\ldots,i_k\) 及 \(A_j\in\mathcal G_{i_j}\) 都满足
随机变量族 \((X_i)\) 独立，指其生成的 \(\sigma(X_i)\) 相互独立。无限族的定义要求每个有限子族都独立；只检查两两组合不够。
设 \(X,Y\) 的边缘分布为 \(\mu_X,\mu_Y\)，联合分布为 \(\mu_{(X,Y)}\)。以下条件等价：
- \(\sigma(X)\) 与 \(\sigma(Y)\) 独立。
- \(\mu_{(X,Y)}=\mu_X\otimes\mu_Y\) 在 \(\mathcal B(\mathbb R^2)\) 上成立。
- 所有有界博雷尔函数 \(a,b\) 都满足 \(\mathbb E[a(X)b(Y)]=\mathbb E[a(X)]\mathbb E[b(Y)]\)。
- 所有有理数 \(s,t\) 都满足 \(P(X\leq s,Y\leq t)=P(X\leq s)P(Y\leq t)\)。
独立性使两个概率测度在每个矩形 \(A\times B\) 上相等，矩形构成生成博雷尔事件族的 \(\pi\) 系统，故测度唯一性给出 1 推出 2；在矩形上代入又得反向。由 2，用 Fubini 分离 \(a(x)b(y)\) 得到 3；这里有界性和概率总质量为一保证绝对可积。由 3 取指标函数可得 1。
1 直接推出 4。反之，有理端点左下象限 \((-\infty,s]\times(-\infty,t]\) 构成 \(\pi\) 系统，并生成 \(\mathcal B(\mathbb R^2)\)：先将另一端点趋于正无穷得到坐标半空间，再用 9.1 节的半直线生成结论。4 使联合分布与乘积分布在该族上一致，唯一性给出 2。
若存在联合密度 \(p\)，Tonelli 给出边缘密度 \(p_X(x)=\int p(x,y)\,dy\) 和 \(p_Y(y)=\int p(x,y)\,dx\)。独立当且仅当 \(p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)\) 对二维勒贝格测度几乎处处成立；密度在零集上的版本不影响判定。仅有 \(\mathbb E[XY]=\mathbb EX\,\mathbb EY\) 只涉及一对函数，通常不能推出独立。
生成族检验与分组。若两个 \(\sigma\) 代数由含全集的 \(\pi\) 系统生成，只需在两个生成族之间验证独立等式。固定第二个事件，使等式成立的第一个事件组成 \(\lambda\) 系统；扩展第一个生成族后，再固定第一个事件扩展第二个。对有限多个族逐个重复。独立变量的每个不交指标组都可用有限坐标事件的交作 \(\pi\) 系统，即使组内有无限多个变量也如此。故各组生成的 \(\sigma\) 代数仍独立，各组的可测函数也独立。这些判据的标准形式见 Durrett 第 2.1 节。
9.4.5 构造可数个独立随机变量
给定实数上的概率分布 \(\mu_1,\mu_2,\ldots\)，要在 \(\mathbb R^{\mathbb N}\) 上构造坐标变量独立的概率，先指定有限维柱集（cylinder set）的质量：
柱集生成乘积 \(\sigma\) 代数，故这样的概率若存在就唯一。添加一个不受限制的坐标不会改变质量，但这项有限维相容性本身尚未证明可数可加的扩张存在。对实值独立序列，可以直接作如下构造。
在 \([0,1)\) 上取均匀变量 \(U\)，令 \(\varepsilon_k=\lfloor2^kU\rfloor-2\lfloor2^{k-1}U\rfloor\)。每个长度为 \(m\) 的零一前缀对应长度 \(2^{-m}\) 的半开区间，所以前 \(m\) 位均匀分布于全部 \(2^m\) 个前缀。任意有限组指定位的概率由补齐未指定位求和，等于 \(2^{-r}\)，其中 \(r\) 为指定位数。这证明 \((\varepsilon_k)\) 相互独立且每位取零、一的概率各为一半；二进有理数由公式自动取终止表示。
把正整数分成互不相交的无限集 \(I_n=\{2^{n-1}(2j-1):j\geq1\}\)，并定义
每个 \(U_n\) 是相应一组位的可测函数，上一部分的分组判据保证各 \(U_n\) 相互独立。其前 \(m\) 项和 \(V_{n,m}\) 均匀分布于 \(\{k2^{-m}:0\leq k<2^m\}\)，而 \(0\leq U_n-V_{n,m}\leq2^{-m}\)。因此 \(P(V_{n,m}\leq t-2^{-m})\leq P(U_n\leq t)\leq P(V_{n,m}\leq t)\)。令 \(m\to\infty\)，得到 \(P(U_n\leq t)=t\)（\(0\leq t\leq1\)）。故每个 \(U_n\) 均匀分布，端点概率为零。
