一个耦合值可以对应多个角度
Karplus 关系给角度约束，通常不能靠一个数值反推出唯一构象。
读图时保留这项条件：柔性分子平均的是各构象耦合，不能先平均角度再代入曲线。
转动 Newman 投影，看耦合曲线的位置
拖动二面角，观察前后目标氢在投影中的夹角以及模型耦合。
6.1.1 从耦合路径定义二面角
本节先修为第 5 章的连接结构与指认。读者应能用 COSY、HSQC 和 HMBC 说明一对氢所在的位置，并知道强耦合谱的任意谱线间隔未必等于耦合常数。这里把已经建立的连接结构作为输入，学习由三键耦合约束局部几何、检验候选构象，并指出单个耦合仍然允许哪些解释。
展开说明与推导
邻位三键耦合(vicinal three-bond coupling)指两个核沿指定路径隔着三条化学键的标量耦合。本页讨论脂肪族片段 \(\mathrm{H}_{a}-\mathrm{C}_{1}-\mathrm{C}_{2}-\mathrm{H}_{b}\)，写作 \({}^{3}J_{\mathrm{H}_{a},\mathrm{H}_{b}}\)，单位为 Hz。上标三计数的是键，不能用它代替氢在谱图上的先后次序。两氢在空间上靠近也不足以证明它们有这条三键路径；路径要由分子图与指认确认。
二面角(dihedral angle) \(\phi\)是平面 \(\mathrm{H}_{a}\mathrm{C}_{1}\mathrm{C}_{2}\)与平面 \(\mathrm{C}_{1}\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{b}\)绕共同的碳—碳键形成的扭转角。本页采用沿 \(\mathrm{C}_{1}\rightarrow\mathrm{C}_{2}\)观察的约定：两根碳—氢键的投影重合为 \(0^\circ\)，投影相反为 \(180^\circ\)。这是扭转角，不是某个碳原子处的三原子键角。
展开说明与推导
图 6.1-3 用纽曼投影(Newman projection)固定观察方向：点表示前碳，圆表示后碳。先找到前碳所连的目标氢，再看后碳所连目标氢绕中心轴的位置。二面角必须针对指定氢对，换成同一亚甲基上的另一氢，角度通常也要重新计算。只有确定了取代基的位置，才能将氢之间的关系转译为取代基之间的关系。
展开说明与推导
构象(conformation)描述给定连接与构型下的空间安排。沿单键转动能改变二面角，却不必改变立体中心的构型。对这对氢，\(180^\circ\)的关系称为反式排列，\(60^\circ\)附近称为旁式排列；这些词在这里描述局部扭转关系。不要将氢对的反式排列直接写成整个分子的反式异构体。环系的顺反构型还需要明确取代位置与环的上下两面。
6.1.2 Karplus 曲线及其参数边界
Karplus 关系(Karplus relationship)将邻位三键耦合与局部扭转角联系起来。标量耦合由键合电子传递，转动改变这条路径上的电子结构，因此同一连接片段的耦合会随二面角改变。Karplus（1963）讨论了这种角度依赖及其他结构因素。教学与拟合中常用下式表达曲线形状：
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这里 \(A\)、\(B\)、\(C\)为以 Hz 表示的系数，\(\phi\)为已定义的二面角；三角函数取角度对应的数值。一些含二倍角的常见形式可用三角恒等式改写，但系数必须连同角度约定、核对与校准体系一起引用。程序若要求弧度，需先把度数乘以 \(\pi/180\)。这一单位转换不会改变分子的几何关系。
本页选用教学设定 \(A=10.00\ \mathrm{Hz}\)、\(B=-1.00\ \mathrm{Hz}\)、\(C=1.00\ \mathrm{Hz}\)，只演示正向计算、反演和平均。它们未从某种真实化合物拟合，不可据此报告未知物的实验二面角。表 6.1-1 与图 6.1-4 均由式 6.1-1 计算。该模型在 \(90^\circ\)处给出 1.00 Hz，最低点实际稍偏离直角；因此本页仅说直角附近的耦合较小。
| 二面角 | 余弦值 | 逐项代入，单位 Hz | 三键 J |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(1\) | \(10-1+1\) | 10.00 Hz |
| \(60^\circ\) | \(1/2\) | \(10/4-1/2+1\) | 3.00 Hz |
| \(90^\circ\) | \(0\) | \(0-0+1\) | 1.00 Hz |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | \(10+1+1\) | 12.00 Hz |
