先修内容是概率空间与测度扩张、Borel–Cantelli 引理及弱收敛。离散时间中的“所有时刻”只有可数多个；连续时间中，这个量词会改变结论。
13.1.1 有限维分布与扩张
设 \(T\) 为指标集，\((E,\mathcal E)\) 为状态空间。随机过程（stochastic process）\(X=(X_t)_{t\in T}\) 是定义在同一概率空间上的一族 \(E\) 值可测映射。固定 \(\omega\) 后，\(t\mapsto X_t(\omega)\) 是样本路径。定义本身只要求每个坐标可测；当 \(T\) 带有拓扑时，联合可测性与路径连续性仍须另行证明。
对有限集 \(F\subset T\)，记 \(\mu_F=\mathcal L((X_t)_{t\in F})\)，称为有限维分布（finite-dimensional distributions）。它们必须满足投影一致性：
其中 \(\pi_{G,F}:E^G\to E^F\) 删去不在 \(F\) 中的坐标。若用有序时刻表述，同步置换时刻与坐标后分布应一致；重复时刻必须取相同坐标。只给出各时刻的边缘分布，尚未规定时刻之间的依赖。
设 \(E\) 是非空标准 Borel 空间，即与某个完备可分度量空间的 Borel 子集可测同构。对任意非空指标集 \(T\)，每族一致的有限维概率测度 \((\mu_F)\)，都唯一确定积可测空间 \((E^T,\mathcal E^{\otimes T})\) 上的概率测度。坐标映射 \(X_t(\omega)=\omega(t)\) 因而实现这些有限维分布。这里积 \(\sigma\) 代数由有限坐标柱集生成；状态空间可以是 \(\mathbb R^d\)、可数离散集或 \(C[0,1]\)。
证明范围。一致性使柱集上的赋值良定义且有限可加；存在性中关键的一步，是利用标准 Borel 空间的正则性验证可数可加性，再作测度扩张。本节不展开这一步，见文献 [2] §1.2及文献 [3] 第 2 讲。唯一性则直接来自柱集构成的 \(\pi\) 系统和 \(\pi\)–\(\lambda\) 定理。不要把标准 Borel 假设随意换成任意可测空间。
扩张定理没有保证路径连续。积 \(\sigma\) 代数中的每个集合只依赖可数多个坐标：所有具有此性质的集合对补集、可数并封闭，并包含柱集。于是 \(C[0,1]\) 甚至不是 \(\mathbb R^{[0,1]}\) 的积可测集合；若它由可数集 \(D\) 决定，在 \(D\) 外给零函数加一个尖峰，就会得到相同的 \(D\) 坐标，却改变连续性。构造好路径，需要下一步的修正。
13.1.2 修正、不可区分与可分路径
“版本”（version）的用法在文献间并不完全一致。本节采用文献 [3] 的约定：版本与修正（modification）同义；仅有有限维分布相同，称为同分布实现。以下两种路径关系要求过程处于同一概率空间。
| 关系 | 准确条件 | 量词的含义 |
|---|---|---|
| 同有限维分布 | 每个有限 \(F\) 的向量分布相同 | 可以在不同概率空间上实现 |
| 修正／版本 | 对每个固定 \(t\)，\(P(X_t=Y_t)=1\) | 例外零测集可依赖 \(t\) |
| 不可区分（indistinguishable） | 存在可测 \(\Omega_0\)，\(P(\Omega_0)=1\)，且对所有 \(\omega\in\Omega_0,t\in T\)，\(X_t(\omega)=Y_t(\omega)\) | 所有时刻共用一个零测集 |
不可区分蕴含修正，修正蕴含同有限维分布：对有限多个时刻取概率 1 事件的交即可。反向一般不成立；两个独立的标准正态变量生成的常值过程同有限维分布，却不是修正。
在 \(\Omega=[0,1]\) 上取均匀概率测度，令 \(U(\omega)=\omega\)，并设
解。对固定 \(t\)，\(P(U=t)=0\)，故 \(X,Y\) 互为修正；对任何有限时刻集合，联合向量都几乎必然为零。但每个 \(\omega\) 都在 \(t=U(\omega)\) 处有 \(Y_t=1\)，所以没有一条 \(Y\) 路径等于零路径。两过程并非不可区分，且 \(\sup_tX_t=0\)、\(\sup_tY_t=1\)。这也说明修正关系不能直接传递原过程的路径连续性。
