本节使用 9.3 节的积分与收敛定理。除习题明确改换测度外，所有实随机变量都定义在同一个概率空间 \((\Omega,\mathcal F,P)\) 上，\(\mathbb E\) 表示对 \(P\) 积分。无需独立或同分布假设。
9.5.1 从函数到Lp等价类
若 \(P(X=Y)=1\)，积分无法区分 \(X,Y\)，记作 \(X\sim Y\)。这是一种等价关系。一个等价类包含所有只在零概率事件上不同的可测版本；写 \(X\in L^p\) 时，通常不再把等价类符号单独写出。
\(L^p(\Omega,\mathcal F,P)\) 是上述量有限的可测函数等价类组成的空间。\(\|X\|_\infty\) 是 \(|X|\) 的本质上确界（essential supremum），忽略零概率事件上的值。空集的下确界按 \(\infty\) 计。
例如在 \((0,1)\) 的均匀概率下，\(X=\mathbf1_{\mathbb Q}\) 与零函数属于同一等价类，因此所有上述范数都为零，尽管逐点上确界为一。取等价类之后，\(\|X\|_p=0\) 才意味着 \(X\) 是空间中的零元素。齐次性直接来自积分；三角不等式将在下一部分证明。
\(L^p\) 收敛指 \(\|X_n-X\|_p\to0\)。特别地，\(L^1\) 收敛要求平均绝对误差趋零，不能只看 \(\mathbb EX_n-\mathbb EX\) 是否趋零，因为正负误差可能抵消。
9.5.2 Hölder与Minkowski不等式
若 \(1\leq p,q\leq\infty\)、\(1/p+1/q=1\)（约定 \(1/\infty=0\)），且 \(X\in L^p,Y\in L^q\)，则
先设 \(1<p,q<\infty\)。对 \(a,b\geq0\)，函数 \(a\mapsto a^p/p-ab+b^q/q\) 在 \(a=b^{1/(p-1)}\) 处取得最小值零，故 Young 不等式 \(ab\leq a^p/p+b^q/q\) 成立。若两个范数非零，代入 \(a=|X|/\|X\|_p\)、\(b=|Y|/\|Y\|_q\) 后取期望，右侧成为 \(1/p+1/q=1\)，即得结论。
若某个范数为零，对应变量几乎必然为零。端点 \(p=1,q=\infty\) 则由 \(|XY|\leq|X|\|Y\|_\infty\) 几乎必然成立后积分得到；交换两者处理另一端点。取 \(p=q=2\) 就是 Cauchy–Schwarz 不等式。
对 \(1\leq p\leq\infty\) 及 \(X,Y\in L^p\)，
对 \(1<p<\infty\)，先由凸性得到 \(|X+Y|^p\leq2^{p-1}(|X|^p+|Y|^p)\)，所以 \(H=X+Y\in L^p\)。令 \(q=p/(p-1)\)，两次使用 Hölder 得到
若 \(\|H\|_p>0\)，两端除以其 \(p-1\) 次幂；若为零则结论直接成立。\(p=1\) 时积分逐点三角不等式，\(p=\infty\) 时取本质上确界即可。
这证明式 (9.5-1) 在等价类上确为范数。两项不等式在一般测度空间也成立；概率测度的归一化将在下面的包含关系中起作用。可对照 Durrett 第 1.5–1.6 节。
9.5.3 包含关系、严格性与完备性
在概率空间上，较高阶矩有限蕴含较低阶矩有限。具体地，
当 \(p<q<\infty\) 时，对 \(|X|^p\) 与常数一使用指数 \(q/p\) 及其共轭指数的 Hölder 不等式，得到 \(\mathbb E|X|^p\leq(\mathbb E|X|^q)^{p/q}\)；常数因子为一来自 \(P(\Omega)=1\)。\(q=\infty\) 的情形由本质上界得到。一般无限测度空间不能直接套用这个包含方向。
在均匀概率空间 \((0,1)\) 上令 \(X(t)=t^{-\alpha}\)，其中 \(\alpha>0\)。直接计算 \(\mathbb E|X|^p=\int_0^1t^{-\alpha p}\,dt\)：当 \(\alpha p<1\) 时等于 \(1/(1-\alpha p)\)，当 \(\alpha p\geq1\) 时发散，临界等号对应对数发散。
