13.5.1 随机微分方程的积分含义
本节研究实值伊藤随机微分方程（stochastic differential equation, SDE）。在已经给定的概率空间、初值与布朗运动上，寻找连续适应过程 \(X\)，使
右边第一个积分是逐路径的 Lebesgue 积分，第二个是伊藤积分。需有 \(\int_0^T(|b(s,X_s)|+\sigma(s,X_s)^2)ds<\infty\) 几乎必然。微分记号是这一积分恒等式的简写，不能除以 \(dt\) 而把布朗运动当作有普通导数的输入。
固定初值 \(X_0\) 与布朗运动 \(B\)，使用它们生成的通常增广滤过；假定 \(B\) 相对于该滤过仍是布朗运动。由这些已给定随机量构造出的连续适应解称为强解（strong solution）。路径唯一性（pathwise uniqueness）指：在同一空间、同一布朗运动和同一初值下，任意两个解满足 \(P(X_t=Y_t\text{ 对所有 }t)=1\)。
弱解允许把概率空间及驱动布朗运动也作为待求对象。强、弱描述解的构造方式，不是收敛强弱或解的光滑程度。下面给出容易检验的充分条件；它们不涵盖所有有唯一解的方程。
13.5.2 全局 Lipschitz 条件与 Picard 构造
设 \(b,\sigma\) 为确定的 Borel 可测函数。对任意有限 \(T\)，存在常数 \(L_T,K_T\)，使对所有 \(t\le T,x,y\in\mathbb R\)，
若 \(X_0\) 对初始信息可测且 \(E|X_0|^2<\infty\)，则式 (13.5-1) 有唯一强解，且 \(E\sup_{t\le T}|X_t|^2<\infty\)。这里 \(B\) 相对于包含初值的滤过为布朗运动，已包含未来增量与初值独立的要求。
证明。固定 \(T\)，简记 \(L=L_T,K=K_T\)。令 \(X_t^{(0)}=X_0\)，依次定义
线性增长条件与伊藤等距保证每次迭代有意义，并有有限的平方平均最大值。设 \(D_n(t)=E\sup_{u\le t}|X_u^{(n+1)}-X_u^{(n)}|^2\)。对普通积分使用 Cauchy–Schwarz，对随机积分使用 Doob 最大不等式和伊藤等距，可得
例如增长条件给出 \(A_T=2K^2(T+4)T(1+E|X_0|^2)\) 这一有效上界。反复积分得到 \(D_n(T)\le A_TC_T^nT^n/n!\)。由于 \(\sum_n\sqrt{D_n(T)}<\infty\)，迭代列在 \(\|Y\|_{S^2}=(E\sup_{t\le T}|Y_t|^2)^{1/2}\) 下 Cauchy。还可从 \(E\sum_n\sup_t|X^{(n+1)}_t-X^{(n)}_t|<\infty\) 得到几乎必然一致收敛。极限 \(X\) 连续、适应；Lipschitz 估计及等距使两积分均收敛到以 \(X\) 为被积过程的积分，故 \(X\) 满足方程。
对具有相同初值和噪声的两个解，完全相同的估计给出 \(E\sup_{u\le t}|X_u-Y_u|^2\le C_T\int_0^tE\sup_{v\le s}|X_v-Y_v|^2ds\)。Gronwall 不等式迫使差为零。一般连续局部解先停在 \(|X|+|Y|\) 达到整数的时刻；增长条件给出一致的二阶矩界，再由 Fatou 与 Gronwall 得到同一结论。不同有限时段上的解因唯一性彼此一致，因而构成所有有限时间上的非爆炸解。
全局增长条件控制远处的行为。仅有局部 Lipschitz 时，解仍可能爆炸：确定方程 \(dX_t=X_t^2dt,X_0=1\) 在 \(t<1\) 的唯一解为 \(1/(1-t)\)，不能延伸为时间一处有限的连续解。它也是扩散系数为零的 SDE。
13.5.3 几何布朗运动
取常数 \(\mu,\sigma\in\mathbb R\) 与确定初值 \(x_0>0\)，考虑 \(dX_t=\mu X_tdt+\sigma X_tdB_t\)。两个系数全局 Lipschitz 且线性增长，因而有唯一强解。对下面的候选表达式直接使用伊藤公式：
时间偏导贡献 \((\mu-\sigma^2/2)X_tdt\)，空间二阶项贡献 \(\sigma^2X_tdt/2\)，合起来恰为 \(\mu X_tdt\)；一阶项为 \(\sigma X_tdB_t\)。因此候选式确为唯一解，也证明它始终为正。这里先验证正性后才谈对数，避免预先假定未知解永不经过零。
均值和方差由正态矩母函数分别计算一阶、二阶矩得到。取 \(x_0=1,\mu=0,\sigma=1,t=1\)，均值为一，中位数为 \(e^{-1/2}\)，方差为 \(e-1\)。均值恒定并不意味着分布不变；其离散程度随时间增加。
13.5.4 Ornstein–Uhlenbeck 过程
设 \(\kappa>0\)、\(\theta\in\mathbb R\)、\(\sigma>0\)，考虑 \(dX_t=\kappa(\theta-X_t)dt+\sigma dB_t\)，初值 \(x_0\) 确定。将 \(e^{\kappa t}(X_t-\theta)\) 代入伊藤乘积公式，两个漂移项相消，故
