13.2.1 定义、滤过与联合高斯结构
实值过程 \(B=(B_t)_{t\ge0}\) 称为标准布朗运动（standard Brownian motion，也称 Wiener 过程），若 \(B_0=0\) 几乎必然；在一个概率为 \(1\) 的事件上，整条路径 \(t\mapsto B_t\) 连续；对任意 \(0\le t_0<\cdots<t_n\)，增量 \(B_{t_k}-B_{t_{k-1}}\) 相互独立，且
若已给定滤过 \((\mathcal F_t)\)，还要求 \(B\) 适应，并且 \(B_t-B_s\) 独立于整个 \(\mathcal F_s\)，才称它为相对于该滤过的布朗运动。仅有适应性不足以保证这个信息条件。
自然滤过 \(\mathcal F_s^B=\sigma(B_u:0\le u\le s)\) 满足上述独立性：先对有限个过去时刻使用独立增量，再由生成事件族推广到整个 \(\sigma\) 代数。下文涉及 \(\mathcal F_t\) 时均采用满足此条件的滤过；后续随机积分也以它为前提，不能随意加入未来信息。
对有序时刻，向量 \((B_{t_1},\ldots,B_{t_n})\) 是独立高斯增量的线性变换，所以联合高斯（jointly Gaussian）：任意线性组合都服从正态分布，允许退化情形。若 \(s\le t\)，由 \(B_t=B_s+(B_t-B_s)\) 得
反之，一个中心高斯过程若有连续路径、\(B_0=0\) 及协方差核 \(\min(s,t)\)，则不相交区间的增量协方差为零。联合高斯向量中不相关蕴含独立，且每个增量方差为 \(t-s\)，故它是标准布朗运动。这个逆向判据需要联合高斯，单独匹配每个时刻的边缘分布不够。
\((B_1,B_2,B_3)\) 是均值零、协方差矩阵
的高斯向量。令 \(Y=2B_1-B_3\)，则 \(\operatorname{Var}Y=4+3-4=3\)，因此 \(Y\sim N(0,3)\)，\(\mathbb P(Y>\sqrt3)=1-\Phi(1)\approx0.1587\)。也可把 \(Y\) 写成 \(B_1-(B_3-B_1)\)，直接使用两个独立增量验证方差。
给定时刻 \(1\) 的全部信息，\(B_3=B_1+Z\)，其中 \(Z\sim N(0,2)\) 独立于 \(\mathcal F_1\)，所以 \(\mathbb E[B_3\mid\mathcal F_1]=B_1\)，并有 \(\mathbb P(B_3>2\mid\mathcal F_1)=1-\Phi((2-B_1)/\sqrt2)\)。这里 \(\Phi\) 是标准正态分布函数。
13.2.2 构造、缩放与平稳增量
在任意有限个有序时刻，先指定独立的 \(N(0,t_k-t_{k-1})\) 增量，再累加。插入或删去中间时刻只会拆分或合并正态增量，均值与方差相加，因而这些有限维分布相容。实数空间是标准 Borel 空间，13.1 节的 Kolmogorov 扩张定理遂给出具有这些分布的坐标过程。
扩张本身尚未提供连续路径。令 \(Z\sim N(0,1)\)，对任意 \(p>2\)，正态矩给出
由 Kolmogorov 连续性定理，可取连续修正，在每个紧区间上具有任意 \(0<\gamma<1/2-1/p\) 的 Hölder 指数。让 \(p\) 沿整数趋于无穷，并在可数个紧区间上处理，可得到对每个 \(0<\gamma<1/2\) 局部 \(\gamma\)-Hölder 连续的版本。各连续修正在有理时刻几乎必然一致，因而可在共同事件上选用同一版本，且保留全部有限维分布。这里应用前一节的两个构造定理，原始坐标过程的其他版本未必连续。
对固定 \(c>0,a\ge0\)，下列过程仍是标准布朗运动：
核查。它们都从零出发且路径连续。缩放后一个长度为 \(t-s\) 的增量方差为 \(c^{-1}\cdot c(t-s)=t-s\)；固定平移与符号反转也保留该方差。各个不相交区间仍对应原过程的不相交区间，故增量保持独立。相对滤过分别使用 \(\mathcal F_{ct}\)、\(\mathcal F_{a+t}\) 与 \(\mathcal F_t\)。这些是过程分布的相等，并非同一条路径在缩放前后逐点相等。
