两组不同耦合按频率偏移逐步相加
多组非等价邻核要分别使用各自耦合，不能把邻核总数直接相加套规则。
读图时保留这项条件：理论线数是上限；简并、线宽和分辨率可能减少可见谱线数。
用两次分裂亲手生成 dd
分别改变两个耦合，看四条理论路径何时落到同一频率。
3.3.1 从一组邻核到多组邻核
一个氢信号可以同时受到几组邻核的耦合。本节沿用 3.2 节的模型：邻核均为自旋 \(1/2\)，各自两种投影状态按近似等权处理，相关自旋系统满足一阶近似，同组邻核对被观察核具有同一个耦合常数。读者应已能说明一组三个邻核为什么给出四重峰。现在的学习任务是把不同组的频率贡献相加，逐条核对位置和面积，再判断观察到的线数能支持什么结论。本模型中的“邻核”指纳入所讨论标量耦合的核，不能只按结构图上紧邻的碳原子计数。
展开说明与推导
设观察氢为 A，与它耦合的 B、C 化学不等价，且对 A 的耦合幅度不同。B 给出间距为 \(J_{AB}\) 的两种频率贡献；C 又给出间距为 \(J_{AC}\) 的两种贡献。两者组合后，A 的信号通常出现四条谱线，称为双二重峰（doublet of doublets，dd）。四条线属于同一个 A 信号，不意味着四种氢环境，也不意味着积分为四个氢。整组谱线的总积分仍由产生 A 信号的氢数决定。
逐级裂分（successive splitting）是把各组邻核的贡献分步加入的计算方法。裂分树没有表示耦合在时间上先后发生。本页用 \(J\) 的绝对值表示裂分幅度；命名采用 Nowick《Multiplet Guide and Workbook》的约定，较大 \(J\) 对应的字母在前。因此 dt 表示大间距的双峰各含一个小间距三重峰，td 则表示大间距三重峰的各线再裂成双峰。不同资料可能使用另一命名次序，报告时应同时列出各级 \(J\) 与对应邻核数。
展开说明与推导
这个约定服务于读图。它不能替代位置计算，尤其当两个子多重峰彼此交叠时，外观未必能直接分成两团或三团。Reusch 的虚拟教材把不同 \(J\) 组的裂分贡献相加，并提醒读者注意谱线偶然重合；下面将把这一规则写成可以枚举的频率表。
3.3.2 dd 的四个偏移与两个耦合常数
先看一个教学设定：\(J_{AB}=10\,\mathrm{Hz}\)，\(J_{AC}=4\,\mathrm{Hz}\)。设没有裂分时 A 的中心频率为 \(\nu_A\)，频率偏移定义为 \(x=\nu-\nu_A\)，单位为 Hz。一组单个邻核产生的两个位置是原中心的 \(\pm J/2\)，因此先加 B 的贡献，得到 \(-5\) 与 \(+5\,\mathrm{Hz}\)，两者各占 A 总面积的二分之一。再将每条线分别向两侧移动 \(2\,\mathrm{Hz}\)，每条新线各占其母线面积的一半。最终位置为 \(-7,-3,+3,+7\,\mathrm{Hz}\)，四条线各占总面积的四分之一。
展开说明与推导
式中 \(s_B\) 与 \(s_C\) 是枚举两种贡献的符号标签。四种符号组合分别给出 \(-5-2=-7\)、\(-5+2=-3\)、\(+5-2=+3\)、\(+5+2=+7\)。这里只需做加法，不需先学算符或矩阵。按 Keeler（2002）对弱耦合谱线的解释，这些线对应被观察核发生跃迁时不同的邻核自旋状态组合；图中的分支是整理组合的工具。
展开说明与推导
反过来读这四条线时，相邻间距依次为 \(4,6,4\,\mathrm{Hz}\)。中间的 \(6\,\mathrm{Hz}\) 是 \(10-4\) 的差，不能把它登记成第三个耦合常数。较小 \(J\) 可由两侧各一对的间距读取；较大 \(J\) 可由第一与第三条、第二与第四条的对应间距读取，也等于两对子峰中心的间距。测量多对对应线有助于发现误选谱线或位置读数不一致。只有线形符合本节一阶模型时，这些对应关系才成立。