随机积分的系数确定，因此它为正态变量。由等距可得
因此分布趋于 \(N(\theta,\sigma^2/(2\kappa))\)。若改让 \(X_0\) 独立于未来布朗增量，且一开始就服从这个正态分布，则各时刻分布均不变，并有 \(\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=\sigma^2e^{-\kappa|t-s|}/(2\kappa)\)。该过程为高斯过程，恒定均值和只依赖时间差的协方差使其严格平稳。从确定初值出发则不平稳。若 \(\sigma=0\)，公式仍给出确定的均值回复运动，但上述非退化正态分布变为点质量。
13.5.5 生成元、后向方程与 Feynman–Kac
先取时间齐次、全局 Lipschitz 且有界的系数 \(b(x),\sigma(x)\)，由确定点 \(x\) 出发。对 \(f\in C_b^2(\mathbb R)\)，即函数及其前两阶导数连续有界，伊藤公式的随机积分平方可积。取期望、除以 \(h\)，再令 \(h\downarrow0\)，控制收敛给出生成元（generator）
连续性使 \(\mathcal Lf(X_s)\to\mathcal Lf(x)\)，有界性保证极限可进入期望。更广的无界系数或函数也可处理，但必须有相应的局部化与可积性论证。
固定终点 \(T\)。设 \(b(t,x),\sigma(t,x)\) 有界且满足前述存在唯一性条件，\(c,g\) 有界连续。假设已存在 \(u\in C^{1,2}\)，且 \(u,u_t,u_x,u_{xx}\) 有界，满足
则从时刻 \(t\) 的位置 \(x\) 出发的解 \(X^{t,x}\) 满足
证明。令 \(A_s=\exp(-\int_t^sc(r,X_r^{t,x})dr)\)。对 \(A_su(s,X_s^{t,x})\) 使用伊藤乘积公式，有限变差因子 \(A\) 不产生二次交叉项。漂移为 \(A_s(u_t+b u_x+\sigma^2u_{xx}/2-cu)ds=0\)，剩下 \(A_s\sigma(s,X_s)u_x(s,X_s)dB_s\)。其系数的绝对值在有限时段有统一上界，所以积分平方可积且均值为零。对从 \(t\) 到 \(T\) 的等式取期望，再代入终值条件，就得式 (13.5-11)。
当 \(c=0\) 时，式 (13.5-10) 就是终值形式的 Kolmogorov 后向方程。本节证明了“光滑 PDE 解必有概率表示”，也因而证明这个函数类中的唯一性。反方向从期望构造光滑解，还需要系数正则性、椭圆性或其他 PDE 理论，不能由期望表达式本身自动推出。退化扩散、非光滑边界与弱解理论留作后续学习。
13.5.6 Euler–Maruyama 近似及其边界
在均匀网格 \(t_k=kh\) 上，Euler–Maruyama 方法用
它把每一步内的系数冻结。进行强误差比较时，需让近似与真解使用同一布朗路径，即 \(\sqrt hZ_{k+1}=B_{t_{k+1}}-B_{t_k}\)。对时间齐次、全局 Lipschitz 且线性增长的系数，终端均方根误差为 \(O(h^{1/2})\)；下段给出二阶矩估计的推导路线；文献 [3] 介绍强弱误差的区别与数值比较。弱误差 \(O(h)\) 还需系数及测试函数的额外光滑性，不能套给任意可测函数或时间不规则的系数。
强误差估计的推导路线。令 \(\eta(s)\) 为不超过 \(s\) 的最近网格点，把近似延伸为 \(\widehat X_t=X_0+\int_0^t b(\widehat X_{\eta(s)})ds+\int_0^t\sigma(\widehat X_{\eta(s)})dB_s\)。增长条件、最大估计与 Gronwall 给出与步长无关的二阶矩上界；于是等距和 Cauchy–Schwarz 给出 \(E|\widehat X_s-\widehat X_{\eta(s)}|^2\le C_T h\)。比较两个积分方程，用 Lipschitz 条件把误差分为 \(X_s-\widehat X_s\) 与这段网格内增量，得到 \(E\sup_{u\le t}|X_u-\widehat X_u|^2\le C_T\int_0^tE\sup_{v\le s}|X_v-\widehat X_v|^2ds+C_Th\)。再次使用 Gronwall 即得二阶误差为 \(O(h)\)，开平方得到所述阶数。这一估计针对同一噪声驱动下的时间齐次系数；时间不规则时还会出现额外的系数离散误差。
近似未必保持真解的结构。例如几何布朗运动的 Euler 因子为 \(1+\mu h+\sigma\sqrt hZ\)，当 \(\sigma\ne0\) 时总有正概率为负；真解却始终为正。对 OU 过程，Euler 平稳方差还依赖步长，见习题。超线性系数的朴素 Euler 方法甚至可能发散，需要另用截断、驯化或隐式方法，不能只凭一张平滑轨迹图判断可靠性。
13.5.7 习题与详解
习题 13.5-1 · 检验 Lipschitz 条件的作用