平稳增量指 \(B_{a+t}-B_a\) 的分布不依赖 \(a\)；它不同于过程平稳，因为 \(\operatorname{Var}(B_t)=t\) 随时刻改变。固定 \(a\) 后的整个增量过程独立于 \(\mathcal F_a\)，先由有限个增量验证，再推广到它们生成的事件族。随机停时处的同类结论需要强马尔可夫性。
独立增量还给出 \(\mathbb E[B_t\mid\mathcal F_s]=B_s\) 及 \(\mathbb E[B_t^2\mid\mathcal F_s]=B_s^2+t-s\)。所涉变量可积，所以 \(B_t\) 与 \(B_t^2-t\) 都是鞅；第二个过程中的时间项将由二次变差解释。
13.2.3 二次变差：均方与路径极限
固定 \(T>0\)，取确定的划分 \(\mathcal P=\{0=t_0<\cdots<t_m=T\}\)，网格为 \(|\mathcal P|=\max_k(t_k-t_{k-1})\)。记 \(\Delta_kB=B_{t_k}-B_{t_{k-1}}\)，平方和为 \(Q_{\mathcal P}(B)=\sum_{k=1}^m(\Delta_kB)^2\)。
因此任意网格趋零的确定划分序列都有 \(Q_{\mathcal P}(B)\to T\) 于 \(L^2\)。对二进等分 \(\mathcal P_n=\{kT/2^n:0\le k\le2^n\}\)，还几乎必然收敛到 \(T\)。这个极限称为二次变差（quadratic variation），记为 \([B]_T=T\)。
完整证明。令 \(h_k=t_k-t_{k-1}\)。若 \(Z\sim N(0,1)\)，则 \(\mathbb EZ^2=1,\mathbb EZ^4=3\)，故 \(\mathbb E(\Delta_kB)^2=h_k\)、\(\operatorname{Var}((\Delta_kB)^2)=2h_k^2\)。不同增量独立，平方后仍独立；相加即得式 (13.2-6)，最后用 \(h_k^2\le|\mathcal P|h_k\)。
二进等分时均方误差为 \(2T^2\,2^{-n}\)。对任意 \(\varepsilon>0\)，Chebyshev 不等式给出
第一条 Borel–Cantelli 引理说明，每个阈值只会被超过有限次。对 \(\varepsilon=1,1/2,1/3,\ldots\) 取可数交，便得几乎必然收敛。各层划分之间不需要独立。
为使所有终点同时成立，固定全局网格 \(h_n=2^{-n}\)，记 \(\Delta_{n,k}B=B_{(k+1)h_n}-B_{kh_n}\)，并在终点补上最后一小段：
令 \(M_{n,j}=\sum_{k=0}^{j-1}[(\Delta_{n,k}B)^2-h_n]\)。固定整数 \(K\ge1\)，Kolmogorov 最大不等式给出 \(\mathbb P(\max_{j\le K2^n}|M_{n,j}|>\varepsilon)\le2Kh_n/\varepsilon^2\)。右侧对 \(n\) 可求和，故网格上的最大误差几乎必然趋零。路径在 \([0,K]\) 一致连续，其连续模 \(\omega_B(h)=\sup_{s,t\in[0,K],\,|t-s|\le h}|B_t-B_s|\) 趋于零，而
再对整数 \(K\) 取可数交，就得到每个紧区间上的一致路径极限。这一步提供了同时处理所有终点的共同事件。
上述均方计算针对确定划分；几乎必然结论明确选定了二进网格，不能把证明中的独立性直接套到任意依赖未来路径的划分上。取 \(T=1\)，二进绝对增量和 \(V_n=\sum_{k=1}^{2^n}|\Delta_kB|\) 的期望为 \(\sqrt{2^{n+1}/\pi}\)，而平方和期望始终为 \(1\)。
13.2.4 无限全变差与不可微的区别
连续函数在 \([a,b]\) 上的全变差为 \(V_{[a,b]}(g)=\sup_{\mathcal P}\sum_k|g(t_k)-g(t_{k-1})|\)。若它有限，则由一致连续性，对任意网格趋零的划分，
布朗路径全变差无限。对每个固定的 \(0\le a<b\)，平移后的布朗运动使二进平方和几乎必然趋于 \(b-a>0\)，与式 (13.2-10) 矛盾。因此这个区间上几乎必然全变差无限。对所有非负有理端点取可数交，再注意任一非退化区间都包含一个有理端点子区间，便得到：同一个概率为 \(1\) 的事件上，每个非退化区间的全变差都无限。
