第9章概率空间与测度积分 · 概率论基础教程

本章导言

本科计算中，随机变量通常通过分布列或密度出现。这两类模型并未涵盖所有概率分布；无限次试验还需要同时处理无穷多个事件。本章明确哪些集合是事件、哪些函数是随机变量，以及怎样在同一个积分定义下统一离散、连续和混合模型。

证明按构造顺序展开：先选择可测集合并建立测度，再定义可测映射与推前分布，随后由简单函数构造积分。单调收敛、Fatou引理和控制收敛定理说明极限何时能移入积分；乘积测度与Fubini定理说明积分何时能换序。

最后两节研究可积性的强弱和测度之间的关系。一致可积性将在大数定律和鞅收敛中反复使用；拉东—尼科迪姆定理将在第11章给出一般条件期望的存在性。阅读时应分别记录定理的条件、结论及反例中失效的条件。

先修知识与阅读方式

第2章的可数可加性、第4章的分布函数、第7章的期望；需要熟悉集合运算与实数极限。

先按顺序读定义和证明，再独立完成练习。若直接从本章进入，可回到全书学习路线检查先修知识；遇到技术性证明思路，应结合节末文献补读对应论证。