例如 \(\alpha=1/3\) 时，\(X\in L^2\) 且 \(\|X\|_2=\sqrt3\)，但 \(X\notin L^3\)。对 \(1\leq p<q\leq\infty\)，取满足 \(1/q\leq\alpha<1/p\) 的正数，就得到 \(L^p\) 中不属于 \(L^q\) 的元素。因此包含关系通常严格，且 \(L^p\) 收敛只自动推出更低阶范数的收敛。
完备性。\(1\leq p\leq\infty\) 时 \(L^p\) 是 Banach 空间，即每个 Cauchy 列都在该范数下收敛到空间内的元素。对有限 \(p\)，证明要点是从 Cauchy 列选出子列，使相邻差的范数至多 \(2^{-k}\)。Minkowski 与单调收敛给出这些差的绝对值之和属于 \(L^p\)，故子列几乎必然收敛；余项范数由 \(\sum_{j\geq k}2^{-j}\) 控制，再由 Cauchy 性推广到原列。\(p=\infty\) 时，删去可数个异常零集的并后，同一构造给出一致收敛。这里仅给完备性的证明思路，后文主要使用已证的范数估计。
9.5.4 一致可积与一阶矩有界的区别
可积随机变量族 \(\mathcal X\) 称为一致可积（uniformly integrable，简称 UI），若
给定误差要求，必须先选出一个对全族都有效的阈值 \(K\)。单独每个 \(X\in L^1\) 的尾积分趋零，并不提供这个统一阈值。
UI 蕴含 \(L^1\) 有界：选择 \(K\) 使尾积分的上确界小于一，就有 \(\sup_{X\in\mathcal X}\mathbb E|X|\leq K+1\)。反向失败，原因是同样大小的一阶矩可以集中到越来越小的事件上。
在 \((0,1)\) 上取 \(X_n(t)=n\mathbf1_{(0,1/n)}(t)\)。对每个固定 \(t>0\)，充分大的 \(n\) 使 \(X_n(t)=0\)，但 \(\mathbb EX_n=\|X_n\|_1=1\)。对任意 \(K\)，只要选 \(n>K\)，便有 \(\mathbb E[X_n\mathbf1_{\{X_n>K\}}]=1\)。所以该族 \(L^1\) 有界却不 UI，也不在 \(L^1\) 中收敛到零。
更高阶矩为 \(\mathbb E|X_n|^p=n^{p-1}\)，对每个 \(p>1\) 均发散。尖峰的概率趋零只控制它出现的频率；积分还要乘以它的高度。
9.5.5 怎样验证一致可积
一种常用充分条件是高阶矩有界。若存在 \(1<p<\infty\) 使 \(C=\sup_{X\in\mathcal X}\mathbb E|X|^p<\infty\)，则在 \(|X|>K\) 上有 \(|X|\leq K^{1-p}|X|^p\)，因此
统一的可积支配也是充分条件：若 \(|X|\leq Y\) 对全族中的每个变量都几乎必然成立且 \(Y\in L^1\)，尾积分至多为 \(\mathbb E[Y\mathbf1_{\{Y>K\}}]\)，由控制收敛趋零。这也覆盖 \(L^\infty\) 范数统一有界的情形。两个判据都不要求变量独立。
\(\mathcal X\) 一致可积，当且仅当它 \(L^1\) 有界并且具有如下统一绝对连续性：
UI 时，\(\mathbb E[|X|\mathbf1_A]\leq K P(A)+\mathbb E[|X|\mathbf1_{\{|X|>K\}}]\)。先取 \(K\) 统一控制第二项，再取 \(\delta\) 控制第一项。反之，设一阶矩上界为 \(C\)，Markov 不等式给出 \(P(|X|>K)\leq C/K\)。在式 (9.5-8) 中取 \(A=\{|X|>K\}\)，选 \(K>C/\delta\) 就统一控制了全族的尾积分。