这一论证没有证明每一点都不可微。全变差衡量整个区间的累计变化，而导数考察某一个点的局部比值。事实上 \(g(0)=0,\ g(t)=t^2\sin(t^{-2})\) 在零点导数为零，在正时间处也可微，却在零点的任意邻域上全变差无限：沿 \(t_k=(\pi/2+k\pi)^{-1/2}\) 取值，交替振幅为 \(1/(\pi/2+k\pi)\)，相邻绝对差的和按调和级数发散。
固定时刻无有限导数。固定确定的 \(t\ge0\)，令 \(D_n=2^n(B_{t+2^{-n}}-B_t)\)。由正态缩放，\(D_n\sim N(0,2^n)\)。对每个整数 \(M\ge1\)，标准正态密度的上界给出
Borel–Cantelli 说明 \(|D_n|\) 最终超过每个整数 \(M\)，故差商不可能趋于有限导数，在 \(t=0\) 处指右导数。该证明对每个预先固定的 \(t\) 成立；不能对不可数多个 \(t\) 直接取概率为一事件的交。
布朗路径几乎必然在所有 \(t>0\) 都不存在有限导数。其证明需要统一控制可能出现可微点的位置：可微点附近，足够细网格中必有连续三个增量都为 \(O(h)\)；三项独立高斯增量同时如此小的概率为 \(O(h^{3/2})\)，对有界区间的 \(O(h^{-1})\) 个位置求和后为 \(O(h^{1/2})\)，沿二进网格可求和。完整的网格覆盖与可数常数选择见 Durrett 定理 7.1.6及Lalley §6.2，命题 9；本页不把这段思路当作该统一结论的完整证明。
13.2.5 布朗桥与固定终点
固定 \(T>0\)，定义零到零的布朗桥（Brownian bridge）
它有连续路径，\(\beta_0=\beta_T=0\)，且仍是中心高斯过程。展开协方差可得
条件分布的推导。由式 (13.2-2)，\(\operatorname{Cov}(\beta_t,B_T)=t-(t/T)T=0\)。任意有限个 \(\beta_t\) 与 \(B_T\) 联合高斯，因而该向量独立于 \(B_T\)。结合分解 \(B_t=\beta_t+(t/T)B_T\)，得到给定 \(B_T=x\) 的有限维条件分布：
这里使用正则条件分布的连续高斯版本；由于 \(\mathbb P(B_T=x)=0\)，不能通过除以该事件的概率来定义条件分布。取 \(x=0\) 就解释了布朗桥的名称。
布朗桥不是标准布朗运动：终点方差为零，而且不相交增量一般不独立。例如 \(T=1\) 时，\(\operatorname{Cov}(\beta_{1/2},\beta_1-\beta_{1/2})=-1/4\)。在 \(0<t<T\) 时，\(\operatorname{Var}(\beta_t\mid\mathcal F_t^B)=(t/T)^2(T-t)>0\)，所以这个构造也不适应原布朗自然滤过。
在 \([0,1]\) 上固定终点值 \(B_1=2\)，采用式 (13.2-14) 的条件核。时刻 \(1/4,3/4\) 的条件均值分别是 \(1/2,3/2\)，条件协方差矩阵为
两时刻预测残差的相关系数为 \(1/3\)，并未独立。在中点，条件均值为 \(1\)、条件方差为 \(1/4\)，所以 \(\mathbb P(B_{1/2}>3/2\mid B_1=2)=1-\Phi(1)\approx0.1587\)。这个条件方差小于未给定终点时的 \(1/2\)，减少量来自终点提供的信息。
13.2.6 习题与解答
习题 13.2-1 · 正态边缘分布够不够？
令 \(Z\sim N(0,1)\)，定义 \(X_t=\sqrt t\,Z\)。核查起点、路径连续性及每个时刻的分布，判断 \(X\) 是否是标准布朗运动，并指出失败之处。
\(X_0=0\)，每条路径连续，且 \(X_t\sim N(0,t)\)。但 \(\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=\sqrt{st}\)，不是 \(\min(s,t)\)。例如 \(X_4-X_1=Z\) 的方差为 \(1\)，而标准布朗增量应有方差 \(3\)；它还与 \(X_1=Z\) 完全相关。这个过程甚至联合高斯，却同时缺少正确的增量方差与独立性，因此单时刻边缘分布不能刻画布朗运动。