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取代基影响既包括电子效应，也包括构象占比的改变。Haasnoot、de Leeuw 与 Altona（1980）的原始研究在广义关系中加入取代基电负性及其相对于目标氢的取向修正。由此不能把所有含氧片段套进同一条烷烃曲线；即使二面角相同，取代环境不同也可能给出不同的 J。环张力改变键角和键长，参数也要检查。这里的脂肪族模型不能直接用于偕耦合、芳环的不同连接路径或隔双键的三键耦合。
Karplus 曲线也不是构象能量曲线。零度附近可以给出较大的耦合，但这样的重叠排列在具体分子中可能很少出现；哪个构象占比高，需要另外分析其自由能与溶液条件。曲线上的每一点回答给定几何产生什么耦合，不回答分子有多大概率处于该几何。
6.1.3 从一个 J 值反演角度为何有多解
已知角度求耦合是正向问题，已知耦合求角度是反演(inverse problem)。曲线两侧都可能经过同一个水平值，故一个准确 J 仍然不保证唯一二面角。先考虑一个固定几何的教学片段，假设其耦合为 2.50 Hz，且本页模型恰好适用。此假设刻意排除了柔性平均，下一段的解只是该模型内的候选角度。
设 \(x=\cos\phi\)，将 2.50 Hz 代入并把各项除以 Hz，得到 \(10x^2-x-1.50=0\)。依次求出代数根、检查 \(-1\leq x\leq1\)，最后取反余弦；不能只选择较熟悉的旁式分支。
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两个根都在余弦允许的区间内。将第一根平方后乘以十，再减去该根并加一，得到 2.50；第二根按相同步骤也得到 2.50。图 6.1-4 把这一步画成水平线与曲线的两次相交。若采用带方向的扭转角范围，则每个角度还可有正负两个分支，因为本式只含余弦项。局部几何约束可以排除某些分支，但需要在候选结构上展示这些约束。
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数值反演还受测量误差与模型误差影响。若实验只给一个带不确定度的耦合范围，交点应扩展成角度区间。在曲线较平缓处，J 的小变化也可能对应较宽的角度范围；若目标值落到模型的全部输出范围之外，应先检查模型适用性与 J 提取，再检查候选几何。不要将公式算出的两位小数当作结构精度，也不要靠保留更多小数消除分支。
常规一阶裂分的间隔通常只确定耦合绝对值，不能单凭该间隔指定符号。本页教学模型在所画角度范围内均为正，因此数值例题的间隔与模型 J 可直接对应。换到其他核对或参数体系时，需先统一符号口径，再考虑观测绝对值允许的分支。
习题 6.1-1 · 检查反演的全部分支
仍使用教学模型。若固定构象的三键 J 为 4.00 Hz，在 \(0^\circ\)到 \(180^\circ\)中有哪些角度解？若采用 \(-180^\circ\)到 \(180^\circ\)的有向角，结论怎样改变？
参考解答令 \(x=\cos\phi\)，得到 \(10x^2-x-3=0\)。判别式为 121，故 \(x=(1\pm11)/20\)，即 0.60 和 −0.50。两根合法，给出 \(\phi=53.13^\circ\)与 \(120.00^\circ\)。回代分别为 \(3.6-0.6+1=4.0\)和 \(2.5+0.5+1=4.0\)。有向角下另有 −53.13°和 −120.00°；仅凭该方程不能选定旋转方向。
6.1.4 柔性分子平均的是耦合
溶液中的柔性分子常由多个互相转化的构象组成构象系综(conformational ensemble)。当转化足够快，相关位移与耦合的变化在观察期间被平均，就可能只看到一套平均信号。这里采用同一氢对在各构象中可连续追踪、连接结构不变，并满足相关自旋演化的快交换极限的近似；展宽或两套峰仍可见时，不能直接使用下面的平均式。交换的时间尺度在 6.7 节展开。
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\(J_{\mathrm{obs}}\)为观察到的平均耦合，\(p_i\)是第 \(i\)个构象的占比，\(J_i\)是该构象中指定氢对的耦合；J 均以 Hz 表示。这里的快交换(fast exchange)以相关频率差与自旋演化的时间尺度为参照，需判断转化速率是否足够大。Reich（2017）的教学资料以甲基转动说明耦合平均；更一般的柔性体系需要同时描述可达几何与其占比。
