4.7 寻峰、积分与拟合

寻峰(peak picking)是在指定区域内，按高度、局部极大值、最小间距等规则寻找候选峰的位置。算法输出首先属于处理谱的几何特征。局部极大值可能对应一条分辨开的跃迁谱线，也可能由几条未分辨谱线叠加而成；噪声、截断振铃和残余相位误差也能产生极大值。因此，峰表中一行的位置不能直接变成结构式中的一个氢标签。

例如，一阶三重峰的三条谱线来自同一组氢的耦合裂分。若全部分辨且超过阈值，寻峰器可返回三个位置；这个结果仍应归在同一个多重峰记录下。反过来，两组氢的信号恰好同频时，处理谱可能只有一个极大值。此时等时性只说明频率相同，环境是否等价仍须按2.11 的判据检验。先保留局部峰表，再建立信号区域和指认表，可以避免把计算层面的条目误用为环境数。

阈值宜参考无信号区域的噪声，而不能只取全谱最高峰的一定比例。强溶剂峰决定的全局比例可能使样品弱峰全部漏检。若用噪声标准差的若干倍作为起始阈值，应记录噪声区、估计方式和倍率，并检查噪声是否随频率变化。基线弯曲、峰尾、局部污染会使所谓无信号区并不干净；相邻数据点相关时，倍率也不能直接解释成通用的误检概率。

高度与面积不同。图 4.7-2 设三条窄 Lorentz 谱线的总面积为四个面积单位，另一条宽线也为四个面积单位。宽线把面积分布在较宽的频率范围内，最高点较低；取图示阈值时，窄线被找到而宽线漏检。Keeler（2002）由指数衰减的傅里叶变换说明同面积线展宽时峰高降低。实际宽峰还可能覆盖许多点却没有明显尖顶，因此不能把未进入峰表解释成该区域没有氢信号。

阈值调整后的峰表应回到完整谱图上检查：候选是否在多重峰预期位置，降低阈值后出现的弱线是否持续存在，是否伴随大峰两侧的规则振铃。零填充增加插值后的点数，可使极大值定位更平滑，却不能使原本未分辨的跃迁自动成为独立证据。宽峰和肩峰宜另记区域，保留其不确定性；后面的4.8再按噪声、伪影和污染逐项诊断。

这里 \(N\) 是所取数据点数，\(y_i\) 的单位为任意强度单位 a.u.，积分单位为 a.u. Hz。若显示轴从左到右递减，应先按数值排列或正确处理积分方向。用 ppm 轴积分时，同一张谱上的面积比可保持一致，但绝对面积单位和网格宽度要相应改变。峰高阈值只能帮助定位，不能直接充当积分边界；只加总阈值以上的点，会丢失线尾并使弱峰的相对损失更大。

本页采用总面积参数化的Lorentz 线形(Lorentzian lineshape)来计算有限窗口的后果：

\(A\) 是无限频率域面积，\(\mu\) 是中心频率，正值参数 \(\gamma\) 是半高半宽(half-width at half-maximum, HWHM)，后二者单位均为赫兹；半高全宽为 \(2\gamma\)。以中心为对称点、左右各取 \(W\) 的积分区域，经反正切积分得到收集比例：

Lorentz 尾部延伸到任意有限频率处，所以视觉上接近基线仍不等于面积已全部收集。取教学设定 \(A=1.000\,\mathrm{a.u.\,Hz}\)、\(\gamma=1.00\,\mathrm{Hz}\)。若校正后还剩常量基线偏移 \(\Delta b=0.002\,\mathrm{a.u.}\)，窗口内又额外积累 \(2W\Delta b\)。表 4.7-1 将真实线尾与残余基线分开计算。

第二行看似接近一，实际上漏掉的尾部与正基线误差部分抵消。第三行收集更多尾部，却因基线误差增大而超过一。因此，扩宽窗口不能替代基线检查；沿峰两侧反复改边界，也不应以得到整数面积为目标。BIPM 的 qNMR 参考资料要求一致的积分策略，并验证基线处理的有效性（Westwood et al., 2018）。具体窗口还受重叠、卫星峰和噪声限制，不能把本例某个宽度搬成所有谱图的固定规则。

Oxford 手册用穿心莲内酯的常规氢谱说明，残留溶剂信号落入亚甲基多重峰区域会增加该区域的积分（Odell 与 Claridge，Oxford NMR 手册）。这类额外面积不随目标分子的氢数增长。处理时应先依据条件识别可能的溶剂、水和杂质，再决定排除、改选独立信号或报告区域总和。把重叠部分硬分开、把某个分配值四舍五入成整数，不能补足缺失的选择性。