若教学设定的中心为 \(\delta_A=3.000\times10^{-6}=3.000\,\mathrm{ppm}\)，用标称 400 MHz 近似参考频率，\(1\,\mathrm{ppm}\) 约对应 \(400\,\mathrm{Hz}\)。上述四线的 ppm 数值约为 2.9825、2.9925、3.0075、3.0175。这里仍采用无量纲定义 \(\delta=(\nu-\nu_{\mathrm{ref}})/\nu_{\mathrm{ref}}\)，而 \(\delta/\mathrm{ppm}=10^6\delta\)。精确换算用实际参考频率；标称 MHz 是便于解谱的近似（Keeler，2002）。
3.3.3 dt 与 dq：位置相加，线面积相乘
当 A 与一组两个同组邻核耦合时，这组邻核的频率贡献为 \(-J_T,0,+J_T\)，权重为 \(1:2:1\)。中心权重为二，是因为两种相反取向的组合给出同一个总贡献。在此基础上再加一个不同 \(J\) 的单个邻核，可以得到双三重峰（doublet of triplets，dt）。若大双峰间距为 \(12\,\mathrm{Hz}\)，小三重峰间距为 \(3\,\mathrm{Hz}\)，两个三重峰中心位于 \(\pm6\,\mathrm{Hz}\)。最终偏移与权重列在表中；这是一组教学设定，不对应指定化合物的实测谱。
展开说明与推导
面积权重来自各组组合数的乘法。双峰的两支权重都是一，与三重峰的 \(1,2,1\) 逐项相乘，得到每个子三重峰的 \(1,2,1\)。把 A 的总面积归一为一时，一条子线的面积等于母线面积 \(1/2\) 乘以三重峰相应份额 \(1/4,2/4,1/4\)，因此六条线的面积是 \(1,2,1,1,2,1\) 各除以八。重复乘法必须保存总面积，不能让新生成的子峰凭空增加氢数。
双四重峰（doublet of quartets，dq）则将一个单邻核的双峰与一组三个同组邻核的四重峰组合。四重峰贡献为 \(-3J_Q/2,-J_Q/2,+J_Q/2,+3J_Q/2\)，面积权重为 \(1:3:3:1\)。取 \(J_D=14\,\mathrm{Hz}\)、\(J_Q=3\,\mathrm{Hz}\)，母线中心为 \(\pm7\,\mathrm{Hz}\)，每条母线生成四条子线。只要位置互异且全部分辨，八条线的权重是两组 \(1,3,3,1\)，归一化分母为十六。
| 模型与参数 | 升序频率偏移 / Hz | 同序相对面积 | 总面积核验 |
|---|---|---|---|
| dt：12 Hz 与 3 Hz | −9，−6，−3，+3，+6，+9 | 1，2，1，1，2，1 | 权重和为 8；各除以 8 |
| dq：14 Hz 与 3 Hz | −11.5，−8.5，−5.5，−2.5，+2.5，+5.5，+8.5，+11.5 | 1，3，3，1，1，3，3，1 | 权重和为 16；各除以 16 |
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本节强调谱线面积（line area），而非在任意处理后的谱图上比较峰高。孤立且线宽、线形相同的谱线，峰高比可代表面积比；当邻线交叠或线宽不同，峰顶受其他线贡献影响，直接量高度可能偏离理论权重。dt 也可能看成一个三重峰的各线再裂成双峰，计算得到的位置和面积仍相同。字母次序记录所采用的命名惯例，不能从中推断自旋先与哪一组耦合。
习题 3.3-1：核对一组六线多重峰
教学模型中 A 与一个邻核有 16 Hz 耦合，与另一组两个同组邻核有 4 Hz 耦合。列出全部偏移和归一化面积，核验总宽度与总面积。
