13.4.1 从可预测阶梯过程定义积分
布朗路径在非退化区间上几乎必然具有无限全变差，普通的 Lebesgue–Stieltjes 积分不能直接给出所需的随机积分。本节在有限时段 \([0,T]\) 上建立伊藤积分（Itô integral）。设滤过满足通常条件，\(B\) 是相对于该滤过的标准布朗运动；特别地，\(B_t-B_s\) 独立于 \(\mathcal F_s\)。这项信息条件与正态增量同样必要。
连续时间的可预测 \(\sigma\) 代数由 \((s,t]\times A\)（\(A\in\mathcal F_s\)）及 \(\{0\}\times A\)（\(A\in\mathcal F_0\)）生成。对它可测的过程称为可预测过程。直观上，在一个时段内使用的阶梯系数已由该时段开始时的信息决定。
对这样的阶梯过程定义
时间端点取左开右闭，使系数来自增量发生之前；单个端点在 \(dt\otimes P\) 下为零测集。细化分割并把系数复制到子区间，积分值不变，因此定义不依赖同一阶梯过程的表示。连续适应过程是可预测的：其左端阶梯近似逐点收敛，时间零点单独处理。
13.4.2 伊藤等距与完备化
阶梯过程的积分均值为零，而且
证明。把两个过程的分割细化为同一个分割，记 \(\Delta B_k=B_{t_{k+1}}-B_{t_k}\)。独立增量和条件期望给出 \(E(\xi_k\Delta B_k)=0\)，以及 \(E(\xi_k^2\Delta B_k^2)=E(\xi_k^2)(t_{k+1}-t_k)\)。对 \(i<j\)，\(\xi_i\Delta B_i\xi_j\) 对 \(\mathcal F_{t_j}\) 可测，而 \(E(\Delta B_j\mid\mathcal F_{t_j})=0\)，故交叉项期望为零；各乘积可积由 Cauchy–Schwarz 保证。展开平方并求和即得第一式。把它用于 \(H+K\) 并减去两平方项，得到第二式。
定义 \(\mathcal H_T^2\) 为满足 \(E\int_0^T H_s^2ds<\infty\) 的可预测过程所成的空间，按 \(dt\otimes P\) 几乎处处相等识别。其范数是 \(\|H\|_{\mathcal H_T^2}^2=E\int_0^TH_s^2ds\)。上述阶梯过程在这个空间稠密：有界阶梯函数的线性空间包含生成可预测 \(\sigma\) 代数的矩形指标；有限测度上的单调类逼近再结合截断，可在 \(L^2(dt\otimes P)\) 中逼近任一可预测平方可积函数。
扩张的存在与唯一性。取阶梯过程 \(H^{(n)}\to H\) 于 \(\mathcal H_T^2\)。等距说明 \(I_T(H^{(n)})\) 为 \(L^2(P)\) 中的 Cauchy 列，因此存在极限，将它定义为 \(I_T(H)\)。若采用另一组近似，等距使两积分的差仍趋于零，故结果相同。由极限可得线性、零均值及式 (13.4-3)，这是完备化构造的实质。
对每个固定 \(t\)，以上构造应用于 \(H\mathbf1_{(0,t]}\) 给出 \(I_t(H)\)。要获得一个具有连续路径的过程，还须控制所有时刻，而不只是分别给每个时刻选择零概率例外集。
13.4.3 鞅性质、连续版本与局部化
若 \(H\in\mathcal H_T^2\)，则 \(I_t(H)\) 有连续版本，是平方可积鞅，且 \(I_t(H)^2-\int_0^tH_s^2ds\) 为鞅。还有最大估计
证明。阶梯积分由式 (13.4-2) 连续，且适应。对任何 \(s<t\)，将分割加入 \(s,t\)，未来各增量的条件均值为零，故 \(E(I_t\mid\mathcal F_s)=I_s\)。相同的平方展开给出 \(E[(I_t-I_s)^2\mid\mathcal F_s]=E[\int_s^tH_u^2du\mid\mathcal F_s]\)，因此平方减补偿项也为鞅。
在越来越密的有限时间网格上应用Doob 的二次最大不等式，再利用连续性和单调收敛，得到阶梯积分的式 (13.4-4)。于是