若 \(F_n\) 是目标分布函数，取广义分位数 \(Q_n(u)=\inf\{x:F_n(x)\geq u\}\)（\(0<u<1\)）。它可测且 \(P(Q_n(U_n)\leq x)=P(U_n\leq F_n(x))=F_n(x)\)。端点可任意定义。令 \(X_n=Q_n(U_n)\)，即可得到所需独立序列；序列映射 \(U\mapsto(X_1,X_2,\ldots)\) 的推前概率满足式 (9.4-8)。
这个构造处理任意指定的实值边缘分布。更一般的相容有限维分布可用 Kolmogorov 扩张定理；其一般状态空间版本需说明空间条件，不能将有限维相容性无条件套到任意可测空间。相关表述见 Durrett 第 2.1.4 节与附录 A.3。
9.4.6 练习与解答
习题 9.4-1 由联合分布计算概率
设 \(X,Y\) 独立，且均服从参数为一的指数分布。计算 \(P(X+Y\leq t)\)（\(t\geq0\)），并说明换序或累次积分的依据。
独立性给出联合密度 \(e^{-x-y}\mathbf1_{\{x>0,y>0\}}\)。区域指标乘密度非负，适用 Tonelli。因此 \(P(X+Y\leq t)=\int_0^t e^{-x}\int_0^{t-x}e^{-y}\,dy\,dx=\int_0^t(e^{-x}-e^{-t})\,dx=1-(1+t)e^{-t}\)。在 \(t=0\) 时为零，趋于无穷时趋于一；相应和的密度为 \(te^{-t}\mathbf1_{\{t>0\}}\)。
习题 9.4-2 证明尾积分公式
对任意非负随机变量 \(Z\)，证明 \(\mathbb EZ=\int_0^\infty P(Z>t)\,dt\)，允许两端为无穷。进而给出 \(\mathbb EZ^p\) 的公式，其中 \(p>0\)。
逐点有 \(Z(\omega)=\int_0^\infty\mathbf1_{\{t<Z(\omega)\}}\,dt\)。该指标函数在概率空间与 \([0,\infty)\) 的乘积上可测，因为 \((\omega,t)\mapsto Z(\omega)-t\) 可测；若允许 \(Z=\infty\)，也可先截断 \(Z\)。两因子测度 \(\sigma\) 有限，Tonelli 给出所求等式。再用 \(z^p=\int_0^zpt^{p-1}\,dt\) 得到 \(\mathbb EZ^p=\int_0^\infty pt^{p-1}P(Z>t)\,dt\)，积分是否有限不影响恒等式。
习题 9.4-3 两两独立不足以确定三维乘积分布
设 \(B_1,B_2\) 是独立的公平零一变量，令 \(B_3=(B_1+B_2)\bmod2\)。证明三者两两独立，却不相互独立，并指出哪个有限维检验失败。
可能的三元组为 \(000,011,101,110\)，各概率 \(1/4\)。投影到任意两个坐标，都得到四种零一对且各概率 \(1/4\)，因此两两独立。但 \(P(B_1=B_2=B_3=0)=1/4\)，三个变量各自取零的概率乘积为 \(1/8\)。三维矩形 \(\{0\}^3\) 已使乘积公式失败，所以不能据两维投影宣称序列相互独立。
习题 9.4-4 非负性不能替代σ有限性
在 \([0,1]\) 的博雷尔事件族上，令 \(\mu\) 为计数测度、\(\nu\) 为长度测度，取 \(f(x,y)=\mathbf1_{\{x=y\}}\)。计算两种累次积分，解释为何不违反本节定理。
固定 \(x\)，对 \(y\) 的非零集是单点，长度为零，故 \(\int\int f(x,y)\,\nu(dy)\mu(dx)=0\)。固定 \(y\)，对 \(x\) 的单点计数测度为一，故 \(\int\int f(x,y)\,\mu(dx)\nu(dy)=1\)。对角线是闭集，函数确实乘积可测且非负。失效的是 \(\mu\) 的 \(\sigma\) 有限性：有限计数测度集合只能有限，可数个此类集合无法覆盖不可数的 \([0,1]\)。
关键术语
- 乘积 \(\sigma\) 代数：可测矩形生成的事件族。
- 截面：固定一个坐标后得到的集合或函数。
- 乘积测度：在矩形上满足因子测度相乘的测度。
- Tonelli 定理：非负可测函数的乘积积分等于累次积分，允许无穷。
- Fubini 定理：绝对可积函数可以交换积分顺序，截面几乎处处可积。
- 独立的 \(\sigma\) 代数：任取有限个不同族中的事件，交的概率等于概率乘积。
- 联合分布：随机向量在目标乘积空间上的推前概率。
- 柱集：只对有限多个坐标施加可测限制的事件。
参考文献与延伸阅读
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed.，作者版本。第 1.7 节的乘积测度、积分换序及反例；第 2.1 节的独立性判据与序列构造，附录 A.3 的扩张定理。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J，Lecture 9: Product Measure and Fubini's Theorem。截面构造、非负与可积两种换序定理，以及条件失效的反例。