令 \(Y_n(t)=\sqrt n\,\mathbf1_{(0,1/n)}(t)\)。此时 \(\mathbb E|Y_n|^2=1\)，所以全族 UI。直接算也有 \(\mathbb E[|Y_n|\mathbf1_{\{|Y_n|>K\}}]=n^{-1/2}\mathbf1_{\{\sqrt n>K\}}\leq1/K\)。另一方面 \(\|Y_n\|_1=n^{-1/2}\to0\)，但 \(\|Y_n\|_2=1\)。高阶矩有界提供尾部控制，并不等于该高阶范数收敛。
这些 UI 判据及其概率解释可对照 MIT 讲义 19，第 2 部分。
9.5.6 Vitali定理：从依概率到L1
先明确本节所需的收敛方式：\(X_n\to X\) 依概率收敛（convergence in probability），指每个 \(\eta>0\) 都有 \(P(|X_n-X|>\eta)\to0\)。它允许小概率事件上出现大误差。各种收敛方式的进一步比较见 10.1 节。
设 \(X_n\in L^1\)，\(X\) 是实值可测随机变量。则
右侧条件还会自动保证 \(X\in L^1\)。
充分性。对 \(K>0\)，令 \(T_K(x)=\max(-K,\min(x,K))\)。它是有界的 1-Lipschitz 函数，因此对任意 \(\eta>0\)，
先令 \(n\to\infty\)，再令 \(\eta\downarrow0\)，得截断后 \(L^1\) 收敛。UI 给出 \(C=\sup_n\mathbb E|X_n|<\infty\)，故 \(\mathbb E|T_K(X)|=\lim_n\mathbb E|T_K(X_n)|\leq C\)。令 \(K\uparrow\infty\)，单调收敛得 \(\mathbb E|X|\leq C\)。
将误差分成三个可积部分：
第一项由 UI 统一控制，第三项由 \(X\) 可积控制。先选足够大的 \(K\) 使它们都小，再对这个固定的 \(K\) 令 \(n\to\infty\) 消去中间项，得到所需收敛。
必要性。若 \(\mathbb E|X_n-X|\to0\)，由 \(|X|\leq|X-X_n|+|X_n|\) 可知 \(X\in L^1\)。Markov 不等式给出依概率收敛，三角不等式给出全列 \(L^1\) 有界。对任意事件 \(A\)，\(\mathbb E[|X_n|\mathbf1_A]\leq\mathbb E[|X|\mathbf1_A]+\mathbb E|X_n-X|\)。先用第二项控制充分大的 \(n\)，再用单个可积变量的积分绝对连续性，统一控制 \(X\) 和余下有限多个 \(X_n\) 在小概率事件上的积分。定理 9.5-3 随即给出 UI。
由 \(|\mathbb EX_n-\mathbb EX|\leq\mathbb E|X_n-X|\)，Vitali 还保证期望收敛。控制收敛定理是其中一个应用：可积支配提供 UI，几乎必然收敛提供依概率收敛。这里的概率空间条件不能忽略；无限测度上的尾部条件还不能阻止积分质量分散到越来越大的区域，见习题 9.5-4。Vitali 的等价表述见 Durrett 定理 4.6.3。
9.5.7 练习与解答
习题 9.5-1 为什么要求范数指数至少为一
取 \(P(A)=1/2\)，令 \(X=\mathbf1_A\)、\(Y=\mathbf1_{A^c}\)。计算形式上的量 \(\|Z\|_r=(\mathbb E|Z|^r)^{1/r}\) 在 \(0<r<1\) 时的三角不等式两端，并说明失败原因。
\(\|X\|_r=\|Y\|_r=2^{-1/r}\)，而 \(X+Y=1\)，故 \(\|X+Y\|_r=1\)。因为 \(1-1/r<0\)，有 \(\|X\|_r+\|Y\|_r=2^{1-1/r}<1\)。所以这一表达式在该范围不满足范数的三角不等式；本节的 \(L^p\) 范数结论不能直接延伸到这里。
习题 9.5-2 高阶矩有界可以提升到哪种收敛
设 \(p>1\)，\(\sup_n\mathbb E|X_n|^p\leq C\)，且 \(X_n\to X\) 依概率。证明 \(X\in L^p\)，并证明对每个 \(1\leq q<p\)，\(X_n\to X\) 在 \(L^q\) 中成立。能否令 \(q=p\)？