参考解答先由单邻核得到中心 −8、+8 Hz，每支面积为 1/2。两个同组邻核给出 −4、0、+4 Hz，份额为 1/4、2/4、1/4。逐项相加得到 −12、−8、−4、+4、+8、+12 Hz，面积依次为 1/8、2/8、1/8、1/8、2/8、1/8。六个位置互异，故为本页记法的 dt。最外线跨度为 24 Hz，与 16+2×4=24 Hz 一致；面积分子和为 8，归一化面积和为 1。若换成先画三重峰再加正负8 Hz，六个位置的排列及权重不变。
3.3.4 生成次序与最多线数的边界
多组裂分的一般计算仍是加法。把邻核分为互不重叠的组，设第 \(k\) 组含 \(n_k\) 个邻核，对 A 具有同一裂分幅度 \(J_k\)；该组频率贡献的无量纲权重 \(q_k\) 从 \(-n_k/2\) 到 \(+n_k/2\)，每次增加一。这里的贡献权重用于枚举频率位置，不是直接给真实总自旋投影命名；沿用本书正吸收频率约定并取正 J 时，它等于真实总投影的负值。若各组满足先前的独立等权模型，那么每组选一个贡献后，谱线位置与归一化面积权重为：
展开说明与推导
这里 \(g\) 是组数，\(n_k\) 与 \(q_k\) 无量纲，\(\nu\)、\(\nu_A\)、\(J_k\) 均用 Hz，\(w\) 是该组合占 A 总面积的份额。二项式系数数出组内产生同一贡献的组合数。加法交换次序不改变和值，乘法交换次序也不改变面积权重，所以“先大后小”只便于绘图和辨认。如果两个组合落在相同频率，它们的面积需要相加，不能重复登记为两条可见谱线。
这个乘积给出每组贡献组合后的最多不同位置数。dd、dt、dq 对应的上限分别为四、六、八。要达到该上限，相关系统须能按一阶模型处理，计入的耦合必须有效，各组贡献相加后不能发生位置重合。要在谱图上实际数到这么多线，还须各条线被分辨、信噪比足够，且没有其他信号遮盖。任一条件缺失，可见线数都可能少于乘积。“不同 \(J\)”本身不足以保证位置互异，某些数值关系也会让不同组合的和值相同。
例如 dq 的另一组教学参数为 \(J_D=6\,\mathrm{Hz}\)、\(J_Q=3\,\mathrm{Hz}\)。两个子四重峰的中心为 \(\pm3\,\mathrm{Hz}\)，贡献为 \(\pm4.5\) 与 \(\pm1.5\,\mathrm{Hz}\)。八个分支合并后只有 \(-7.5,-4.5,-1.5,+1.5,+4.5,+7.5\,\mathrm{Hz}\) 六个位置；中间两个位置各叠加权重一与三，最终面积比为 \(1:3:4:4:3:1\)。这组六线等间距外观不符合五个同组邻核的六重峰面积比 \(1:5:10:10:5:1\)。单独数线会丢掉区分它们的证据。
3.3.5 相近 J、精确简并与未分辨
dd 的中心两条线相距 \(|J_{AB}-J_{AC}|\)。若两者都为 \(10\,\mathrm{Hz}\)，四个分支位于 \(-10,0,0,+10\,\mathrm{Hz}\)。中心的两个跃迁贡献精确简并（exact degeneracy），面积相加后呈 \(1:2:1\)。这证明了在本模型中对 A 的两个裂分幅度相等，却不能证明 B、C 化学等价。可以设 B、C 具有不同化学位移，但对 A 恰有相同 \(J\)，相关系统仍处于一阶近似；A 的信号便同样呈三条线。化学等价需要结构与化学环境的证据，不能由 A 的一个峰形倒推。
展开说明与推导
若教学参数改为 \(10\) 与 \(9.8\,\mathrm{Hz}\)，偏移为 \(-9.9,-0.1,+0.1,+9.9\,\mathrm{Hz}\)。中心两线相距 \(0.2\,\mathrm{Hz}\)，各自面积为四分之一。谱线具有有限线宽（linewidth），两条不同位置的线可能只形成一个可见峰顶，称为未分辨裂分（unresolved splitting）。此时可记录为表观三重峰（apparent triplet），并写明存在相近耦合的可能；没有充分证据时不应把两个数值强行设为相等。增加数据点、改变寻峰阈值也不能自动消除内在线宽造成的限制。