选取足够快的子列，Markov 不等式与 Borel–Cantelli 引理使积分子列在整个 \([0,T]\) 上几乎必然一致收敛，极限路径连续；最大估计还使整列在平方平均的一致范数中收敛。固定时刻的极限与上一小节相同。条件期望的 \(L^2\) 收缩性把鞅等式传到极限；平方项在 \(L^1\) 收敛，而 \(\int |(H^{(n)})^2-H^2|\) 的期望由 Cauchy–Schwarz 趋零，故补偿鞅等式也传到极限。
若仅有可预测性及对每个有限 \(T\)，\(\int_0^T H_s^2ds<\infty\) 几乎必然，可取停时 \(\tau_n=\inf\{t:\int_0^tH_s^2ds\ge n\}\wedge n\)。截停后的平方积分不超过 \(n\)，可按上述方法构造；不同 \(n\) 在共同停止区间内一致，因而可拼接为连续局部鞅。局部鞅是存在一列趋于无穷的停时，使各截停过程为鞅的过程。只有局部条件时，不能自动断言未截停积分可积或期望为零。
13.4.4 二次变差为何改变链式法则
因为 \(E\int_0^TB_s^2ds=T^2/2<\infty\)，布朗运动本身属于 \(\mathcal H_T^2\)。在确定分割 \(\mathcal P\) 上，左端近似的平方误差不超过 \(T|\mathcal P|\)，故其积分趋于 \(\int_0^TB_s\,dB_s\)。逐项使用平方恒等式可得
第二式由二次变差 \(\sum(\Delta B_k)^2\to T\) 于 \(L^2\) 得到。于是该积分的均值为零，方差为 \(T^2/2\)；这既可由等距计算，也可用 \(E B_T^4=3T^2\) 检验。若误用普通链式法则得到 \(B_T^2/2\)，其均值将变为 \(T/2\)，与鞅性质冲突。
若 \(f\in C^{1,2}([0,T]\times\mathbb R)\)，即时间一阶、空间二阶偏导连续，则几乎必然同时对所有 \(t\le T\)，
若导数无界，随机积分按上一小节的局部构造理解；连续路径在有限时段有界，保证所需局部平方可积性。
证明的主要步骤与技术范围。先假设各相关导数有界，在确定网格上对每次变化作时间一阶、空间二阶 Taylor 展开。时间项由路径连续性成为普通积分；线性项由伊藤等距成为随机积分。二次项中，用 \(\Delta t_k\) 替换 \((\Delta B_k)^2\) 的误差为
交叉项因条件均值为零消失。空间 Taylor 余项由路径所处紧集上 \(f_{xx}\) 的连续模控制，乘以 \(\sum(\Delta B_k)^2\)；前者趋零，后者在概率意义下有界，因此余项趋零。时间余项同理由 \(f_s\) 的连续模乘 \(T\) 控制。得固定时刻公式后，先取有理时刻，再用各项连续性得到同时成立。一般 \(C^{1,2}\) 情形用光滑截断及 \(\inf\{t:|B_t|\ge n\}\) 局部化；截停积分的相容性与完整余项证明见文献 [1]。本页完整证明积分构造与等距，对一般公式保留这一局部化技术步骤。
13.4.5 指数鞅与一般伊藤过程
对常数 \(\theta\in\mathbb R\)，令 \(M_t=\exp(\theta B_t-\theta^2t/2)\)。函数的偏导满足 \(f_t=-\theta^2f/2,f_x=\theta f,f_{xx}=\theta^2f\)，式 (13.4-7) 的两个时间项相消，因此
后两式直接由正态矩母函数计算。还可独立核验鞅性质：\(M_t=M_s\exp(\theta(B_t-B_s)-\theta^2(t-s)/2)\)，后一因子独立于 \(\mathcal F_s\) 且均值为一。对任意有限 \(T\)，\(E\int_0^T\theta^2M_s^2ds=e^{\theta^2T}-1<\infty\)，所以这里是平方可积真鞅。若 \(\theta=0\)，积分为零，该等式仍成立。
一般伊藤过程写为 \(X_t=X_0+\int_0^ta_sds+\int_0^tb_s dB_s\)，其中 \(X_0\) 有限且对 \(\mathcal F_0\) 可测，\(a,b\) 可预测且 \(\int_0^T(|a_s|+b_s^2)ds<\infty\) 几乎必然。其二次变差为 \(\int_0^tb_s^2ds\)，伊藤公式相应为