设教学系综只有两个构象，反式角 \(180^\circ\)占 70%，旁式角 \(60^\circ\)占 30%。先分别代入表 6.1-1，得到 12.00 与 3.00 Hz；再加权，\(J_{\mathrm{obs}}=0.70\times12.00+0.30\times3.00=9.30\ \mathrm{Hz}\)。若先取角度的算术平均，得到 \(144^\circ\)，再代入曲线却只有约 8.35 Hz。这是非线性函数的直接后果：一般不能把平均角送进 Karplus 方程来代替平均耦合。角度还具有周期性，跨越正负角边界时，普通算术平均本身也可能失去几何意义。
同一个平均 J 可以来自固定角度，也可以来自一组占比；这类歧义比曲线的两个交点更广。若预先假定仅有已知角度的反式、旁式两态，就能用平均式反算一个占比。得到的占比仍依赖两态假设及各态的预测 J。增加第三种构象或允许角度在每一态中波动，未知量随之增加，一个观测值通常不再足够。构象搜索也要检查漏掉的低能构象，不能仅因为两个候选能拟合就宣称溶液只含这两态。
温度和溶剂改变构象占比时，J 的变化可作为检验线索。应在相同指认与参数口径下比较，先排除重叠、线宽和取代环境改变对提取结果的影响。多个氢对的平均耦合要由同一组占比共同解释；不能给每对氢另设一套互不相容的占比。更多系综约束见 6.9 节。
占比估计的稳定性取决于各态 J 的差别。在两态模型中，占比由观测值减去一态的 J，再除以两态 J 之差得到。两态预测越接近，同样的耦合误差对占比影响越大；若预测相同，该氢对就无法区分两态。选择补充测量时，应寻找候选几何产生较不同耦合、且实验能可靠分辨的路径。
习题 6.1-2 · 有条件地估计构象占比
假定本页两态模型完全成立，\(J_{\mathrm{anti}}=12.00\ \mathrm{Hz}\)、\(J_{\mathrm{gauche}}=3.00\ \mathrm{Hz}\)，快交换下观察到 8.00 Hz。求反式占比，并说明这个结果为何不能证明只有两态。
参考解答设反式占比为 \(p\)，旁式占比为 \(1-p\)。由 \(8.00=12.00p+3.00(1-p)\)，得 \(p=5/9\)，约 55.6%，旁式约 44.4%。两占比非负且和为一，回代给出 8.00 Hz。若存在其他构象，平均式会增加项，同一个 J 仍可能被其他占比组合满足；还需其他氢对耦合或空间约束检验模型。
6.1.5 将 J 约束放回结构证据中
构象判断先检查 J 的来源。已经分辨并满足一阶近似的多重峰可提供耦合间隔；重叠或强耦合时需使用适当实验或全自旋体系拟合，不能挑选一个看起来合适的间距。COSY 交叉峰可支持耦合关系，却不自动给出无偏的 J 数值。记录目标氢对、三键路径、提取方法和不确定度后，再比较所有候选在该路径上的角度及取代环境。
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刚性体系能缩小几何范围，因此通常更适合以耦合区分候选。例如已确认椅式六元环且一个构象占主导时，相邻双轴向氢常接近反式排列，其耦合通常大于含赤道向氢的对应耦合。具体范围随取代与环畸变改变；本节不将教学系数作为通用阈值。将这一局部关系转为相对构型，还要把每个目标氢与其所连取代基对应起来，检查环翻转是否影响观察值。环系的完整判别在 6.4 节处理。
核 Overhauser 效应(nuclear Overhauser effect, NOE)提供与空间邻近有关的另一类信息。这里仅将其引介为对候选几何的补充，物理基础见 6.2 节。J 约束局部三键扭转，NOE 约束指定核之间的空间关系；二者用于同一候选模型，能检查只用局部角度时留下的分支。Claridge（2016）将耦合解释与空间相关纳入完整指认流程，比较对象仍应是具体氢对和完整结构。
联合证据也有边界。Oxford 的 Odell 与 Claridge（2009）指南说明，NOE 的表现受分子运动和实验条件影响，混合时间过长还可能出现自旋扩散。因而弱峰或缺峰不能直接判为两氢相距很远，交叉峰也需排除交换和重叠。柔性体系中的 J 与 NOE 对系综的权重并不相同；少量具有短距离的构象可能对 NOE 有较大贡献，不能把一个 NOE 和一个 J 机械归属于同一静态构象。具体实验限制在 6.3 节展开。
“支持某一局部构象”与“确定相对构型”需要不同范围的证据。普通非手性介质中的同核 J 不能单独区分一对对映体；将局部角度写成某立体中心的绝对构型没有依据。绝对构型需要额外的手性或其他适当证据，见 6.6 节。
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实际报告可写成可复核的条件句：已确认氢对的三键路径；该取代体系的适用模型支持某些二面角范围；其余耦合与可靠空间相关能否由同一候选或同一系综解释。存在冲突时，保留冲突并检查指认、J 提取、曲线参数和平均假设。补充实验应选候选预测不同的氢对，不重复测量所有候选都能解释的相关。
