13.3.1 通常增广滤过与停时的信息
设 \(B=(B_t)_{t\ge0}\) 是从 \(0\) 出发的一维标准布朗运动，采用上一节的连续路径版本。先把概率空间完备化，令 \(\mathcal N\) 为所有零测集的子集所组成的族，定义自然滤过的通常增广（usual augmentation）：
它满足通常条件：\(\mathcal F_0\) 包含所有零测集，且 \(\mathcal F_t=\bigcap_{u>t}\mathcal F_u\)，即滤过右连续。增广后，未来布朗增量仍独立于 \(\mathcal F_t\)。验证这一点时，可取 \(A\in\mathcal F_t\) 和 \(0<u_1<\cdots<u_m\)：对 \(0<\varepsilon<u_1\)，向量 \((B_{t+u_j}-B_{t+\varepsilon})_j\) 独立于 \(A\)。令 \(\varepsilon\downarrow0\)，对有界连续测试函数使用路径连续性及控制收敛，再用单调类论证，便得到所需的独立性。补入零测集不改变这些积分等式。[1，§7.2]
随机时间 \(\tau:\Omega\to[0,\infty]\) 称为停时（stopping time），若对每个 \(t\ge0\)，事件 \(\{\tau\le t\}\in\mathcal F_t\)。停时的信息由 \(\mathcal F_\tau=\{A\in\mathcal F:A\cap\{\tau\le t\}\in\mathcal F_t\text{，对所有 }t\ge0\}\) 表示。约定空集的首达时刻为无穷大。
例如对 \(a>0\)，首达时刻 \(\tau_a=\inf\{t\ge0:B_t=a\}\) 是停时，因为 \(\{\tau_a\le t\}=\{\sup_{0\le s\le t}B_s\ge a\}\)，而路径连续性允许用可数稠密时刻的上确界表示右侧。它并不要求在时刻 \(t\) 知道未来是否还会再次到达 \(a\)。
若 \(S\le T\) 都是停时，则 \(\mathcal F_S\subseteq\mathcal F_T\)；若 \(T_n\downarrow T\)，右连续性给出 \(\mathcal F_T=\bigcap_n\mathcal F_{T_n}\)。后一性质可由 \(\{T<t\}=\bigcup_n\{T_n<t\}\) 先处理严格不等式，再让 \(t+1/k\downarrow t\) 得到。配合连续路径的离散逼近，\(\tau\) 与 \(B_\tau\) 在 \(\{\tau<\infty\}\) 上都是 \(\mathcal F_\tau\) 可测的。
13.3.2 强马尔可夫性：从简单停时逼近
若 \(\tau\) 是几乎必然有限的停时，则 \(W_u=B_{\tau+u}-B_\tau\)，\(u\ge0\)，是标准布朗运动，并且整个过程 \(W\) 独立于 \(\mathcal F_\tau\)。特别地，对有界 Borel 函数 \(g:\mathbb R^m\to\mathbb R\) 及确定时刻 \(0\le u_1<\cdots<u_m\)，
这是强马尔可夫性质（strong Markov property）。条件中的“停时”不可删除；有界随机时间也未必符合该条件。
先取有限值简单停时 \(\tau\)，其可能值为 \(t_k\)。记 \(V_r=(B_{r+u_j}-B_r)_{j=1}^m\)，并令 \(c=E[g(V_0)]\)。对 \(A\in\mathcal F_\tau\)，有 \(A\cap\{\tau=t_k\}\in\mathcal F_{t_k}\)，所以确定时刻的增量独立性给出
当取值可数时同样成立，因为有界 \(g\) 使上面的级数绝对可求和。对一般的几乎必然有限停时，取严格从上逼近的二进制网格：
每个 \(\tau_n\) 都是停时：在网格点 \(k2^{-n}\) 上，\(\{\tau_n\le k2^{-n}\}=\{\tau<k2^{-n}\}\in\mathcal F_{k2^{-n}}\)。若先把 \(\tau\) 截在确定上界内，这些逼近都是有限值简单停时；一般情形可直接用已证明的可数取值情形。
由于 \(\mathcal F_\tau\subseteq\mathcal F_{\tau_n}\)，式 (13.3-3) 对 \(\tau_n\) 及任意 \(A\in\mathcal F_\tau\) 成立。先令 \(g\) 有界连续，路径连续性给出 \(V_{\tau_n}\to V_\tau\)，控制收敛使该积分等式传到极限。再用单调类定理扩展到有界 Borel 函数，得到式 (13.3-2)。过程 \(W\) 的路径连续，有限维分布与 \(B\) 相同；连续路径空间的 Borel σ代数由有理时刻坐标生成，因此有限维独立性也给出整个过程与 \(\mathcal F_\tau\) 的独立性。[2]