连续修正的唯一性。若 \(X,Y\) 互为修正，且都几乎必然连续，取它们连续的共同概率 1 事件，再交上所有 \(q\in D=\mathbb Q\cap[0,1]\) 对应的事件 \(\{X_q=Y_q\}\)。这个可数交仍有概率 1。对其中每个 \(\omega\)，由稠密性和连续性把相等从 \(D\) 延伸到全部时刻，故两过程不可区分。
实值过程的可分性（separability）是用一个固定可数稠密集 \(D\) 描述路径：在某个共同概率 1 事件上，每个图像点 \((t,X_t)\) 都能由 \((q,X_q)\)、\(q\in D\) 的点列逼近。连续过程具有这一性质；例 1 的尖峰过程对任何固定可数 \(D\) 都不具有它。
对连续路径，在零测例外集上统一定义为零路径后，\(X\) 是 \(C[0,1]\) 值随机变量。证明要点是
第一个等式来自连续性。取有理网格上有理取值的折线，可得到 \(C[0,1]\) 的可数稠密集；以这些折线为中心、有理半径的球构成可数基。每个球由上述可数上确界描述，因此属于坐标生成的 \(\sigma\) 代数；反向包含由坐标映射连续得到。坐标可测遂推出路径映射可测。有限维分布也就唯一决定其在 \(C[0,1]\) 上的分布，路径上确界成为可测泛函。
13.1.3 Kolmogorov 连续性定理：二进网格证明
设 \(X_t\)、\(0\le t\le1\)，取值于 \(\mathbb R^d\)，\(|\cdot|\) 表示欧氏范数。若存在 \(\alpha>0,\beta>0,C<\infty\)，使所有 \(s,t\in[0,1]\) 满足
则存在连续修正 \(\widetilde X\)，其路径几乎必然对每个 \(0<\gamma<\beta/\alpha\) 都是 Hölder 连续的，即存在有限随机常数 \(K_\gamma\) 使 \(|\widetilde X_t-\widetilde X_s|\le K_\gamma|t-s|^\gamma\)。结论不包含临界阶 \(\gamma=\beta/\alpha\)，也不声称原过程本身连续。这里时间参数是一维；多参数立方体 \([0,1]^m\) 的对应矩条件须把 \(1+\beta\) 换成 \(m+\beta\)。
证明。固定 \(0<\gamma<\beta/\alpha\)。令 \(D_n=\{k2^{-n}:0\le k\le2^n\}\)，\(D_*=\bigcup_{n\ge0}D_n\)，并记最大相邻增量为 \(M_n\)。对 \(2^n\) 条边分别使用 Markov 不等式再求和：
右端对 \(n\) 可求和，故 Borel–Cantelli 引理保证 \(M_n\le2^{-n\gamma}\) 最终成立。吸收有限多个初始层后，在一个可测概率 1 事件 \(\Omega_\gamma\) 上，可取有限随机常数 \(K\ge1\)，使所有 \(n\ge0\) 都有 \(M_n\le K2^{-n\gamma}\)。
先比较二进点 \(u,v\in D_*\)。令 \(u_n=2^{-n}\lfloor2^nu\rfloor\)，类似定义 \(v_n\)。若 \(|u-v|\le2^{-n}\)，则 \(u_n,v_n\) 同点或相邻；从第 \(j-1\) 层到第 \(j\) 层，每个端点至多移动一条第 \(j\) 层的边。因此在 \(\Omega_\gamma\) 上，望远镜求和给出
对 \(u\ne v\)，选 \(n\ge0\) 使 \(2^{-(n+1)}<|u-v|\le2^{-n}\)，便得到常数倍的 \(|u-v|^\gamma\) 上界。所以 \(X\) 在稠密集 \(D_*\) 上一致连续，可唯一延伸成 \([0,1]\) 上具有同一 Hölder 估计的连续函数；这里用了 \(\mathbb R^d\) 的完备性。
在 \(\Omega_\gamma\) 上把该延伸记为 \(\widetilde X\)，在补集上定义为零路径。每个 \(\widetilde X_t\) 都是可测随机变量，因为它是可测事件上二进逼近的极限。还须验证它是原过程的修正：对固定 \(t\)，令 \(t_n=2^{-n}\lfloor2^nt\rfloor\)，则 \(X_{t_n}\to\widetilde X_t\) 几乎必然，而矩条件给出
依概率极限的唯一性推出 \(\widetilde X_t=X_t\) 几乎必然。最后选可数序列 \(\gamma_j\uparrow\beta/\alpha\)，对各阶应用上述构造。所得连续修正彼此不可区分；取共同概率 1 事件后，同一修正具有所有这些阶的估计。较高阶估计蕴含较低阶估计，因而结论同时覆盖所有严格小于 \(\beta/\alpha\) 的正阶。证毕。