证据表还应区分观测与解释。例如一行记录某氢对的耦合及其误差，另一行记录候选角度与参数来源，再列出是否需要构象平均。这样调整曲线或增加构象时，原始观测不随假设改变。若当前数据只能排除部分几何，结论就保留剩余范围，并写出能够继续缩小它的测量。
习题 6.1-3 · 区分构象支持与构型确定
连接结构已确认，一对邻氢给出较大三键 J；候选甲可用占主导的近反式构象解释，候选乙可用两个快速交换构象的平均解释。另有一个弱 NOE，未做混合时间与重叠检查。能否排除乙并给出绝对构型？说明下一步应检查什么。
参考解答不能。较大 J 可以来自甲的固定局部几何，也可以来自乙的系综；弱 NOE 在条件未检验时不足以否定乙。先确认 J 的提取可靠，并比较甲、乙对其他指定氢对的耦合预测；再选择空间预测不同的氢对，检查选择性、重叠、混合时间及交换贡献。若联合约束仍同时容许两个候选，就保留两者。普通非手性介质中的这些观测也没有区分对映体的依据，不能由它们直接指定绝对构型。
关键术语
- 邻位三键耦合 (vicinal three-bond coupling)
- 两个核沿已确认的三条键路径发生的标量耦合，本页路径为 H—C—C—H。
- 二面角 (dihedral angle)
- 四个原子定义的绕共同中央键的扭转角，与三原子键角不同。
- 纽曼投影 (Newman projection)
- 沿一根键观察前后原子及其键的投影表示，用于读取目标二面角。
- 构象 (conformation)
- 给定连接和构型下的空间安排，可随单键转动或环运动改变。
- Karplus 关系 (Karplus relationship)
- 将特定三键耦合与局部扭转角联系起来、需要适用体系参数的关系。
- 反演 (inverse problem)
- 由观测耦合求允许角度或系综的过程，一般具有多解与模型依赖。
- 构象系综 (conformational ensemble)
- 描述溶液中可达构象及其占比的集合，而非仅列一个代表结构。
- 快交换 (fast exchange)
- 构象转换相对于相关频率与自旋演化足够快，从而适用相应平均近似的状态。
- 核 Overhauser 效应 (NOE)
- 与偶极相互作用有关的信号强度变化，可在适当条件下约束空间邻近。
参考文献与延伸阅读
- Karplus M. 1963. Vicinal Proton Coupling in Nuclear Magnetic Resonance. Journal of the American Chemical Society, 85: 2870–2871. 原始论文 DOI。用于角度依赖及结构因素的历史原始依据；本页教学系数不归属于该文。
- Haasnoot CAG, de Leeuw FAAM, Altona C. 1980. The relationship between proton-proton NMR coupling constants and substituent electronegativities—I: An empirical generalization of the Karplus equation. Tetrahedron, 36: 2783–2792. 原始论文 DOI。用于取代基电负性与取向修正的依据。
- Reich HJ. 2017. NMR Info/Data — Hans Reich Collection，历史教学资料 Notes-05-HMR-v26-part2，5-HMR-5.1 至 5-HMR-5.3。University of Wisconsin–Madison；ACS Division of Organic Chemistry 维护。现行集合入口；2017 历史 PDF。用于 Karplus 近似、耦合平均及环系限制；PDF 已注明停止维护。
- Claridge TDW. 2016. High-Resolution NMR Techniques in Organic Chemistry, 3rd ed. Elsevier. 出版社书目与目录。参见耦合解析、NOE 与结构指认的相关章节。
- Odell B, Claridge T. 2009. A User Guide to Modern NMR Experiments. Chemistry Research Laboratory, University of Oxford. Oxford 官方指南。以文内标示的 2009 年引用；用于 NOE 实验条件、交换与自旋扩散限制。