13.3.3 反射原理的完整推导
固定 \(a>0\)、\(t>0\)，令 \(M_t=\max_{0\le s\le t}B_s\)。我们尚未证明 \(\tau_a\) 有限，因此先在有界停时 \(\sigma=\tau_a\wedge t\) 处反射：
由强马尔可夫性，\((B_{\sigma+v}-B_\sigma)_{v\ge0}\) 是独立于 \(\mathcal F_\sigma\) 的标准布朗运动。将这一整段增量变号，其分布不变，且仍独立于此前的信息。停时、停止前的路径与停止位置都包含在 \(\mathcal F_\sigma\) 中，故将变号后的增量接回原路径，所得 \(\widetilde B\) 与 \(B\) 有相同的路径分布。
取 \(b<a\)。对事件 \(\{M_t\ge a,\ B_t\le b\}\) 中的路径，反射前后首次触及 \(a\) 的时刻相同，而终点变为 \(2a-B_t\ge2a-b\)。反过来，任何终点至少为 \(2a-b>a\) 的连续路径必先触及 \(a\)，再作同一反射就回到原事件。反射是自身的逆映射，且保持概率，因此
令 \(b\uparrow a\)，利用 \(P(B_t=a)=0\)，左侧趋于 \(P(M_t\ge a,B_t<a)\)，右侧趋于 \(P(B_t\ge a)\)。另一方面，\(\{B_t\ge a\}\subseteq\{M_t\ge a\}\)。把终点低于 \(a\) 与不低于 \(a\) 的两类路径相加，得到反射原理（reflection principle）：
其中 \(\Phi\) 是标准正态分布函数。整个推导只使用了有界停时 \(\sigma\) 的强马尔可夫性，没有预先使用首达时间的有限性。[1，例 7.4.2]
13.3.4 最大值、首达密度与无穷均值
反射原理给出 \(P(M_t\le a)=2\Phi(a/\sqrt t)-1\)，\(a\ge0\)，因而 \(M_t\overset d=|B_t|\)，且 \(EM_t=\sqrt{2t/\pi}\)。这是一维分布相同，不能据此把两个随机变量逐路径视为相等。
把式 (13.3-7) 看成关于时间 \(t\) 的分布函数并求导，利用标准正态密度 \(\varphi\)，得到首达时间密度（first-passage density）：
尾概率趋于零，所以 \(P(\tau_a<\infty)=1\)；但由 Tonelli 定理，\(E\tau_a=\int_0^\infty P(\tau_a>t)\,dt=\infty\)。最后的渐近式来自 \(\Phi(z)-1/2\sim z/\sqrt{2\pi}\)，而 \(t^{-1/2}\) 在无穷远处不可积。首达几乎必然发生与平均等待无穷并不矛盾。缩放还给出 \(\tau_a\overset d=a^2\tau_1\)；对负水平，利用 \(B\) 与 \(-B\) 同分布即可。[3]
标准布朗运动在时间 \(4\) 前触及水平 \(2\) 的概率为 \(P(\tau_2\le4)=2[1-\Phi(2/\sqrt4)]=2[1-\Phi(1)]\approx0.3173\)。若再要求终点不大于 \(0\)，式 (13.3-6) 给出 \(P(M_4\ge2,B_4\le0)=P(B_4\ge4)=1-\Phi(2)\approx0.0228\)。后一个事件包含“先到达、再回落”的路径，单看终点低于阈值无法排除它。
因此时间 \(4\) 前的最大值均值为 \(EM_4=\sqrt{8/\pi}\)，而第一次触及 \(2\) 的等待时间均值仍为无穷大。前者是固定时间窗内的空间最大值，后者是可延续任意久的时间变量。
13.3.5 区间退出：先截停，再证明可积
用布朗独立增量展开条件期望，可直接验证 \(B_t\) 与 \(B_t^2-t\) 都是鞅。连续时间可选停止不能只引用离散结论而略过极限；先建立本页所需的有界停时版本。
若 \(\theta\le K<\infty\) 是停时，则
用式 (13.3-4) 的网格从上逼近 \(\theta\)，所得 \(\theta_m\) 受同一个整数 \(L>K+1\) 控制。在网格上对 \(B\) 与 \(B^2-t\) 使用离散有界停时定理，得到 \(EB_{\theta_m}=0\) 和 \(EB_{\theta_m}^2=E\theta_m\)。