式 (13.4-10) 表示两边从零到 \(t\) 积分后的恒等式。它的一般证明还需伊藤过程的加权二次变差与有限变差项控制，在此作为定理引用文献 [1]；下一节会在精确的可积条件下用它求解随机微分方程。记忆规则 \((dB_t)^2=dt\) 概括二次变差的贡献，不能理解为每条路径上的普通微分运算。
13.4.6 习题与详解
习题 13.4-1 · 确定系数的积分分布
计算 \(Z=\int_0^T s\,dB_s\) 的分布及其与 \(B_T\) 的协方差。
解答。确定系数的阶梯近似积分是独立正态增量的线性组合，故为均值零的正态变量。等距使它在 \(L^2\) 收敛，方差趋于 \(\int_0^Ts^2ds=T^3/3\)，其特征函数也收敛为对应正态特征函数。因此 \(Z\sim N(0,T^3/3)\)。将 \(B_T=\int_0^T1\,dB_s\) 代入协方差等距式，得 \(\operatorname{Cov}(Z,B_T)=\int_0^Tsds=T^2/2\)。当 \(T>0\) 时，它们相关而不独立。
习题 13.4-2 · 随机系数不保证正态
计算 \(Y=\int_0^TB_s\,dB_s\) 的均值、方差及取值下界，判断它是否正态。再解释“所有伊藤积分都为正态”错在哪里。
解答。由例 1，\(Y=(B_T^2-T)/2\)，所以 \(EY=0\)，\(\operatorname{Var}(Y)=T^2/2\)，且 \(Y\ge-T/2\)。当 \(T>0\) 时方差为正，非退化正态变量不可能有有限下界，故它不是正态。确定系数时可以使用独立正态线性组合论证；随机可预测系数会与先前的增量相依，不能把这些系数当成常数。
习题 13.4-3 · 一次多项式鞅检验
用伊藤公式证明 \(B_t^3-3tB_t\) 是鞅，并验证随机积分所需的平方可积性。
解答。取 \(f(t,x)=x^3-3tx\)，则 \(f_t=-3x,f_x=3x^2-3t,f_{xx}=6x\)，时间项相消，得到 \(B_t^3-3tB_t=3\int_0^t(B_s^2-s)dB_s\)。正态矩给出 \(E(B_s^2-s)^2=2s^2\)，故在任意有限 \(T\)，\(E\int_0^T9(B_s^2-s)^2ds=6T^3<\infty\)。因此该过程为平方可积鞅，不能只凭形式上没有 \(dt\) 项就跳过此检验。
习题 13.4-4 · 改用右端点会怎样
在网格趋细的确定分割上，比较 \(L=\sum B_{t_k}\Delta B_k\)、\(R=\sum B_{t_{k+1}}\Delta B_k\) 和 \((L+R)/2\) 的极限，并解释右端求和为何不属于本节的阶梯积分定义。
解答。逐项相减得 \(R-L=\sum(\Delta B_k)^2\to T\) 于 \(L^2\)；由例 1，\(L\to(B_T^2-T)/2\)，故 \(R\to(B_T^2+T)/2\)。同时 \((L+R)/2=B_T^2/2\) 对每个分割已由平方恒等式精确成立。右端系数 \(B_{t_{k+1}}\) 依赖该时段尚未发生的增量，不对 \(\mathcal F_{t_k}\) 可测，所以不能用伊藤等距或零均值定理处理右端和。对称积分的系统理论另需说明积分约定，本题只计算这个具体例子。
关键术语
- 可预测过程：对可预测 \(\sigma\) 代数可测的过程。
- 阶梯积分：系数在区间开始时已知的布朗增量加权和。
- 伊藤等距：积分的二阶矩等于被积过程平方的时空积分。
- 完备化：借助等距把定义从稠密阶梯过程扩展到平方可积过程。
- 连续版本：与原过程在每个固定时刻几乎必然相等、具有连续路径的版本。
- 局部鞅：截停后为鞅、但整体未必满足可积性与期望守恒的过程。
- 二次变差：网格趋细时增量平方和的适当极限。
- 伊藤修正项：链式法则中由二次变差产生的二阶偏导项。
参考文献
- Lalley, S. P. (2016). Notes on the Itô Calculus。University of Chicago 作者讲义：阶梯积分、等距、连续鞅扩张、局部化及伊藤公式。本节的过程构造与技术条件可据此继续展开。
- MIT 18.642 (2024). Stochastic Calculus, Lecture 19_1。MIT 官方讲义：布朗积分的 \(L^2\) 构造、伊藤等距与伊藤公式的计算示例。