对每个 \(M\)，函数 \(h_M(x)=\min(|x|^p,M)\) 有界且 Lipschitz，故与式 (9.5-10) 相同的估计给出 \(\mathbb Eh_M(X)=\lim_n\mathbb Eh_M(X_n)\leq C\)。单调收敛令 \(M\to\infty\)，得 \(\mathbb E|X|^p\leq C\)。
令 \(Z_n=|X_n-X|^q\)，则 \(Z_n\to0\) 依概率，且 \(\sup_n\mathbb E Z_n^{p/q}\leq2^{p-1}\sup_n(\mathbb E|X_n|^p+\mathbb E|X|^p)\leq2^pC\)。因为 \(p/q>1\)，该族 UI；Vitali 给出 \(\mathbb EZ_n\to0\)，即 \(L^q\) 收敛。不能一般取 \(q=p\)：在 \((0,1)\) 上的 \(X_n=n^{1/p}\mathbf1_{(0,1/n)}\) 依概率趋零，却始终满足 \(\|X_n\|_p=1\)。
习题 9.5-3 UI不必来自任何高阶矩
定义非负离散变量 \(Z\)：\(P(Z=2^k)=1/(k^2 2^k)\)（\(k\geq1\)），余下概率放在零点。证明常值序列 \(X_n=Z\) 一致可积，但对每个 \(p>1\) 都有 \(\mathbb E|Z|^p=\infty\)。
\(\sum_k1/(k^2 2^k)<\sum_k2^{-k}=1\)，所以概率定义成立。\(\mathbb EZ=\sum_k1/k^2<\infty\)，故 \(\mathbb E[Z\mathbf1_{\{Z>K\}}]\to0\)，并且全序列的尾积分上确界就是这一项，因而 UI。另一方面，\(\mathbb EZ^p=\sum_k2^{(p-1)k}/k^2\)，其通项不趋零，级数发散。这说明高阶矩判据是充分条件，不是必要条件。
习题 9.5-4 无限测度上的遗漏条件
改在 \((0,\infty)\) 的勒贝格测度上，令 \(f_n(t)=n^{-1}\mathbf1_{(0,n)}(t)\)。检查一致可积的尾积分条件、依测度收敛和 \(L^1\) 收敛，说明为何本节的 Vitali 版本不能原样移用。
所有 \(f_n\leq1\)，故 \(K\geq1\) 时，\(\sup_n\int|f_n|\mathbf1_{\{|f_n|>K\}}\,dt=0\)。对每个 \(\eta>0\)，当 \(n>1/\eta\) 时，集合 \(\{|f_n|>\eta\}\) 为空，所以依测度趋零，甚至一致趋零。但 \(\|f_n\|_1=(1/n)n=1\)，并不 \(L^1\) 收敛。概率空间中“误差至多 \(\eta\)”的部分积分至多 \(\eta\)；无限测度时没有这个统一有限因子，还需要控制积分在空间远处的分散。
关键术语
- 几乎处处等价类：把只在零测集上不同的可测函数归为同一元素。
- \(L^p\) 范数：由绝对值的 \(p\) 阶矩定义的大小，\(p=\infty\) 时用本质上确界。
- 共轭指数：满足 \(1/p+1/q=1\) 的一对指数。
- Hölder不等式：用两个共轭范数控制乘积的积分。
- Minkowski不等式：\(L^p\) 范数的三角不等式。
- 一致可积：整个函数族在大值区域的尾积分统一趋零。
- 统一绝对连续性：小概率事件上的积分对全族一致小。
- Vitali收敛定理：依概率收敛与一致可积共同刻画 \(L^1\) 收敛。
参考文献与延伸阅读
- Durrett, R. (2019). Probability: Theory and Examples, 5th ed.，作者版本。第 1.5–1.6 节的范数不等式；第 4.6 节的一致可积与 \(L^1\) 收敛，尤其定理 4.6.2–4.6.3。
- Polyanskiy, Y. (2018). MIT 6.436J，Lecture 19: Uniform Integrability; Convergence of Series。前两部分的 \(L^1\) 空间、UI 判据及收敛等价定理。