Doob 的 \(L^2\) 最大不等式先用于 \([0,L]\) 的有限二进制网格，再由路径连续性与单调收敛传到稠密网格，给出 \(E[\sup_{0\le u\le L}|B_u|^2]\le4EB_L^2=4L\)。因此 \(B_{\theta_m}\) 和 \(B_{\theta_m}^2\) 分别被可积的上确界及其平方控制。路径连续性给出几乎必然收敛，控制收敛遂证明式 (13.3-9)。
令 \(X_t=x+B_t\)，其中 \(\ell<x<r\) 且两个端点有限；取 \(T=\inf\{t\ge0:X_t\notin(\ell,r)\}\)。则 \(T\) 是可积停时，退出位置只可能是端点，并且
连续路径使首次退出等于首次触及两端点之一，故 \(T\) 为停时。对每个整数 \(n\)，只在有界停时 \(T\wedge n\) 上使用引理。由 \(EX_{T\wedge n}=x\)，有
不论此时是否已退出，路径连续性均保证 \(X_{T\wedge n}\in[\ell,r]\)。单调收敛于是先给出 \(ET\le C^2-x^2<\infty\)，同时证明 \(T<\infty\) 几乎必然。这一步没有使用待求的期望公式。
现在可令 \(n\to\infty\)：\(X_{T\wedge n}\to X_T\in\{\ell,r\}\)，且位置和位置平方都有确定的可积上界。控制收敛给出 \(EX_T=x\) 与 \(ET=EX_T^2-x^2\)。记 \(p=P(X_T=r)\)，则 \(x=\ell(1-p)+rp\)，解得 \(p=(x-\ell)/(r-\ell)\)。最后代入 \(ET=\ell^2(1-p)+r^2p-x^2=(x-\ell)(r-x)\)。[1，定理 7.5.1–7.5.5]
过程 \(X_t=1+2B_t\) 首次离开 \((-1,4)\) 的时刻记为 \(T\)。按空间尺度转换，等价于 \(B\) 首次离开 \((-1,3/2)\)。所以从上端退出的概率为 \(1/(1+3/2)=2/5\)，平均退出时间为 \(1\cdot(3/2)=3/2\)。
一般地，\(X_t=x+\sigma B_t\)、\(\sigma>0\) 时，上端退出概率仍是 \((x-\ell)/(r-\ell)\)，而 \(ET=(x-\ell)(r-x)/\sigma^2\)。空间比例不受 \(\sigma\) 影响，时间尺度则除以方差增长率 \(\sigma^2\)。这里没有漂移项，加入漂移后不能继续套用这两个公式。
对 \(a>0\)，虽然 \(B_{\tau_a}=a\) 几乎必然，但每个 \(n\) 都有 \(EB_{\tau_a\wedge n}=0\)。这些变量几乎必然收敛到 \(a\)，却满足 \(E|B_{\tau_a\wedge n}-a|=a\)，因为停止前位置始终不大于 \(a\)。它们甚至有 \(E|B_{\tau_a\wedge n}|\le2a\)，仍然不一致可积；若一致可积，Vitali 定理会推出 \(L^1\) 收敛，与上述等式矛盾。这正是直接写 \(EB_{\tau_a}=EB_0\) 时遗漏的极限条件。
13.3.6 习题与详解
习题 13.3-1 · 相邻水平之间的首达时间
设 \(0<a<b\)。证明 \(\tau_b-\tau_a\) 独立于 \(\mathcal F_{\tau_a}\)，且与 \(\tau_{b-a}\) 同分布。再求 \(P(\tau_1\le1,\ \tau_2-\tau_1\le1)\)。
由反射原理已知这些首达时刻均几乎必然有限。路径连续性保证 \(\tau_a<\tau_b\)；令 \(W_u=B_{\tau_a+u}-a\)，则 \(\tau_b-\tau_a=\inf\{u\ge0:W_u=b-a\}\)。强马尔可夫性使整个 \(W\) 独立于 \(\mathcal F_{\tau_a}\)，并具有标准布朗运动的分布，对它取首达时间这一可测函数便得到结论。取 \(a=1,b=2\)，两段等待独立且都与 \(\tau_1\) 同分布，因此所求概率为 \(\{2[1-\Phi(1)]\}^2\)。这并不表示两段等待的期望有限。
习题 13.3-2 · 给定终点后，路径是否始终低于阈值？
固定 \(a>0,t>0\)。利用反射原理求 \(P(M_t<a\mid B_t=y)\) 的一个条件概率版本，并说明对概率为零的事件 \(B_t=y\) 怎样理解该表达式。