面积还带有不确定性。对已知基线、等间距、相互独立且等方差的噪声，简化为 \(N\) 点矩形求积时，随机噪声的标准不确定度为：

\(\Delta x\) 为点间距，\(\sigma\) 为单点强度噪声标准差。教学设定 \(\Delta x=0.10\,\mathrm{Hz}\)、\(\sigma=0.004\,\mathrm{a.u.}\)、\(N=200\)，得到 \(u_{\mathrm{noise}}=0.00566\,\mathrm{a.u.\,Hz}\)。相同约二十赫兹区域若残余基线偏移为 \(0.002\,\mathrm{a.u.}\)，面积偏移约 \(0.040\,\mathrm{a.u.\,Hz}\)，远大于这个随机贡献。加窗、零填充或滤波可使点间噪声相关，式（4.7-4）便不能直接套用；基线偏差也不能靠增加扫描次数按同一平方根规律消除。

归一化会把参考面积的不确定性传入其他区域。设教学案例中已可靠指认为二氢的参考信号面积为 \(I_r=2.00\)，待判断区域为 \(I_t=3.01\)，两者均以同一任意面积单位表示，则相对氢数估计为 \(2I_t/I_r=3.01\)。若合理处理方案给 \(I_r\) 的范围为 1.98 至 2.02、\(I_t\) 为 2.94 至 3.08，保守端点计算给出 2.91 至 3.11。这个范围表达处理敏感性，未指定概率模型，不能称为某个置信水平的区间；同一次基线处理造成的相关变化还应共同检查。

4.4 的差异饱和可能已使采集到的面积比例偏离氢数比例。后处理不能从单张谱自动恢复未知的纵向磁化。这里的区域与误差检查属于常规结构谱工作；若目标是含量、纯度或组分比例，还须在7.1检验定量采集条件，并在7.3纳入制备、标准物质和重复测量的贡献。

\(K\) 是预先选择的组分数，\(A_j\) 是第 \(j\) 个组分的全线面积，\(\mu_j\) 为中心频率，\(w_j\) 为半高全宽，\(x_c\) 是拟合窗中心。频率与宽度均以赫兹表示，\(g\) 的单位为每赫兹。\(b_0\)、\(b_1\) 分别描述局部基线截距和斜率，单位为 a.u. 与 a.u./Hz；参数集合记为 \(\boldsymbol\theta\)。本节讨论常规正吸收信号，故可对面积和宽度设正值约束。线性基线只是局部近似，若窗口内基线明显弯曲，就需要重新处理或检验其他基线模型。

单指数自由衰减在理想条件下给出 Lorentz 吸收线形；Gaussian 线形可用于特定的高斯展宽模型，Voigt 线形则是 Gaussian 与 Lorentz 线形的卷积。有限采集、匀场分布、交换和窗函数都可能改变实际线形，所以处理后线宽不能直接视为分子的固有横向弛豫参数（Keeler, 2002）。nmrglue 官方文档提供多种线形及区域拟合接口，但可调用某种线形并不说明它适合当前数据。

还应核对软件参数的含义。nmrglue 所列 Lorentz、Gaussian 和 Voigt 生成函数采用中心单位高度；本页式（4.7-5）采用单位面积。两种约定下的幅度参数不同：Lorentz 线的高度为 \(A/(\pi\gamma)\)。如果把软件输出的峰高直接当面积，宽峰会被系统性低估。把全线面积参数与窗口内积分作比较时，还要乘上所选模型在该窗口内收集的比例。

拟合通常最小化平方残差。令残差(residual)为 \(r_i=S(x_i)-f(x_i;\boldsymbol\theta)\)，若各点噪声标准差 \(\sigma_i\) 已知且点间独立，可写加权目标：

只有权重对应实际噪声条件时，\(Q\) 的统计解释才合适。点间相关需在误差模型中另行考虑。非线性优化依赖初值，可能收敛到局部最小值；NIST 的回归指南明确说明这类限制。因此应比较多组合理初值，检查宽度或位置是否贴住人为边界，再看残差是否留有连续的正负波形。强行增加组件常能降低残差，却也可能把相位误差、噪声和不合适的线形分配成假谱线。

频域曲线只限制面积总和。图 4.7-3 的两个模型都给出完全相同的和谱，即使没有噪声也无法从该谱选择一种面积分配。两个面积对预测曲线的改变方向相同，增加数据点或零填充都不能补出独立约束。软件给出单一分配值，可能只是初值、边界或固定参数选择的结果。一个全面积为一的单组件模型同样能描述该曲线，所以拟合组件数本身也未被数据证明。

近邻但未完全重合的线会出现较弱的同类问题：中心、宽度、面积和基线相互补偿，使若干组合在噪声内难以区分。应改变合理的拟合窗口、线形和基线阶数，比较面积是否稳定，并检查参数相关及多初值结果。某一模型内部给出的标准误差只反映该模型和噪声假设下的局部变化；遗漏组分、错误线形或残余相位造成的模型误差(model error)不会自动纳入其中。对于不可独立分配的重叠区，报告总面积和歧义比给出很窄的虚假误差范围更合适。

提交解谱记录时，保留原始 FID、处理参数、噪声估计区域、峰表阈值、积分边界、归一化基准和拟合模型。附上处理谱、拟合和谱及残差曲线；注明哪些区域仅有总面积，哪些指认依赖模型约束。后续若重采或改变条件，可以据此检查结论变化来自采集、处理还是面积分配。