证明方程 \(dX_t=2\sqrt{\max(X_t,0)}dt,X_0=0\) 存在不止一个连续解。它是否满足线性增长？这与定理矛盾吗？
解答。对每个 \(a\ge0\)，令 \(X_t=(t-a)_+^2\)。在 \(t\le a\) 时导数为零；在 \(t>a\) 时导数为 \(2(t-a)=2\sqrt{X_t}\)，在连接点导数也为零，所以它满足积分方程。另有恒零解。系数平方为 \(4\max(x,0)\le4(1+x^2)\)，满足线性增长；但在零点的差商为 \(2/\sqrt x\)，无界，故不满足 Lipschitz 条件。这说明增长控制本身不保证唯一性，扩散系数为零的例子已足以显示问题。
习题 13.5-2 · 几何布朗运动的二阶矩
由伊藤公式直接推导 \(EX_t^2\)，并核对例 1 的方差。为什么不能写 \(d(X_t^2)=2X_tdX_t\)？
解答。二次变差项给出 \(d(X_t^2)=(2\mu+\sigma^2)X_t^2dt+2\sigma X_t^2dB_t\)。显式解的四阶矩 \(EX_t^4=x_0^4e^{(4\mu+6\sigma^2)t}\) 在有限时段可积，故此处随机积分是均值零的真鞅。于是二阶矩满足常微分方程 \(m_2'=(2\mu+\sigma^2)m_2\)，解为 \(x_0^2e^{(2\mu+\sigma^2)t}\)。减去 \((EX_t)^2\) 得式 (13.5-6)。遗漏二次变差会删去 \(\sigma^2X_t^2dt\)，从而算错方差。
习题 13.5-3 · OU 的离散近似是否保留平稳方差
对 OU 方程作 Euler 近似。求它存在稳定平稳 AR(1) 分布的步长条件及平稳方差，与连续时间答案比较。
解答。令 \(Y_k=\widehat X_k-\theta\)，则 \(Y_{k+1}=(1-\kappa h)Y_k+\sigma\sqrt hZ_{k+1}\)。当 \(|1-\kappa h|<1\)，即 \(0<\kappa h<2\) 时，独立噪声级数在 \(L^2\) 收敛，给出平稳正态解，其方差为 \(v_h=\sigma^2h\sum_{j\ge0}(1-\kappa h)^{2j}=\sigma^2/(2\kappa-\kappa^2h)\)。这大于连续过程的 \(\sigma^2/(2\kappa)\)，只有 \(h\downarrow0\) 时趋于正确值。若 \(\kappa h\ge2\)，噪声的方差贡献不再可和，递推不具有这种稳定平稳分布。图中的参数给出 \(v_h=4/3\)。
习题 13.5-4 · 用期望验证一个热方程终值问题
取 \(b=0,\sigma=1,c=0\)、终值 \(g(x)=\cos x\)。计算式 (13.5-11) 并直接核对 \(u_t+u_{xx}/2=0\)。
解答。\(X_T^{t,x}=x+B_T-B_t\)，增量为 \(N(0,T-t)\)。用正态特征函数，\(E\cos(x+B_T-B_t)=e^{-(T-t)/2}\cos x\)，因此 \(u(t,x)=e^{-(T-t)/2}\cos x\)。求导得 \(u_t=u/2\)、\(u_{xx}=-u\)，两项相消，且 \(u(T,x)=\cos x\)。函数及所需导数有界，满足验证定理的全部条件。这里还能直接展示光滑性；一般终值期望则需要额外分析。
关键术语
- 强解：使用已给定初值与布朗运动构造的适应解。
- 路径唯一性：相同初值与噪声下，两个解不可区分。
- 全局 Lipschitz 条件：系数差由状态差的统一常数倍控制。
- 线性增长：系数大小至多按状态的线性尺度增长。
- Picard 迭代：把上一步过程代入系数，迭代积分方程。
- 几何布朗运动：具有线性漂移和乘性布朗噪声的过程。
- Ornstein–Uhlenbeck 过程：线性均值回复与加性布朗噪声的过程。
- 生成元：描述小时间转移对测试函数的变化率。
- Feynman–Kac 公式：在规定正则性下用扩散路径期望表示 PDE 解。
- Euler–Maruyama 方法：冻结系数并用布朗网格增量更新的数值近似。
参考文献
- Lalley, S. P. Stochastic Differential Equations, Diffusion Processes, and the Feynman–Kac Formula, Lecture 12。University of Chicago 作者讲义：存在唯一性的适用范围、OU 过程及扩散与 PDE 的联系。
- Lawler, G. F. Stochastic Calculus: An Introduction with Applications。作者公开教材：随机积分、SDE 与 Feynman–Kac；用于进一步学习本节的局部化、光滑性和强弱解区别。
- Higham, D. J. (2001). An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM Review 43(3), 525–546。期刊 DOI：Euler–Maruyama 的强弱收敛及数值稳定性；数值结论需满足各自假设。