精确简并来自模型中位置相同；未分辨来自位置不同但实验或处理不能分开。强耦合（strong coupling）则意味着一阶独立贡献的近似失效，应比较耦合伙伴的频率差与 \(J\)，不能用两个 \(J\) 是否相近来判断。交换还可能随温度、溶剂和速率改变位移、线宽或可见裂分。一个圆钝的中心峰顶不能区分这些机制。强耦合完整处理见 4.9 节，线宽与采样见 4.4、4.5 节，可交换氢见 3.9 节。
习题 3.3-2：三条线能证明邻核等价吗
已知 A 的信号呈面积比接近 1:2:1 的三条线。有人据此写“两个邻核必定化学等价”。用本节模型构造反例，并说明精确相等与未分辨应怎样区分记录。
参考解答设 B、C 的化学位移不同且相关系统满足一阶近似，但二者对 A 均有 10 Hz 耦合。四个组合给 −10、0、0、+10 Hz，中心贡献面积相加，得到1:2:1；B、C仍可化学不等价。另设耦合为10与9.8 Hz，则四位置为 −9.9、−0.1、+0.1、+9.9 Hz。若中心未分辨，外观也近似三条线。前者是在所设模型中精确简并，后者应保留“表观三重峰／可能含未分辨小间距”的记录。要证明邻核化学等价，还需考察结构、对称性及邻核自身的信号等证据。
3.3.6 把逐线解释写进耦合证据
从真实谱图提取多组裂分时，先保存观察，再提出模型。观察记录应包括总积分、线位置、可分辨程度和谱图条件，暂不按线数指定邻核数。接着选定信号中心，以 Hz 表列出偏移；为候选的各级裂分枚举全部位置与面积，检查它们是否覆盖已观察到的线。最后回到其他信号，寻找相同 \(J\) 的对应关系。本节的反算都以峰表可靠且一阶近似适用为前提，不能把一个不规则多重峰的任意相邻间距贴上 \(J\) 标签。
A 的总积分对应一个氢，四条等面积线相对中心为 −7、−3、+3、+7 Hz；B 的信号为间距10 Hz的双峰，C 为间距4 Hz的双峰，二者也各对应一个氢。设三者相关系统满足一阶近似，其他可见耦合可忽略。A 的峰表可由 \(J_{AB}=10\,\mathrm{Hz}\) 与 \(J_{AC}=4\,\mathrm{Hz}\) 完整生成；B、C 的间距分别与这两个值相符，支持 A—B 与 A—C 两条耦合关系。该记录给出局部网络，尚未确定各耦合跨越几条化学键，也没有证明唯一的碳骨架。
展开说明与推导
这段核验有两个不同层次。A 的四线枚举检验了一个 dd 模型能否解释局部峰形；B、C 的对应间距则给出了耦合伙伴指认的候选证据。仅有 A 的 dd，不能可靠区分某条耦合来自同一碳上的另一个氢还是邻碳上的氢，也可能涉及更远路径。若 B 的同区域还混入另一信号，应把伙伴指认保留为候选；若 C 有额外裂分，需要把它的其他耦合加入网络。片段连接将结合 3.5 节的耦合路径知识继续检验。
拟合良好的位置表也应保留信息限度。例如把相近 \(J\) 合并为一个近似值可方便报告，但会降低可区分的耦合关系数；若只保留“t，1H”，后续读者无法知道它是独立三重峰还是未分辨 dd。把“表观”以及实验分辨情况写进指认表，能够保留这一不确定性。Field、Li 与 Magill（2020）的分级结构题可用于练习把耦合信息与积分、位移及其他结构约束放在同一张证据表中；本节的教学算例只检验裂分模型。
习题 3.3-3：六条等间距线的反例核验
某教学 dq 模型含一个6 Hz的单邻核耦合和一组三个邻核各为3 Hz的耦合。逐步合并八个分支，给出六条线的面积，并说明为什么不能据“六条线”判为五个同组邻核。