13.1.4 从高斯有限维分布得到连续路径
给定 \(T=[0,1]\)，希望构造中心高斯过程，其协方差为 \(K(s,t)=\min(s,t)\)。验证有限维分布存在，并求连续修正的 Hölder 阶。
解。对任意时刻 \(t_1,\ldots,t_m\) 和实数 \(a_1,\ldots,a_m\)，
因此各协方差矩阵半正定，存在相应的中心多元高斯分布，允许退化。高斯边缘分布由对应均值和协方差子矩阵决定，故这些分布一致；扩张定理给出过程 \(X\)。它的增量为 \(N(0,|t-s|)\)，所以对每个整数 \(r\ge2\)，
取 \(r=2\) 只能由该次估计推出 \(\gamma<1/4\)。让 \(r\) 沿整数趋于无穷，利用连续修正的唯一性并取可数交，得到一个修正同时具有所有 \(\gamma<1/2\) 的 Hölder 连续性；没有推出 \(1/2\) 阶。这个连续高斯过程就是下一节研究的标准布朗运动。构造的两步分别负责“存在指定分布”和“存在指定路径性质”。
13.1.5 Donsker 定理：整条路径的中心极限
设 \(\xi_1,\xi_2,\ldots\) 独立同分布，\(E\xi_1=0\)，\(E\xi_1^2=\sigma^2\in(0,\infty)\)，\(S_0=0\)，\(S_k=\sum_{j=1}^k\xi_j\)。对 \(0\le t<1\) 作线性插值，并在端点取连续延伸：
把 \(W_n\) 看成带上确界范数的 \(C[0,1]\) 值随机变量，则
其中 \(B\) 是例 2 的连续中心高斯过程，\(B_0=0\)、\(E(B_sB_t)=\min(s,t)\)，即标准布朗运动；\(C_b\) 表示有界连续实函数。这里仅需有限二阶矩，不要求四阶矩。定理的完整证明见文献 [1] 定理 8.1.4。
证明结构与省略范围。固定 \(0=t_0<t_1<\cdots<t_m\le1\)，不同区间的部分和增量独立。分别对每个区间应用中心极限定理，得到方差为 \(t_i-t_{i-1}\) 的独立正态极限；累加便得到协方差 \(\min(t_i,t_j)\)。固定时刻的插值余项由 \(E\xi_1^2/(n\sigma^2\varepsilon^2)\to0\) 控制，故有限维分布收敛成立。
仍须排除越来越窄、却有固定高度的路径振荡。记 \(w(f,\delta)=\sup_{|t-s|\le\delta}|f(t)-f(s)|\)。由于 \(W_n(0)=0\)，所需的 \(C[0,1]\) 紧性可通过以下模连续性条件验证：
有限二阶矩下验证此条件的截断与最大不等式论证在本节省略；文献 [1] 则采用 Skorokhod 嵌入完成函数型极限证明。紧性只保证子列极限存在，有限维极限再唯一确定该极限为 \(B\)，两步合起来才给出整列弱收敛。习题 4 说明第一步不能由有限维收敛替代。
阶梯过程 \(S_{\lfloor nt\rfloor}/(\sigma\sqrt n)\) 通常不在 \(C[0,1]\) 中；要直接使用它，须改用右连续有左极限的路径空间及合适拓扑，本节不展开。上面的定理比较路径的概率分布，未断言在原概率空间中一致依概率收敛或几乎必然收敛。对连续泛函，如最大值、路径积分，可再用连续映射定理提取分布极限。
13.1.6 习题与完整解答
习题 13.1-1 两两分布能否同时实现？
希望 \(X_1,X_2,X_3\in\{-1,1\}\) 的每一对都以概率 \(1/2\) 取 \((1,-1)\)，以概率 \(1/2\) 取 \((-1,1)\)。各对的一维边缘相同，是否存在这样的三维分布？
解答。每个一维边缘确实都是对称的 \(\{-1,1\}\) 分布。但若三维分布存在，三个事件 \(\{X_iX_j=-1\}\)、\(i<j\)，都有概率 1，其交也有概率 1。在交集上，相乘左端得 \(X_1^2X_2^2X_3^2=1\)，右端却为 \(-1\)，矛盾。因此无法实现。这组要求尚不是覆盖所有有限集合的一致族；只核对相交边缘仍不足以提供缺失的三维概率测度。
习题 13.1-2 高斯矩条件能给出多大的 Hölder 阶？
已知实值高斯过程满足 \(X_t-X_s\sim N(0,|t-s|^{3/2})\)。分别只用四阶矩、八阶矩求 Kolmogorov 定理给出的阶数；若使用所有高斯矩呢？