习题 13.2-2 · 重叠增量的相关性
设 \(U=B_3-B_1,\ V=B_4-B_2\)。求协方差、相关系数及 \(U-V\) 的分布，并说明一般两个增量的协方差与区间重叠有何关系。
\(\operatorname{Var}U=\operatorname{Var}V=2\)，而 \(\operatorname{Cov}(U,V)=\min(3,4)-\min(3,2)-\min(1,4)+\min(1,2)=1\)，所以相关系数为 \(1/2\)。它们联合高斯，故 \(U-V\) 为均值零、方差 \(2+2-2=2\) 的正态变量。一般将两个区间按端点细分，只在共同覆盖的子区间上出现同一个增量；因此协方差等于两区间重叠的长度。不重叠时协方差为零，由联合高斯得到独立。
习题 13.2-3 · 布朗桥也有相同二次变差
对 \([0,T]\) 的 \(2^n\) 等分，记 \(Q_n(B)\)、\(Q_n(\beta)\) 为布朗运动与布朗桥的平方和。直接证明 \(Q_n(\beta)\to T\) 于 \(L^2\) 且几乎必然，并解释它为何仍不是布朗运动。
令 \(h=T/2^n\)，则 \(\Delta\beta_k=\Delta B_k-(h/T)B_T\)，且 \(\sum_k\Delta B_k=B_T\)。展开并求和得 \(Q_n(\beta)=Q_n(B)-2(h/T)B_T^2+2^n(h/T)^2B_T^2=Q_n(B)-2^{-n}B_T^2\)。后项几乎必然趋零，其 \(L^2\) 范数为 \(2^{-n}\sqrt{\mathbb EB_T^4}=\sqrt3\,T2^{-n}\)，也趋零。结合已证二次变差定理即得两个收敛结论。但桥的终点恒为零，且增量相关；相同二次变差不足以替代布朗定义中的独立正态增量条件。
习题 13.2-4 · 布朗桥是不是鞅？
对 \(0<s<t<T\)，求 \(\mathbb E[\beta_t\mid\beta_s]\)，并据此判断布朗桥是否是相对于其自然滤过 \(\mathcal H_t=\sigma(\beta_u:u\le t)\) 的鞅。
联合高斯回归系数为 \(c=\operatorname{Cov}(\beta_t,\beta_s)/\operatorname{Var}(\beta_s)=[s-st/T]/[s-s^2/T]=(T-t)/(T-s)\)。变量 \(\beta_t-c\beta_s\) 与 \(\beta_s\) 不相关，因而独立且均值为零，所以条件期望等于 \(c\beta_s\)。若桥是关于 \(\mathcal H_t\) 的鞅，塔式性质将迫使 \(\mathbb E[\beta_t\mid\beta_s]=\beta_s\)。然而 \(c<1\)，且 \(\operatorname{Var}(\beta_s)>0\)，矛盾。固定终点后产生了向终点收缩的条件均值，原布朗运动的鞅性质没有直接保留。
关键术语
- 标准布朗运动
- 从零出发、路径连续、具有独立正态增量的过程。
- 联合高斯
- 每个有限维向量的任意线性组合均为正态变量，允许退化。
- 协方差核
- 用两个时间参数记录协方差；布朗运动对应 \(\min(s,t)\)。
- 连续修正
- 保留每个固定时刻的几乎必然取值，并具有连续路径的版本。
- 平稳增量
- 增量的分布由时间长度决定，而不依赖开始时刻。
- 二次变差
- 沿规定的趋细划分，增量平方和的极限。
- 全变差
- 对所有有限划分的绝对增量和取上确界。
- 处处不可微
- 在同一个路径事件上，所有正时刻都不存在有限导数；零点另考察右导数。
- 布朗桥
- 固定终点后的条件高斯过程；零到零情形为 \(B_t-tB_T/T\)。
参考文献
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed. 作者公开版本，§7.1 的定义、连续构造、定理 7.1.6 与习题 7.1.6；§8.4 的布朗桥。本节完整展开二次变差的矩估计与二进路径极限，处处不可微的统一网格证明仅给思路。
- Lalley, S. P. Introduction to Brownian Motion，University of Chicago 作者讲义，§6.2，命题 9，给出处处不可微的网格概率证明；前文讨论独立平稳增量与布朗缩放。