记 \(p_t(y)=(2\pi t)^{-1/2}e^{-y^2/(2t)}\)。对 \(y<a\)，式 (13.3-6) 给出事件 \(\{M_t\ge a\}\) 上终点的次概率密度 \(p_t(2a-y)\)。因此始终低于阈值时的终点密度是 \(p_t(y)-p_t(2a-y)\)。除以严格为正的终点密度，得到 \(1-p_t(2a-y)/p_t(y)=1-\exp\{-2a(a-y)/t\}\)。当 \(y\ge a\) 时可取零。这个函数是由联合密度与边缘密度之比确定的正则条件概率版本；条件期望只要求它对 \(B_t\) 的分布几乎处处成立，不是对零概率事件作普通概率除法。
习题 13.3-3 · 有界但使用未来的随机时间
令 \(S=1\) 当 \(B_2\ge0\)，否则 \(S=2\)。证明 \(S\) 不是停时，并计算 \(EB_S\)，说明“时间有界”本身不足以保证可选停止。
\(\{S\le1\}=\{B_2\ge0\}\)，而 \(P(B_2\ge0\mid\mathcal F_1)=\Phi(B_1)\) 严格介于 \(0\) 与 \(1\) 之间，不能等于该事件的指示量，故事件不属于 \(\mathcal F_1\)。由联合高斯分布，\(E[B_1\mid B_2]=B_2/2\)。又 \(B_2\sim N(0,2)\)，所以 \(E[B_2\mathbf1_{\{B_2\ge0\}}]=1/\sqrt\pi\)。于是 \(EB_S=\frac12E[B_2\mathbf1_{\{B_2\ge0\}}]+E[B_2\mathbf1_{\{B_2<0\}}]=-1/(2\sqrt\pi)\)。虽然 \(S\le2\)，它不满足可选停止定理的停时前提。
习题 13.3-4 · 首达时间的拉普拉斯变换
对 \(a>0,q>0\)，用指数鞅求 \(E[e^{-q\tau_a}]\)，写明截停和取极限的依据。提示：取 \(\theta=\sqrt{2q}\)。
独立高斯增量给出 \(Z_t=\exp(\theta B_t-\theta^2t/2)\) 是鞅，且对每个有限 \(L\)，有 \(EZ_L^2=e^{\theta^2L}<\infty\)。因此同引理 13.3-1 的网格论证，Doob 的 \(L^2\) 界保证在有界停时 \(\tau_a\wedge n\) 上 \(EZ_{\tau_a\wedge n}=1\)。由于 \(\theta>0\) 且 \(B_{\tau_a\wedge n}\le a\)，有 \(0\le Z_{\tau_a\wedge n}\le e^{\theta a}\)。首达时间已经证明几乎必然有限，控制收敛于是给出 \(1=E[e^{\theta a-q\tau_a}]\)，即 \(E[e^{-q\tau_a}]=e^{-a\sqrt{2q}}\)。该推导不要求 \(E\tau_a<\infty\)，使用的是停止后指数变量的确定上界。
关键术语
- 通常增广（usual augmentation）：补入零测集并使滤过右连续。
- 停时 σ代数（stopping-time σ-algebra）：描述在随机停止时刻可确定的事件。
- 强马尔可夫性（strong Markov property）：在停时之后重新开始的布朗增量独立于该停时的信息。
- 反射原理（reflection principle）：在首达水平处反射后续路径以建立事件之间的等概率对应。
- 首达时间（first-passage time）：过程首次到达指定水平的时间。
- 退出时间（exit time）：过程首次离开指定区域的时间。
- 有界截停（bounded stopping）：用 \(T\wedge n\) 先限制观察时长，再检查极限。
- 一致可积（uniform integrability）：可把依概率收敛提升为 \(L^1\) 收敛的尾部控制条件。
参考文献
- Durrett, R. Probability: Theory and Examples, 5th ed., 2019。§7.2 讨论增广信息下的马尔可夫性质；定理 7.3.9 为强马尔可夫定理，例 7.4.2 为反射原理，§7.5 讨论布朗鞅、可选停止与退出时间。作者公开版本。
- Pitman, J.，记录者 Yan, D. The Strong Markov Property，UC Berkeley Stat 205B，2003，Lecture 16。停时 σ代数、从上离散逼近及强马尔可夫定理。大学官方讲义。
- Lalley, S. P. Brownian Motion，University of Chicago 课程讲义。反射原理、首达密度与 §3 “Wald Identities for Brownian Motion” 的有界截停计算。作者课程讲义。