解答。标准正态的四阶矩为 \(3\)，八阶矩为 \(105\)，所以
第一式取 \((\alpha,\beta)=(4,2)\)，给出 \(\gamma<1/2\)；第二式取 \((8,5)\)，给出 \(\gamma<5/8\)。一般 \(p>4/3\) 时，\(E|X_t-X_s|^p=c_p|t-s|^{3p/4}\)，取 \(\beta=3p/4-1\)，得到 \(\gamma<3/4-1/p\)。让 \(p\) 沿正整数趋于无穷并取共同连续修正，可得所有 \(\gamma<3/4\)。此论证没有给出临界阶 \(3/4\)，也没有单凭增量公式证明这种高斯过程存在；存在性在题设中已给定。
习题 13.1-3 随机游走面积的极限分布
在 Donsker 定理的条件下，求 \(A_n=(\sigma n^{3/2})^{-1}(\sum_{k=1}^{n-1}S_k+S_n/2)\) 的极限分布。
解答。每一段折线的积分等于梯形面积，因此 \(A_n=\int_0^1W_n(t)\,dt\)。泛函 \(I(f)=\int_0^1f(t)\,dt\) 满足 \(|I(f)-I(g)|\le\|f-g\|_\infty\)，由连续映射定理，\(A_n\Rightarrow I(B)\)。
为确定右端分布，取等距网格的左端 Riemann 和。它们是中心高斯变量；与积分之差的二阶矩不超过 \(\int_0^1E|B_{\lfloor mt\rfloor/m}-B_t|^2dt\le1/m\)，故在 \(L^2\) 中收敛。其方差趋向下面的双重积分，特征函数也随之趋向对应正态特征函数：
上述交换积分合法：由 Cauchy–Schwarz，\(E|B_sB_t|\le\sqrt{st}\)，在单位正方形上可积。
习题 13.1-4 有限维收敛为何不够？
对 \(n\ge2\) 定义确定性连续路径 \(f_n(t)=(1-n|t-1/n|)_+\)，\(0\le t\le1\)，其中 \(x_+=\max(x,0)\)。证明其有限维分布收敛到零过程，但在 \(C[0,1]\) 中并不弱收敛到零路径。
解答。\(f_n(0)=0\)；对任意固定 \(t>0\)，当 \(n>2/t\) 时 \(f_n(t)=0\)。故任意有限个时刻的取值向量最终为零。可是 \(f_n(1/n)=1\)，所以 \(\|f_n\|_\infty=1\)。取有界连续泛函 \(\Phi(f)=\min(1,\|f\|_\infty)\)，就有 \(\Phi(f_n)=1\)，而 \(\Phi(0)=0\)，违背弱收敛的定义。
这里也明确缺乏紧性。由 Arzelà–Ascoli 定理，每个 \(C[0,1]\) 中的紧集都一致等度连续；但这族路径在距离 \(1/n\) 内跳升 \(1\)，故任何紧集只能包含有限多个 \(f_n\)。对应点质量测度不能把统一的大概率留在一个紧集中。
关键术语
- 有限维分布：任意有限个时刻的联合分布。
- 投影一致性：删去坐标后与已给边缘分布相符。
- 标准 Borel 空间：具有标准可测结构的状态空间。
- 修正／版本：每个固定时刻几乎必然相等。
- 不可区分：在共同概率 1 事件上，所有时刻相等。
- 可分过程：用固定可数时刻集合逼近样本图像。
- Hölder 连续性：增量受时间差的正幂控制。
- 函数型弱收敛：在指定路径空间与拓扑中收敛其分布。
参考文献与进一步阅读
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed. 作者公开版本，附录 A.3（扩张），§7.1（布朗运动构造），§8.1、定理 8.1.4（采用线性插值的 Donsker 定理及证明）。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J / 15.085J, Lecture 20: The Basics of Stochastic Processes，§1.1–1.2（柱集、积可测空间、有限维分布与扩张）。
- Biskup, M. (2025). UCLA MATH 275D 讲义：第 2 讲：Kolmogorov Extension Theorem（标准 Borel 状态空间）；第 3 讲：Continuity Criteria（版本、连续修正与矩条件）；第 4 讲：Wiener Space and Wiener Measure（路径可测性与唯一性）。