参考解答单邻核给出中心 −3、+3 Hz。三个同组邻核给出偏移 −4.5、−1.5、+1.5、+4.5 Hz，权重1、3、3、1。左支生成 −7.5(1)、−4.5(3)、−1.5(3)、+1.5(1)；右支生成 −1.5(1)、+1.5(3)、+4.5(3)、+7.5(1)，括号内为相对面积。合并同频位置后得到 −7.5、−4.5、−1.5、+1.5、+4.5、+7.5 Hz，面积比1:3:4:4:3:1。分子和16，与四个邻核的16种等权组合相符。五个同组邻核的一阶六重峰为1:5:10:10:5:1，权重和32，两者的面积分布不同。若面积不能可靠测出，则该峰形本身仍不足以排除候选，需保留两类解释并核对伙伴信号。
展开说明与推导
离开本节时，可以把每个拟议多重峰留下三个可检查对象：以 Hz 表示的线位置、归一化面积权重，以及支持各级 \(J\) 的伙伴信号。若这些对象互相矛盾，先回查分辨、重叠和一阶条件，再调整邻核分组。下一节将用自旋系统的名称记录核的频率与等价关系，避免只凭 dd、dt、dq 的外形记号描述整个系统。
关键术语
- 逐级裂分 successive splitting
- 分步加入各组邻核频率贡献的计算方法，不表示时间次序。
- 双二重峰 doublet of doublets，dd
- 两种单邻核裂分贡献的组合，在一阶且不重合时有四个位置。
- 双三重峰 doublet of triplets，dt
- 按本页约定，较大J双峰与较小J三重峰的组合。
- 双四重峰 doublet of quartets，dq
- 按本页约定，较大J双峰与较小J四重峰的组合。
- 谱线面积 line area
- 一条谱线的积分贡献；交叠时不能直接以峰高替代。
- 精确简并 exact degeneracy
- 不同跃迁贡献在模型中具有相同频率，观察面积相加。
- 线宽 linewidth
- 谱线在频率轴上的宽度，影响相邻贡献能否分辨。
- 未分辨裂分 unresolved splitting
- 不同位置的裂分贡献未能在当前谱图上分别辨认。
- 表观三重峰 apparent triplet
- 外观近似三重峰的记录，保留相近J或重叠等解释。
- 强耦合 strong coupling
- 频率差相对耦合不足以支持一阶处理时，需要更完整的自旋分析。
参考文献与延伸阅读
- Nowick, James S. Multiplet Guide and Workbook. University of California, Irvine，未注明年份。用于多组裂分与“大J在前”的命名约定；访问日期：2026-10-11。
- Reusch, William H. Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy — Reusch Virtual Textbook. Michigan State University；ACS Division of Organic Chemistry 托管。参阅 Spin-Spin Interactions 中的多组J叠加与偶然重合；访问日期：2026-10-11。
- Keeler, James. 2002. Understanding NMR Spectroscopy: Chapter 2, NMR and Energy Levels. University of Cambridge，UC Irvine 课程讲义。用于弱耦合跃迁、邻核状态及频率单位的进一步解释。
- Reich, Hans J. NMR Info/Data — Hans Reich Collection. University of Wisconsin–Madison；ACS Division of Organic Chemistry 维护。供进一步查阅耦合、等价性及二阶谱资料；访问日期：2026-10-11。
- Field, L. D.; Li, H. L.; Magill, A. M. 2020. Organic Structures from Spectra, 6th ed. Wiley。用于耦合解析及联合结构证据的分级练习。